1、一階和二階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應的概念及求解,重點,一階和二階電路的階躍響應概念及求解,1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定,返 回,含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱為動態(tài)電路。,1. 動態(tài)電路,7-1 動態(tài)電路的方程及其初始條件,當電路從一種狀態(tài)經歷一個過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。,下 頁,上 頁,特點,返 回,過渡期為零,電阻電路,下 頁,上 頁,返 回,電容電路,下 頁,上 頁,返 回,i = 0 , uC= US,i = 0 , uC = 0,S接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)：,S未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：,前一個穩(wěn)

2、定狀態(tài),過渡狀態(tài),新的穩(wěn)定狀態(tài),?,有一過渡期,uL= 0, i=US /R,i = 0 , uL = 0,S接通電源后很長時間，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路：,S未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：,電感電路,下 頁,上 頁,前一個穩(wěn)定狀態(tài),過渡狀態(tài),新的穩(wěn)定狀態(tài),?,有一過渡期,返 回,下 頁,上 頁,S未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：,uL= 0, i=US /R,S斷開瞬間,i = 0 , uL =,工程實際中在切斷電容或電感電路時會出現過電壓和過電流現象。,注意,返 回,過渡過程產生的原因,電路含有儲能元件 L、C，電路在換路時能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。,換路,下 頁,上 頁

3、,返 回,若以電流為變量,2. 動態(tài)電路的方程,下 頁,上 頁,RC電路,返 回,若以電感電壓為變量,下 頁,上 頁,RL電路,返 回,一階電路,下 頁,上 頁,結論,含有一個動態(tài)元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱為一階電路。,返 回,二階電路,下 頁,上 頁,RLC電路,應用KVL和元件的VCR得,含有二個動態(tài)元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱為二階電路。,返 回,一階電路,一階電路中只有一個動態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。,描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程。,動態(tài)電路方程的階數通常等于電路中動態(tài)元件的個數。,二階電路,二階電路中有二個動

4、態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。,下 頁,上 頁,結論,返 回,高階電路,電路中有多個動態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。,動態(tài)電路的分析方法,根據KVL、KCL和VCR建立微分方程。,下 頁,上 頁,返 回,復頻域分析法,時域分析法,求解微分方程。,本章采用,工程中高階微分方程應用計算機輔助分析求解。,下 頁,上 頁,返 回,t = 0與t = 0的概念,認為換路在t=0時刻進行,0 換路前一瞬間,0 換路后一瞬間,3.電路的初始條件,初始條件為 t = 0時，u 、i 及其各階導數的值。,下 頁,上 頁,注意,0,0,t,返 回,圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo，求開

5、關閉合后電容電壓隨時間的變化。,例1-1,解,特征根方程：,通解：,代入初始條件得：,在動態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。,下 頁,上 頁,明確,返 回,t = 0+ 時刻,電容的初始條件,下 頁,上 頁,當i()為有限值時,返 回,q (0+) = q (0),uC (0+) = uC (0),換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電容電壓（電荷）換路前、后保持不變。,電荷守恒,下 頁,上 頁,結論,返 回,電感的初始條件,t = 0+時刻,下 頁,上 頁,當uL為有限值時,返 回,L (0)= L (0),iL(0)= iL(0),磁鏈守恒,換路瞬間，若電感電壓保持為有限值

6、， 則電感電流（磁鏈）換路前、后保持不變。,下 頁,上 頁,結論,返 回,(2)由換路定律,uC (0+) = uC (0)=8V,(1) 由0電路求 uC(0),uC(0)=8V,例1-2,求 iC(0+)。,電容開路,下 頁,上 頁,返 回,iL(0+)= iL(0) =2A,例1- 3,t = 0時閉合開關S ,求 uL(0+)。,先求,應用換路定律:,解,電感短路,下 頁,上 頁,返 回,求初始值的步驟:,1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0)和iL(0)。,2.由換路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3.畫0+等效電路。,4.由0+電路求所需各變量的0+值。,(2)電容（電

