1、,第四節(jié),一元復(fù)合函數(shù),求導(dǎo)法則,本節(jié)內(nèi)容:,一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分,微分法則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,第八章,一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,定理. 若函數(shù),處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn) t 可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù),證: 設(shè) t 取增量t ,則相應(yīng)中間變量,且有鏈?zhǔn)椒▌t,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有增量u ,v ,( 全導(dǎo)數(shù)公式 ),(t0 時,根式前加“”號),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若定理中,說明:,例如:,易知:,但復(fù)合函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為,偏導(dǎo)數(shù)存在,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則定理結(jié)論不一定成立.

2、,推廣:,1) 中間變量多于兩個的情形. 例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .,2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時, 有,注意:,這里,表示固定 y 對 x 求導(dǎo),表示固定 v 對 x 求導(dǎo),口訣 :,分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo),與,不同,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 設(shè),解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 設(shè),求全導(dǎo)數(shù),解:,注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下

3、列兩個例題有助于掌握,這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.,為簡便起見 , 引入記號,例4. 設(shè),f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求,解: 令,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 設(shè),二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達(dá)式在,解: 已知,極坐標(biāo)系下的形式,(1), 則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,已知,注意利用 已有公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,同理可得,題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分,設(shè)函數(shù),的全微分為,可見無論 u , v 是自變量還是中間變量,則復(fù)合函數(shù),都可微,其全微分表達(dá),形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式

4、不變性.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1 .,例 6.,利用全微分形式不變性再解例1.,解:,所以,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”,例如,2. 全微分形式不變性,不論 u , v 是自變量還是因變量,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),解答提示:,P31 題7,P31 題7; 8(2); P73 題11,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P31 題8(2),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè) P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13,P73題 11,第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,備用題,1. 已知,求,解: 由,兩邊對