1、常見(jiàn)的幾個(gè)重要不等式,該幻燈片是介紹初等數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的不等式，其中包括平均數(shù)不等式，白努力不等式和柯西不等式，最后還列出了幾個(gè)著名的不等式.由不等式的性質(zhì)引出新課，一步步將新授課傳授給學(xué)生.,一、不等式的基本性質(zhì),常見(jiàn)的幾個(gè)重要不等式,六、小結(jié),五、一些有用的不等式,四、柯西不等式的證明與應(yīng)用,三、白努力不等式的證明與應(yīng)用,二、平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用,不等式的基本性質(zhì),兩個(gè)取值為實(shí)數(shù)的函數(shù).若u-v是正數(shù) ，就說(shuō),u大于v,記成uv，也說(shuō)v小于u,記成vb , bc , 則ac 2.在ab , ab , 則a+c b+c 4.不等式的不等號(hào)兩邊移項(xiàng)時(shí)符號(hào)反號(hào) 5.若ab , cd , 則a

2、+c b+d 6.若ab , c b-d,不等式的基本性質(zhì),7.若ab , 則當(dāng)c0時(shí), acbc ;當(dāng)c0 , 0 b/d,8.若ab0 , cd0 , 則 acbd,不等式的基本性質(zhì),完全平方公式引出的不等式:,由任何數(shù)的平方不小于0，則有：,結(jié)論：任意兩個(gè)數(shù)的平方和不小于兩個(gè)數(shù) 積的兩倍,平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用,定義：,幾何平均數(shù),調(diào)和平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用,由于,令,假定定理1在n=k (k1)時(shí)成立，當(dāng)n=k+1時(shí),證明：,定理1,平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用,至此，證明了定理1對(duì)任何整數(shù)n1都成立.,所以,(1)成立,中至少有兩個(gè)不等，按歸納假定，（2）不取,若

3、,等號(hào)；,定理1,由定理1還可以得出幾個(gè)推論：,（即： 個(gè)正整數(shù)的調(diào)和平均數(shù)不大于它們的,推論2,想一想：定理1的這兩個(gè)推論應(yīng)該怎么證明？,平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用,推論1,幾何平均數(shù)）,定理1及其推論在證明不等式和求最值等方,證明：,即得證,平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用,面有廣泛的應(yīng)用,例2. 求周長(zhǎng)為定值的一類四邊形的面積的最,如圖,則,b,a,a,b,c,d,平均數(shù)不等式的證明與應(yīng)用,大值.,解：,定理2,其中等號(hào)成立的充要條件為x=0,證明：,其中等號(hào)恰在1+x=1,即x=0時(shí)成立,白努力不等式的證明與應(yīng)用,設(shè)x-1,則,由剛才證明的結(jié)果,有,即1）得證,白努力不等式的證明與應(yīng)用,定理2,其中等號(hào)成立的充要條件為x=0,設(shè)x-1,則,證明：,證明：,依定理2的1），有,于是,由上面兩個(gè)不等式，即得證,白努力不等式的證明與應(yīng)用,由,定理3.,證明一：,兩邊同時(shí)平方，即得柯西不等式,柯西不等式的證明與應(yīng)用,證明二：,設(shè)實(shí)變量x的二次函數(shù),例4.證明三角形不等式：,證明：,按定理3有,兩式相加得,柯西不等式的證明與應(yīng)用,例5.設(shè)三角形的三邊為a，b，c，面積為S .,證明：,柯西不等式的證明與應(yīng)用,一些有用的不等式,例5所證的不等式為魏琴伯