1、二重積分的計(jì)算,歐陽順湘 北京師范大學(xué)珠海分校 2005.1.2-1.5,基本思想,二重積分的計(jì)算化二重積分為二次積分,預(yù)備知識(shí)：平行截面面積以知的立體體積的計(jì)算（演示）,A(x),x,如右圖所示立體：介于平面x=a與x=b之間,在區(qū)間a,b內(nèi)任取一點(diǎn)x，過該點(diǎn) 作x軸的垂直平面，若該平面的面 積為A(x)，則由定積分的元素法可 知立體體積為,如果積分區(qū)域D可表示為：,-型區(qū)域,用平行于yoz面的平面去截立體， 則截面面積為：,于是，立體體積為,直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分,如果積分區(qū)域D可表示為：,-型區(qū)域,用平行于xoz面的平面去截立體， 則截面面積為：,于是，立體體積為,直角坐標(biāo)系下

2、化二重積分為二次積分,或記為,或記為,利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,1、,2、,X-型區(qū)域,Y-型區(qū)域,例1,計(jì)算二重積分 其中D為矩形區(qū)域,例 2,已知xoy平面第一象限內(nèi)的區(qū)域D是由直線x=0和y=2和拋物線y=x2/2所圍成. 求區(qū)域D的面積 求由曲面z=f(x,y)為頂，以D為底的曲頂柱體的體積.,練習(xí)解答,8（2）,計(jì)算下列二重積分,先積 后積 如何？,解 原式,要分成兩部分之和,例1 計(jì)算下列二重積分,先積 后積,要分作兩部分計(jì)算,解,小結(jié)：化二重積分為二次積分時(shí)，積分次序的確定應(yīng)考慮 積分區(qū)域的形狀，還應(yīng)考慮積分計(jì)算的難度與方便。,直角坐標(biāo)系下交換二次積分的積分次序,如果積分區(qū)域D

3、既可表示為-型區(qū)域：,又可表示為-型區(qū)域：,則有如下交換積分次序公式：,-型區(qū)域,-型區(qū)域,例4 化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,或記為,故,或記為,解 D可表示為：,D又可表示為：,例4 化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,或,或記為,或記為,例4 化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,或,或記為,或記為,補(bǔ)充題,1、改變積分 的次序。,有些二重積分，其積分區(qū)域的邊界曲線用 極坐標(biāo)表示較為方便，或被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比 較簡單，這時(shí)可考慮利用極坐標(biāo)計(jì)算。（演示）,被積函數(shù)可用極坐標(biāo)表示為：,面積元素如圖所示：,于是，極坐標(biāo)下二重積分為：,可表示為,參考直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分的做法，可得：,利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,例3 計(jì)算下列立體的體積,解 立體在xoy面內(nèi)的投影區(qū)域D可表示為：,解,解,解,解 積分區(qū)域D可表示為：,另一方面，,一方面，,例6 求,所以：,解,例7 計(jì)算下列立體的體積,由柱面 曲面,解,練習(xí),