7、感）用電壓源（電流源）替代。,(1)換路后的電路;,（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。,下 頁,上 頁,小結,返 回,iL(0+) = iL(0) = iS,uC(0+) = uC(0) = RiS,uL(0+)= - RiS,求 iC(0+) , uL(0+)。,例1-4,解,由0電路得,下 頁,上 頁,由0+電路得,返 回,例1-5,求S閉合瞬間各支路電流和電感電壓。,解,下 頁,上 頁,由0電路得,由0+電路得,返 回,求S閉合瞬間流過它的電流值。,解,確定0值,給出0等效電路,下 頁,上 頁,例1-6,返 回,7-2 一階電路的零輸入響應,換路后外加激勵為零，

8、僅有動態(tài)元件初始儲能產生的電壓和電流。,1.RC電路的零輸入響應,已知 uC (0)=U0,零輸入響應,下 頁,上 頁,返 回,特征根,則,下 頁,上 頁,代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0,A=U0,返 回,下 頁,上 頁,或,返 回,令 =RC , 稱 為一階電路的時間常數。,電壓、電流是隨時間按同一指數規(guī)律衰減的函數。,響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關。,下 頁,上 頁,表明,返 回,時間常數 的大小反映了電路過渡過程時間的長短, = RC, 大過渡過程時間長, 小過渡過程時間短,電壓初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放電電流小,C 大（R一定） W=C

9、u2/2 儲能大,物理含義,下 頁,上 頁,返 回, :電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。工程上認為, 經過 3 5 , 過渡過程結束。,U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,下 頁,上 頁,注意,返 回,例2-1,圖示電路中的電容原充有24V電壓，求S閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。,解,這是一個求一階RC 零輸入響應問題，有,下 頁,上 頁,返 回,分流得,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,例2-2,求:(1)圖示電路S閉合后各元件的電壓和電流隨時間變化的規(guī)律;

10、(2）電容的初始儲能和最終時刻的儲能及電阻的耗能。,解,這是一個求一階RC 零輸入響應問題，有,u (0+)=u(0)=-20V,返 回,下 頁,上 頁,u,S,4F,+,+,-,-,i,-20V,250k,返 回,下 頁,上 頁,初始儲能,最終儲能,電阻耗能,返 回,J,J,2. RL電路的零輸入響應,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值,A= iL(0+)= I0,下 頁,上 頁,返 回,電壓、電流是隨時間按同一指數規(guī)律衰減的函數。,下 頁,上 頁,表明,返 回,衰減快慢與L/R有關。,下 頁,上 頁,時間常數 的大小反映了電路過渡過程時間的長短。,L大 W=LiL2/2 初始能量大

11、 R小 p=Ri2 放電過程消耗能量小, 大過渡過程時間長, 小過渡過程時間短,物理含義,電流初始值iL(0)一定：,返 回,能量關系,電感不斷釋放能量被電阻吸收, 直到全部消耗完畢。,設 iL(0+)=I0,電感放出能量：,電阻吸收（消耗）能量：,下 頁,上 頁,返 回,iL (0+) = iL(0) = 1 A,例2-3,t=0時,打開開關S，求uV,。電壓表量程：50V。,解,下 頁,上 頁,返 回,例2-4,t=0時,開關S由12，求電感電壓和電流及開關兩端電壓u12。,解,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,返 回,一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初始值引起的響應, 都是由初始

12、值衰減為零的指數衰減函數。,下 頁,上 頁,小結,返 回,衰減快慢取決于時間常數。,下 頁,上 頁,小結, = R C, = L/R,RC 電路,RL 電路,返 回,動態(tài)元件初始能量為零，由t 0時刻電路中外加激勵作用所產生的響應。,方程：,7-3 一階電路的零狀態(tài)響應,解答形式為：,1.RC電路的零狀態(tài)響應,零狀態(tài)響應,非齊次方程特解,齊次方程通解,下 頁,上 頁,非齊次線性常微分方程,返 回,與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解。,變化規(guī)律由電路參數和結構決定。,的通解,的特解,下 頁,上 頁,返 回,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始條件 uC (0+)=0 定

