1、西南科技大學自動化專業(yè)方向設計報告設計名稱：直線二級倒立擺的建模和鎮(zhèn)定控制 姓 名： 學 號: 班 級： 指導教師： 起止日期： 方 向 設 計 任 務 書學生班級： 學生姓名： 學號： 設計名稱： 起止日期： 指導教師： 設計要求： （1）建立直線二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，并在垂直向上方向上（工作點附近）得到線性化模型；（2）理解lqr（線性二次調(diào)節(jié)器）的基本原理，會利用matlab提供的lqr函數(shù)獲得直線二級倒立擺線性化模型的lqr控制器；（3）利用matlab的simulink仿真環(huán)境，搭建倒立擺的控制系統(tǒng)，得到并分析仿真結果；（4）撰寫設計報告，完成答辯。方 向 設 計 學 生 日 志

2、時間設計內(nèi)容直線二級倒立擺的建模與鎮(zhèn)定控制摘要（150-250字）倒立擺是一個典型的多變量、非線性、強耦合、欠驅(qū)動的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，對倒立擺系統(tǒng)的控制研究，能反映控制過程中的鎮(zhèn)定、非線性和隨動等問題，因此常用于各種控制算法的研究。而且對倒立擺系統(tǒng)的研究還有重要的工程背景，對機器人行走、火箭的姿態(tài)調(diào)整等都有重要的現(xiàn)實意義。本文以直線二級倒立擺系統(tǒng)為模型，闡釋了直線二級倒立擺的建模方法和鎮(zhèn)定控制算法。其次介紹了直線二級倒立擺系統(tǒng)的結構和參數(shù)，應用拉格朗日方程建模方法詳細推導了二級倒立擺的數(shù)學模型，并對系統(tǒng)的性能進行分析。接下來，本文重點研究了最優(yōu)控制算法在直線二級倒立擺鎮(zhèn)定控制中的應用；在介紹倒立

3、擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法的基礎上，設計了系統(tǒng)的最優(yōu)控制器，分析得出控制參數(shù)的選擇規(guī)律；并且在simulink上完成仿真實驗,觀察控制系統(tǒng)性能。關鍵詞：倒立擺；建模；lqr；鎮(zhèn)定控制modeling and balance control of the linear double inverted pendulum abstract：inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.the process of contro

4、l research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. so the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. the research of inverted pendulum also has important background of engineer

5、ing, and has practical significance for the robot walk and rocket-profile adjustment.in this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. first of all, giving out the research s

6、ignificance and situation of the inverted pendulum system, and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. researching of the inverted pendulum mathematical mode

7、l based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. next, this paper studied the inverted pendulum systems optimal control algorithm, and designed the lqr controller based on it, then coming to the law of selection of control parameters. fini

8、shing the simulation in the simulink software, observing the performance of the control system. key words: inverted pendulum, modeling, lqr, balance control一、設計目的和意義二、控制要求對直線二級倒立擺模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立擺的數(shù)學模型。利用線性二次最優(yōu)控制理論設計倒立擺的lqr鎮(zhèn)定控制器，在matlab和simulink中完成倒立擺的鎮(zhèn)定控制仿真，得出倒立擺lqr控制器設計規(guī)律。三、設計方案論證牛頓力學

9、建模方法：根據(jù)傳統(tǒng)的牛頓力學分析，建立二級擺動力學方程，最后經(jīng)過求解方程建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。 特點：分析通俗易懂，但需要求解大量微分方程，計算復雜；對于二級以上倒立擺建模很少使用。拉格朗日建模方法：基于廣義力和廣義坐標的系統(tǒng)能量法，需要求出系統(tǒng)的動能和勢能，建立lagrange方程。特點：理論較難，但建模簡單，可以編程求解方程。四、系統(tǒng)設計倒立擺系統(tǒng)是由導軌、小車和各級擺桿組成，本文研究的直線二級倒立擺的物理結構如圖1-1所示。小車依靠直流電機施加的控制力，可以在導軌上左右移動，其位移和擺桿角度信息由傳感器測得，目標是使倒立擺在有限長的導軌上豎立穩(wěn)定，達到動態(tài)平衡。圖1-1直線二級倒立擺的物理

