1、1,11.4 對(duì)面積的曲面積分,第十章 曲線積分與曲面積分,概念的引入,對(duì)面積的曲面積分的定義,對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,2,實(shí)例,解,第一步:,將分為許多極其微小的子域,以ds為代表,ds的質(zhì)量為:,第二步:,求和取極限,則,取,光滑的,它的面密度為連續(xù)函數(shù),求它的質(zhì)量.,一、概念的引入,3,1. 定義,函數(shù) f(x, y, z)在上,任意取定的點(diǎn),并作和,如果當(dāng)各小塊曲面的直徑,這和式的極限存在,則,的最大值,二、對(duì)面積的曲面積分的定義,第i 小塊曲面的面積),作乘積,設(shè)曲面是光滑的,同時(shí)也表示,有界.,把 任意分成n小塊,4,或,記為,即,如曲面是,曲面元素,被積函數(shù),則積分號(hào)寫(xiě)成,積分

2、曲面,稱(chēng),極限為函數(shù),對(duì)面積的曲面積分,第一類(lèi)曲面積分.,閉曲面,5,2. 存在條件,在光滑曲面上,今后,假定,的曲面積分存在.,對(duì)面積,連續(xù),3. 對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì),6,設(shè)分片光滑的,x的奇函數(shù),x的偶函數(shù),其中,則,曲面關(guān)于yoz面對(duì)稱(chēng),7,4. 對(duì)面積的曲面積分的幾何意義,空間曲面的面積:,5. 對(duì)面積的曲面積分的物理意義,面密度為連續(xù)函數(shù),的質(zhì)量m為:,8,則,按照曲面的不同情況分為以下三種：,化為二重積分計(jì)算.,(1),三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,9,則,則,(2),(3),10,確定投影域并寫(xiě)出,然后算出曲面面積元素;,最后將曲面方程代入被積函數(shù),對(duì)面積的曲面積分時(shí),首先應(yīng)

3、根據(jù),化為二,曲面選好投影面,曲面的方程,重積分進(jìn)行計(jì)算.,11,例,解,投影域:,所截得的部分.,故,二重積分的對(duì)稱(chēng)性,對(duì)稱(chēng)性,12,解,依對(duì)稱(chēng)性知,例,拋物面,有,?,被積函數(shù),為第一卦限部分曲面.,13,14,例,所圍成的空間立體的表面.,15,解,投影域,例,所圍成的空間立體的表面.,對(duì)稱(chēng)性,16,(左右兩片投影相同),將投影域選在,分成左、右兩片,對(duì)稱(chēng)性,17,計(jì)算曲面積分,其中是球面,解,的方程,方程是:,方程是:,記上半球面為,下半球面為,不是單值的.,的值.,練習(xí),18,對(duì)上半球,得,對(duì)下半球,是球面,19,所以,20,計(jì)算,其中為球面,之位于平面,曲面的方程,在xoy面上的投

4、影域,解,練習(xí),上方的部分.,21,因曲面,于是,x3是x的奇函數(shù)，,x2y是y的奇函數(shù).,關(guān)于yoz面及xoz面對(duì)稱(chēng);,22,例,解,積分曲面方程,輪換對(duì)稱(chēng),提示,即三個(gè)變量輪換位置方程不變.,具有,輪換對(duì)稱(chēng)性,中的變量x、y、z,23,1995年研究生考題,計(jì)算,6分,解,積分曲面,在xoy面上的投影域,練習(xí),24,積分曲面,25,對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算,對(duì)面積的曲面積分的概念,四、小結(jié),四步:分割、取近似、求和、取極限,思想:化為二重積分計(jì)算;,對(duì)面積的曲面積分的幾何意義與物理意義,曲面方程三種形式的計(jì)算公式,26,思考題,定積分、二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分、對(duì)面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為,是非題,是,因?yàn)槿魹橹本€上的區(qū)間a, b,則,故,27,思考題,定積分、二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分、對(duì)面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為,是非題,是,若是平面區(qū)域g,則,故,28,思考題,定積分、二重積分、三重積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分、對(duì)面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為,是非題,是,若是空間區(qū)域,則,故,29,思考題,