13、積分常數 A,下 頁,上 頁,從以上式子可以得出,返 回,電壓、電流是隨時間按同一指數規(guī)律變化的函數；電容電壓由兩部分構成：,連續(xù)函數,躍變,穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）,瞬態(tài)分量（自由分量）,下 頁,上 頁,表明,+,返 回,響應變化的快慢，由時間常數RC決定； 大，充電慢， 小充電就快。,響應與外加激勵成線性關系。,能量關系：,電容儲存能量,電源提供能量,電阻消耗能量,電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。,下 頁,上 頁,表明,返 回,例3-1,t=0時,開關S閉合，已知 uC(0)=0，求(1)電容電壓和電流；(2) uC80V時的充電時間t 。,解,(1)這是一個R

14、C電路零狀態(tài)響應問題，有：,(2)設經過t1秒，uC80V,下 頁,上 頁,返 回,2. RL電路的零狀態(tài)響應,已知iL(0)=0，電路方程為,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,返 回,例3-2,t=0時,開關S打開，求t 0后iL、uL的變化規(guī)律。,解,這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有,下 頁,上 頁,返 回,例3-3,t=0開關S打開，求t 0后iL、uL及電流源的電壓。,解,這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有,下 頁,上 頁,返 回,7-4 一階電路的全響應,電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產生的響應。,以RC電路為例，電路微分方程：,1. 全

15、響應,全響應,下 頁,上 頁,解答為 uC(t) = uC + uC, = RC,返 回,uC (0)=U0,uC (0+)=A+US=U0,A=U0 - US,由初始值定A,下 頁,上 頁,強制分量(穩(wěn)態(tài)解),自由分量(瞬態(tài)解),返 回,2. 全響應的兩種分解方式,全響應 = 強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(瞬態(tài)解),著眼于電路的兩種工作狀態(tài),物理概念清晰,下 頁,上 頁,返 回,全響應 = 零狀態(tài)響應 + 零輸入響應,著眼于因果關系,便于疊加計算,下 頁,上 頁,零輸入響應,零狀態(tài)響應,返 回,下 頁,上 頁,返 回,例4-1,t=0 時 ,開關S打開，求t 0后的iL、uL。,解,這是RL

16、電路全響應問題， 有,零輸入響應：,零狀態(tài)響應：,全響應：,下 頁,上 頁,返 回,或求出穩(wěn)態(tài)分量,全響應,代入初值有,62A,A=4,例4-2,t=0時 ,開關S閉合，求t 0后的iC、uC及電流源兩端的電壓（uC(0)=1V，C=1F）。,解,這是RC電路全響應問題，有,下 頁,上 頁,穩(wěn)態(tài)分量：,返 回,下 頁,上 頁,全響應：,返 回,3. 三要素法分析一階電路,一階電路的數學模型是一階線性微分方程：,令 t = 0+,其解答一般形式為：,下 頁,上 頁,特解,返 回,分析一階電路問題轉為求解電路的三個要素的問題。,用0+等效電路求解,用t的穩(wěn)態(tài)電路求解,下 頁,上 頁,直流激勵時：,

17、注意,返 回,例4-3,已知：t=0 時合開關，求換路后的uC(t)。,解,下 頁,上 頁,返 回,例4-4,t =0時 ,開關閉合，求t 0后的iL、i1、i2。,解法1,三要素為,下 頁,上 頁,三要素公式,返 回,下 頁,上 頁,返 回,三要素為,下 頁,上 頁,返 回,解法2,例4-5,已知：t=0時開關由12，求換路后的uC(t)。,解,三要素為,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,例4-6,已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流i(t) 。,解,三要素為,返 回,下 頁,上 頁,返 回,已知：電感無初始儲能t = 0 時合S1 , t =0.2s時合S2 ，求兩次換路后的電感電