10、結構其中，雙擺系統(tǒng)由擺桿1、擺桿2、質(zhì)量塊1、小車和基座組成。擺桿1與擺桿2由質(zhì)量塊1連接，擺桿1與基座都由帶滾動軸承的旋轉(zhuǎn)軸自由相連。小車裝在滑動軸上，通過電機帶動皮帶使小車移動。為了測量擺桿的轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)軸上安裝有增量式角度編碼器，內(nèi)桿與小車連接處的角度編碼器的質(zhì)量可直接考慮為小車質(zhì)量的一部分，故圖中只表注了內(nèi)外桿連接處的編碼器質(zhì)量塊1。兩個擺桿不帶動力源，兩擺桿的運動控制只能通過小車的移動來實現(xiàn)。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策，并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持擺桿的平衡。當把擺桿提起到平衡位置附近后放開，若小車不動，擺桿會由于重

11、力倒下來。當小車在水平方向上移動時，擺桿受到一個轉(zhuǎn)動力矩，這個力矩使擺桿朝與小車運動方向相反的方向運行，通過規(guī)律性的改變小車的受力方向使得擺桿在豎直方向上左右擺動，從而實現(xiàn)擺桿在豎直方向上的動態(tài)平衡。直線二級倒立擺系統(tǒng)的物理參數(shù)如表2.1所示。表2.1直線二級倒立擺的物理參數(shù)符號描述參數(shù)符號描述參數(shù)m1擺桿1質(zhì)量0.108kgl1擺桿1質(zhì)心到轉(zhuǎn)矩距離0.20mm2擺桿2質(zhì)量0.108 kgl2擺桿2質(zhì)心到轉(zhuǎn)矩距離0.20mm3質(zhì)量塊質(zhì)量0.208kgl擺桿1、2的長度0.40mm小車質(zhì)量1.32kgf0小車與導軌的摩擦系數(shù)22.915g重力加速度9.8000n/kgf1擺桿1與小車的摩擦系數(shù)0

12、.7756j1擺桿1的轉(zhuǎn)動慣量0.00144 kg.m2f2擺桿1與擺桿2的摩擦系數(shù)0.7756j2擺桿2的轉(zhuǎn)動慣量0.00144 kg.m21擺桿1轉(zhuǎn)動角度x小車水平位移2擺桿2轉(zhuǎn)動角度1.基于lagrange方程方法建立二級擺的數(shù)學模型為了對二級擺的性能做具體的研究，需要建立倒立擺的數(shù)學模型。系統(tǒng)建模方法可以分為兩種：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關系。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入、狀態(tài)關系。對

13、于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)進行機理建模。對于小車系統(tǒng)的機理建模，一般有牛頓力學建模方法和分析力學中的拉格朗日方程建模方法兩種途徑。牛頓力學建模法分析復雜，且要計算大量的微分方程組，而拉格朗日建模方法分析簡單，可以編程求解方程。因此本文采用拉格朗日方程建模方法建立倒立擺的數(shù)學模型，應用mathematica軟件編程求解拉格朗日方程，簡化對微分方程的求解。2.lagrange方程建模的基本原理lagrange方程屬于分析力學的范疇，是基于廣義坐標和廣義能量的方法。lagra

14、nge方程是由虛功原理推導出來的，指受理想約束的完整力學系中廣義力做功為零。在分析力學中，質(zhì)點系的虛功可以表示如下： 其中，稱為對應于第個廣義坐標的廣義主動力，是廣義坐標的廣義虛位移。因為可以是虛線位移，也可以是虛角位移，因此可以有力或力矩的量綱，這體現(xiàn)了廣義力的廣義性。廣義力一般分為保守力和非保守力，保守力是做功與路徑無關的力，非保守力是做功與路徑有關的力。虛功原理解決的是受理想約束的完整力學系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)的問題，當系統(tǒng)在運動時，通過達朗伯定理引入慣性力，將系統(tǒng)運動時的問題轉(zhuǎn)化為靜力學問題。此時系統(tǒng)受主動力、約束力和慣性力處于靜平衡狀態(tài)，應用虛功原理，得到達朗伯-拉格朗日方程。應用達朗伯

