1、1,第3章 解線性方程組的數(shù)值解法,2,引言,在自然科學和工程技術中很多問題的解決常常歸結為解線性代數(shù)方程組。例如電學中的網(wǎng)絡問題，船體數(shù)學放樣中建立三次樣條函數(shù)問題，用最小二乘法求實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，解非線性方程組問題，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程邊值問題等都導致求解線性方程組，而且后面幾種情況常常歸結為求解大型線性方程組。 線性代數(shù)方面的計算方法就是研究求解線性方程組的一些數(shù)值解法與研究計算矩陣的特征值及特征向量的數(shù)值方法。,3,引言,關于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類。 直接法：經(jīng)過有限步算術運算，可求得方程組的精確解的方法（若在計算過程中沒有舍入誤差） 迭代法：用某

2、種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法 迭代法具有占存儲單元少，程序設計簡單，原始系數(shù)矩陣在迭代過程中不變等優(yōu)點，但存在收斂性及收斂速度等問題。,4,3.1 高斯消元法,設線性方程組 簡記 AX=b,5,高斯消元法,其中,6,高斯消元法,克萊姆法則在理論上有著重大意義，但在實際應用中存在很大的困難，在線性代數(shù)中，為解決這一困難給出了高斯消元法。,7,高斯消元法,例1.用消元法解方程組,8,例題,第一步：-2xr1+r3得,9,例題,第二步：1 x r2+r4 回代得：x=1,2,3T,10,3.1.1 高斯順序消元法,下三角形方程求解 設 （1）,11,高斯順序消元法,由（1）得,12,高

3、斯順序消元法,算法：,13,高斯順序消元法,14,上三角方程組的解法 設,15,由（2）式回代得,16,上三角方程組的解法,17,高斯順序消去法,設 Ax=b. 記A(1)=A b(1)=b。設 1、第一次消元。,18,高斯順序消去法,19,高斯順序消去法,設第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中,20,高斯順序消去法,則第k次消元:,21,高斯順序消去法,最后,22,高斯順序消去法,也就是對于方程組AX=b系數(shù)矩陣做：,23,高斯順序消去法,24,高斯順序消去法,25,高斯順序消去法,26,高斯順序消去法,27,高斯順序消去法算法框圖,28,高斯消去法的計算量,29,高斯順序消去法條件,

4、30,3.1.2 高斯主元素消去法,Gauss列主元消元法 從第一列中選出絕對值最大的元素,交換,31,高斯列主元消去法,32,高斯列主元消去法,第 k 步 從 的第 k 列 ， ， 中選取絕對值最大項，記錄所在行，即 若 交換第k行與l行的所有對應元素，再進行順序消元。,33,框圖,34,高斯列主元消去法,35,高斯列主元消去法,36,高斯列主元消去法,37,2. 全主元消去法,例如.求解方程組,38,全主元消去法,39,全主元消去法,40,全主元消去法,41,全主元消去法,42,全主元消去法,43,全主元消去法,44,45,Gauss全主元消元算法,46,Gauss全主元消元算法,47,Gauss全主元消元算法,48,3.高斯-約當消去法,與一般消去法相比，高斯約當消去法是一種無回代過程的算法 設方程組AX=b經(jīng)過（k-1）次消元得,49,高斯-約當消去法,50,算法,51,選列主元的Gauss-Jordan消去法,52,Guass-Jordan消去法形式上比Guass消去法簡單,求解無回代過程,但從工作量角度看前者大約需要O( ),而后者需要量 O( ),比有回代的Guass消去法多O( )工作量.,53,小節(jié),比較而言, Gauss順序消去法條件苛刻,且數(shù)值不穩(wěn)定; Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比較 個元素及行列交換工作，算法復雜； 對于Gauss-Jord