18、流i(t)。,0 t 0.2s,下 頁,上 頁,返 回,(0 |p1|,下 頁,上 頁,O,電容電壓,返 回,t=0+ iC=0 , t= iC=0,iC0 t = tm 時iC 最大,tm,iC,下 頁,上 頁,O,電容和電感電流,返 回,tm,2tm,uL,iC,下 頁,上 頁,t,O,電感電壓,返 回,iC=i 為極值時，即 uL=0 時的 tm 計算如下:,由 duL/dt 可確定 uL 為極小時的 t 。,下 頁,上 頁,返 回,能量轉換關系,0 t tm uC減小 ，i 減小。,下 頁,上 頁,返 回,uC 的解答形式：,經常寫為：,下 頁,上 頁,共軛復根,返 回,下 頁,上 頁

19、,，的關系,返 回,t=0 時 uC=U0,uC =0：t = ，2 . n,下 頁,上 頁,返 回,iC,uL=0：t = ，+，2+ . n+,iC=0：t =0，2 . n ，為 uC極值點， iC 的極值點為 uL 零點。,下 頁,上 頁,返 回,能量轉換關系：,0 t , t -,- 0 為零輸入響應（RC放電）,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,返 回,例8-2,求單位沖激電壓激勵下的RL電路的零狀態(tài)響應。,分兩個時間段考慮沖激響應,解,iL不是沖激函數 , 否則KVL不成立。,注意,下 頁,上 頁,返 回,電感上的沖激電壓使電感電流發(fā)生躍變。,結論,(2) t 0 RL放電

20、,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,返 回,3. 單位階躍響應和單位沖激響應關系,單位階躍響應,單位沖激響應,h(t),s(t),單位沖激, (t),單位階躍, (t),激勵,響應,下 頁,上 頁,返 回,先求單位階躍響應：,求:iS (t)為單位沖激時電路響應uC(t)和iC (t)。,例8-3,解,uC(0+)=0,uC()=R, = RC,iC(0+)=1,iC()=0,再求單位沖激響應,令：,下 頁,上 頁,返 回,令,下 頁,上 頁,返 回,沖激響應,階躍響應,下 頁,上 頁,返 回,有限值,有限值,KVL方程為,例8-4,4. 二階電路的沖激響應,求單位沖激電壓激勵下的RLC

21、電路的零狀態(tài)響應。,解,t 在0至0間,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,t0為零輸入響應,返 回,下 頁,上 頁,返 回,*7-9 卷積積分,1.卷積積分,定義,設函數 f1(t) 、 f2(t) t t0后電路的全部性狀(響應)。,注意,這里講的為數最少的變量必須是互相獨立的。,返 回,已知:,求：,解,e(0)=10V,例10-1,下 頁,上 頁,返 回,同理可推廣至任一時刻t1,由,(1)狀態(tài)變量和儲能元件有關。 (2)有幾個獨立的儲能元件，就有幾個狀態(tài)變量。 (3)狀態(tài)變量的選擇不唯一。,下 頁,上 頁,表明,返 回,設 uC、iL 為狀態(tài)變量。,整理得,每一個狀態(tài)方程中只含有一個狀態(tài)變量的一階導數。對簡單電路采用直觀編寫法。,狀態(tài)方程,下 頁,上 頁,2. 狀態(tài)方程的列寫,返 回,矩陣形式,聯(lián)立的一階微分方程組。,左端為狀態(tài)變量的一階導數。,右端含狀態(tài)變量和輸入量。,下 頁,上 頁,特點,返 回,一般形式,下 頁,上 頁,返 回,電路的輸出方程,代數方程。 用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量。,一般形式,Y=CX+DV,下 頁,上 頁,特點,電路中某些感興趣的量與狀態(tài)變量和輸入量之間的關系。,返 回,下 頁,上 頁,例10-2,列出電路的狀態(tài)方程。,解,對結點列出KCL方程,返 回,下 頁,上 頁,對回路1和回路2列