15、-拉格朗日方程可以推導出基于廣義坐標和廣義能量的lagrange方程，本節(jié)中我們只對lagrange方程進行應用，因此舍去其詳細的推導過程。下面對lagrange方程的三種基本形式做介紹。 （1）基本的第二類拉格朗日方程為： （2）主動力是保守力的拉格朗日方程為：（3）主動力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程為：其中為拉格朗日算子，q 為系統(tǒng)的廣義坐標，t 為系統(tǒng)的動能，v 為系統(tǒng)的勢能，為廣義坐標對應的廣義力。對一個系統(tǒng)進行l(wèi)agrange方程建模時的步驟為：首先明確對象，一般取整個系統(tǒng)為研究對象。對整個系統(tǒng)進行受力分析，分析主動力，當出現(xiàn)非理想約束力時，將其視為主動力；選擇恰當形式的拉格朗

16、日方程。然后對系統(tǒng)的運動性能進行分析，恰當系統(tǒng)中獨立的廣義坐標。進而求取系統(tǒng)的動能和勢能，得到系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，求偏導和全導，代入拉格朗日方程，獲n個運動微分方程。最后對n個微分方程進行線性化，求出系統(tǒng)的數(shù)學模型。3.二級倒立擺系統(tǒng)建模應用lagrange方程對二級擺系統(tǒng)進行建模時，對二級擺系統(tǒng)進行受力分析。由于二級擺系統(tǒng)受推力和摩擦力作用，其中推力屬于保守力，摩擦力屬于非保守力。因此選用主動力包括保守力和非保守力的拉格朗日方程。對二級擺系統(tǒng)的運動特性進行分析，確定廣義坐標。在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)有三個廣義坐標，分別為。當時，；當時，對應的為零。然后求出系統(tǒng)的動能和勢能，系統(tǒng)的動能由小車、

17、擺桿1、擺桿2和質(zhì)量塊1的動能組成，系統(tǒng)的勢能由擺桿1、擺桿2和質(zhì)量塊1的勢能組成。由于系統(tǒng)在廣義坐標下沒有外力作用，可以列出系統(tǒng)在廣義坐標中所受外力為零的方程。然后求解方程組，就可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達式，進而建立倒立擺的狀態(tài)空間方程。由于倒立擺系統(tǒng)是一個非線性和不確定的系統(tǒng)，因此應用機理建模法對二次級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學模型時作如下假設：1)每一級擺桿都是剛體。2)在實驗過程中同步帶長度保持不變。3)驅(qū)動力與放大器輸入成正比并無延遲的直接施加于小車。4)實驗過程中的庫侖摩擦、動摩擦等所有摩擦力足夠小，在建模過程中可忽略不計。使用lagrange方程對直線二級倒立擺系統(tǒng)的建模過程為：(1)求出倒

18、立擺的動能和勢能圖1-2 直線二級倒立擺受力分析先對倒立擺的物理模型進行分析，如圖2-3所示，然后建立擺桿和質(zhì)量塊的質(zhì)心的坐標表達式。這里規(guī)定擺桿1的質(zhì)心坐標為，擺桿2的質(zhì)心坐標為，質(zhì)量塊的質(zhì)心坐標為。質(zhì)心坐標如下： 在直線二級倒立擺系統(tǒng)中，廣義坐標為，和。根據(jù)倒立擺的物理模型分析圖，列寫出系統(tǒng)的動能為： 其中，、和分別為小車、擺桿1、擺桿2和質(zhì)量塊1的動能，它們分別為： 其中，和分別為擺桿1和擺桿2質(zhì)心平動動能，和分別為擺桿1和擺桿2繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能。然后，應用擺桿和質(zhì)量塊質(zhì)心表達式求出系統(tǒng)的動能。帶入公式（2.7）擺桿1的動能為：所以得到同理，求出擺桿2的動能為： 質(zhì)量塊1的動能為：因此，可

19、以得到系統(tǒng)動能為 另一方面，系統(tǒng)的勢能為 從而得到lagrange函數(shù)為 （2）列出lagrange方程由于在廣義坐標上均無外力作用，故列寫lagrange方程得到 將式(2.21)代入式(2.22)和(2.23)得到 上述方程為倒立擺的動力學方程，求解微分方程可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達式，然后可以建立倒立擺的數(shù)學模型。4.倒立擺運動方程的線性化處理針對已建立的拉格朗日方程，求解方程可以得到倒立擺狀態(tài)量的表達式。由于是關于系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入控制量u的方程，小車施加的加速度信號作為控制量，有；因此設方程的解為： 對倒立擺模型進行線性化處理，這里采用在平衡點附近將函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開。上面的方程

