1、11.2 一元線性回歸,兩個變量之間的相關系數(shù)能表明兩者之間關系的密切程度，但無法用一個變量去估計另一個變量。,回歸分析則可做到這一點，用自變量去估計或預測因變量?；貧w分析首先要區(qū)分自變量和因變量，自變量是“因”，因變量是“果”，然后建立一個方程去描述這個因果關系，即要找出兩者之間關系的數(shù)學表達式，這就是一元回歸；如果兩個變量是線性關系稱為一元線性回歸。,設相關關系的兩個變量為 和 ， 的值由兩部分構成：一部分由 的影響確定， 用 的 函數(shù) 表示，稱為回歸函數(shù)；另一部分則由眾多不確定性因素影響產生，可看成 取值的隨機波動，記為 ，并且假定其平均值為零，即 。于是得到數(shù)學模型： 上式稱為回歸模型

2、，它表明當 取某個數(shù)值時， 并不必然表現(xiàn)為一個確定的值，而是在 附近波動，但其平均數(shù)在大量觀察下趨向于確定的值 。,圖11-1 企業(yè)產量與生產費用散點圖,我們容易看出企業(yè)產量 和生產費用 之間的散點圖大致呈直線關系。但圖形中的各點并不都在條直線上，而是圍繞著直線上下波動，有的在直線上面，有的在直線下面。,各散點的坐標滿足方程 對于這樣的散點圖，我們認為 與 之間線性相關，回歸函數(shù) 是線性函數(shù)，即 此時，回歸模型為 (11.3)式稱為一元線性回歸函數(shù)，(11.4)稱為一元線性回歸模型。,直線截距,直線斜率,也叫做 對 的回歸系數(shù)，它表示 每變動一個單位所引起的 的平均變動量,殘差（也稱為回歸誤差

3、或預測誤差），代表除 外的其它次要因素形成的隨機擾動。,當樣本量較大時，正負干擾可相互抵消，所以我們認為 的均值為0。,回歸分析的主要任務就是確定回歸方程的參數(shù) 、 并判定回歸函數(shù)(11.3)式是否合理。,怎樣確定?,?,越小越好,常用的方法是最小二乘法(Least squares，簡記為LS)。它使殘差平方和(residuals sum of squares :RSS)最小,即使 最小,在計算上應先求 再求 。用最小二乘法擬合的回歸方程有三個性質：,(1) ,即回歸誤差可以相互抵消。,(2)所擬合的回歸線通過均值點 ，即通過散點圖的重心，因而預測值 的均值等于實際值 的均值。,(3)殘差 和

4、 、 之間無相關關系。,利用求極值的方法可解得:,案例11.2 根據(jù)表11.2中有關數(shù)據(jù)，確定該企業(yè)生產費用對產量的回歸方程，并說明產量對生產費用的影響大小。,表11-2 企業(yè)生產費用與產量相關系數(shù)計算表,解：,由于產量多少決定著生產費用的多少，所以以產量x為自變量，生產費用y為因變量。,代入（11.4）,得,所求的生產費用對產量的回歸方程為：,它說明該企業(yè)產量每增加1千噸，生產費用平均增加12.896萬元。,案例11.3某省19902000年工業(yè)產值y與農業(yè)產值x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：億元）如表中第2、3列所示。試求工業(yè)產值對農業(yè)產值的回歸函數(shù)。,解：,建立y對x的一元線性回歸方程，由表可知,根

5、據(jù)公式(11.5),有,從而y對x的線性回歸方程為：,可線性化的一元回歸問題,常見的非線性函數(shù)及其轉化為線性函數(shù)的方法：,1、雙曲線 （圖11-8）,令 ，則有,2、冪函數(shù)曲線 （ 圖11-9 ）,令 ，則有,3、數(shù)函數(shù)曲線 （圖11-10）,令 ，則有,4、負指數(shù)函數(shù)曲線 （圖11-11）,令 ，則有,5、對數(shù)曲線 （圖11-11）,令 ，則有,案例11.4某商店歷年銷售肥皂統(tǒng)計資料如下：,試用指數(shù)曲線預測1998年的肥皂銷量。,解：,設 令 為了計算方便，再定義 ,列表計算如下：,由公式 （11.5）有,所以,已知1996年的序號是 ，那么1998年應為,所以預計1998年的銷量為,回歸模

6、型的擬合優(yōu)度和顯著性,一 、 回歸模型的擬合優(yōu)度,SRF,總離差,來自殘差,來自回歸,圖11-13 總變異分解為兩部分,可以證明，對最小二乘法，如下等式成立：,總平方和SST,殘差平方和SSE,回歸平方和SSR,越大，則 越小，因而回歸方程的擬合程度越高。,定義 即 稱 為可決系數(shù)（也叫做判定系數(shù)）。 越大，說明回歸平方和占總平方和的比例越大，殘差平方和占總平方和的比例越小，回歸直線擬合優(yōu)度越好。,二 、回歸模型的顯著性檢驗,為了分析Y與X之間是否存在線性關系，我們可以對回歸模型進行顯著性檢驗。通常也稱為F檢驗。其檢驗步驟如下：,(1)假設回歸方程是不顯著的，即 原假設：方程不顯著 對立假設：

7、方程顯著,(2)計算回歸方程的F統(tǒng)計量,(3)根據(jù)給定的顯著性水平 和兩個自由度1和(n一2)查F分布表中相應的臨界值,若 ，則拒絕原假設，說明回歸方程顯著；,若 ，則接受原假設，說明回歸方程不顯著。,案例11.5 討論案例11.2中回歸方程的顯著性并分析回歸模型的擬合優(yōu)度。,解：,通過計算可得：,根據(jù)公式（11.8）,若 查表得 ,由于實際的F值大于5.59，拒絕原假設，說明生產費用與產量之間的線性關系是顯著的。再根據(jù)公式 (11.7)可得。,說明回歸方程的擬合程度是較高的。,隨堂練習,1、直線回歸方程 中，參數(shù) 的經濟意義。,答：,參數(shù) 的經濟意義， 代表經濟現(xiàn)象經過修勻的基礎水平； 稱為

8、回歸系數(shù)，表示： 每變動一個單位時影響 平均變動的數(shù)量。,2、某企業(yè)生產的某種產品的產量與單位成本資料如下表,（1）確定直線回歸方程，并說明回歸系數(shù)的意義。,（2）測算產量為6500臺時，單位成本為多少？,解：,由已知條件可計算出：,（1） 由式11.5可計算出：,的意義：,當產量每增加1干臺時，單位成本平均下降約1.67元,（2）當x65時，代入回歸方程有：,所以產量為6500臺時，單位成本為76.71元,3、試述相關分析與回歸分析的關系。,答：,(2)對兩個變量x與y而言，相關分析只能計算一個反映兩變量相關密切程度的相關系效，回歸分析有時可根據(jù)研究目的不同分別建立兩個不同的回歸方程；,二者的區(qū)別有,(1)相關分析所研究的兩個變量是對等關系，回歸