20、為七元函數(shù)，因此采用對多元函數(shù)展開的方法展開，這里對二元函數(shù)的泰勒級數(shù)展開方法進行介紹。二元函數(shù)的形式為，在其平衡點附近進行泰勒級數(shù)展開。在平衡點附近，由于偏差及的絕對值很小，可以省略函數(shù)高次項得：將上式化簡，得到一次線性方程： ，這樣，與和之間的非線性關系，轉(zhuǎn)化為與和之間的線性關系。當系統(tǒng)的平衡點處于原點時，即，可以對方程化簡為：按照二元函數(shù)的泰勒級數(shù)展開方法對公式（2.24）進行展開，由于直線二級倒立擺系統(tǒng)的平衡點為：；因此線性化后得到的表達式為： 其中由于求解微分方程比較繁瑣，因此對線性化處理后的方程采用mathematica軟件編寫程序，求解倒立擺狀態(tài)量的表達式。根據(jù)得到的參數(shù)，建立倒

21、立擺的數(shù)學模型。根據(jù)倒立擺系統(tǒng)的動能和勢能，求得拉格朗日算子，然后建立lagrang方程，并按線性化后的關系求解方程。根據(jù)倒立擺的拉格朗日建模方法編寫mathematica程序，求解lagrang方程。直線二級倒立擺拉格朗日方程求解的mathematica實現(xiàn)代碼見附錄1。運行程序求出倒立擺狀態(tài)量的表達參數(shù)，其中k11、k14、k15、k16、k21、k24、k25、k26的值為0，其余各參數(shù)的表達式如下：=33.4502；=-7.3229；=2.6661；=-50.1753；=47.7343；=-0.2491；對二級倒立擺系統(tǒng)，取系統(tǒng)狀態(tài)變量為，然后建立連續(xù)狀態(tài)空間方程為： 根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量

22、直接的關系，寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：在倒立擺的鎮(zhèn)定控制中,采用lqr控制器實現(xiàn)鎮(zhèn)定控制。當?shù)沽[系統(tǒng)受到干擾偏離了平衡狀態(tài)時,能在不消耗過多能量的情況下,保持系統(tǒng)最快的回到平衡狀態(tài)。設計最優(yōu)控制器時，選擇合適的正定矩陣和使系統(tǒng)的性能指標取最小，然后利用matlab提供的函數(shù)，按照給定的加權陣求出控制參數(shù)。在最優(yōu)控制器的設計中，最優(yōu)控制信號和加權陣、的選擇相關。為狀態(tài)變量加權矩陣，表示對誤差向量的重視程度；為控制加權陣，表示在對控制能量的要求。實際上，控制系統(tǒng)的誤差與控制消耗的能量是相互制約的，如果僅要求控制誤差盡量小，則可能造成求得的控制向量u過大，控制能量消耗過大；反之，為了節(jié)省控制能量，

23、就不得不降低對控制性能的要求。因此選擇加權矩陣時，要滿足控制性能和控制能量消耗的要求。為了方便對每個控制量進行控制，通常將加權陣、選擇為對稱矩陣，對角線上的加權系數(shù)表示對每個控制量的重視程度。在實際選擇加權陣時，都是通過試湊法來實現(xiàn)，選擇一組加權陣，然后仿真觀察其控制性能是否滿足要求，直到尋找到滿足其性能要求的加權陣為止。加權陣、是相對的，因此在實際選擇中，先令=1，然后改變對角線上的值，直到滿足性能要求為止。在二級倒立擺的鎮(zhèn)定控制中，要求系統(tǒng)最快的回到平衡位置，按照控制要求選擇加權陣的值。因為二級倒立擺控制器只有一個輸入控制量，為標量，直接選擇=1。在平衡點附近,小車的速度和各擺桿的角速度很

24、小,與這些速度變量相對應的項對指標函數(shù)貢獻很小,為簡化控制,我們只選擇狀態(tài)向量中的位移量作為受控量,因而各速度項對應的權系數(shù)取為0。因為二級倒立擺是一個高階、絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng), 上下擺的穩(wěn)定性是最重要的，所以其對應的加權系數(shù)取值要大一些。又因為上、下擺穩(wěn)定是通過小車的移動來實現(xiàn)的, 所以對小車位置的變化范圍不要控制的過嚴, 以免在擾動過大時失去調(diào)節(jié)作用, 所以位置對應的加權系數(shù)取值要盡量小些?？傊诳紤]各個狀態(tài)向量時，上擺偏角比下擺偏角重要，下擺偏角比小車位移重要，按照這個規(guī)律選擇加權矩陣、能較快的滿足控制性能要求。5.lqr控制器設計利用線性二次最優(yōu)控制規(guī)律設計lqr控制器時，就是求取控制器

25、的反饋增益k的問題。根據(jù)期望性能指標選取加權矩陣、，利用matlab 命令lqr 就可以得到反饋增益k 的值。然后利用求得的k值進行仿真實驗，觀察系統(tǒng)性能是否滿足要求。若不滿足要求，則改變加權矩陣的值，直到符合系統(tǒng)的性能要求?！窘o出公式】在設計lqr控制器時，根據(jù)lqr控制規(guī)律，編寫直線二級倒立擺的lqr控制matlab計算程序，程序見附錄2。程序中利用lqr指令計算出控制器的反饋增益k，然后進行l(wèi)qr控制仿真，觀察系統(tǒng)在擾動信號下的響應。系統(tǒng)中通過引入反饋增益k來消除穩(wěn)態(tài)誤差，控制信號為輸入量與輸出信號乘以反饋增益之后的差。這樣反饋信號與輸入信號的量綱不同，需要對輸入信號做標度變換，給輸入信

26、號乘以增益nbar。程序中用函數(shù)rscale求出增益nbar，即nbar=rscale(a,b,cn,0,k),由于matlab工具箱中不帶rscale函數(shù)，在運行程序時要將函數(shù)添加到工具箱中。實際上輸入信號與反饋信號相減時，對應的是輸入量與小車位移x對應的項相減，因此輸入量的增益nbar與k向量中x對于的項相等，即nbar=kx。在程序中選擇加權矩陣，求出控制器的最優(yōu)反饋增益k，并對控制系統(tǒng)在輸入擾動作用下的性能進行分析。在最優(yōu)控制器的設計時，控制器的加權陣由選擇者選擇，然后驗證得到的控制參數(shù)是否滿足控制性能。這里首先將加權陣選擇為1，然后選擇中的、和參數(shù)，獲得最優(yōu)反饋增益k。這里選擇=1、

27、=1和=1，求取lqr控制器的反饋矩陣k，然后進行系統(tǒng)的干擾響應實驗，得到仿真如圖3-2所示。6.lqr控制器的控制參數(shù)優(yōu)化按照前面的控制器設計程序，重新選擇二級倒立擺的加權陣，直到獲得最佳的控制參數(shù)k。選取二級倒立擺的加權陣的參數(shù)時，按照上擺偏角比下擺偏角重要，下擺偏角比小車位移重要的規(guī)律選擇。改變小車位移、擺桿1角位移和擺桿2角位移對應的加權系數(shù)、和，得出二級倒立擺系統(tǒng)的qr參數(shù)與反饋控制矩陣k以及系統(tǒng)控制性能的關系，在固定r為1的情況下，加權陣q的參數(shù)在0-100時，控制器的控制能力很弱，不能明顯的改善控制性能；加權陣q的參數(shù)在100-1000內(nèi)時，控制器能明顯的提高控制性能；加權陣q的

28、參數(shù)大于1000時，系統(tǒng)的的控制量加大，但是性能提高緩慢，而且參數(shù)選擇過大時，系統(tǒng)會喪失穩(wěn)定性。因此選擇加權陣q的參數(shù)時，在100-1000的范圍內(nèi)合理選擇，能獲得最優(yōu)的控制性能。在加權陣q中，將小車位移加權系數(shù)從100增加到500后，系統(tǒng)的性能指標提高明顯；繼續(xù)加大小車位移加權系數(shù)，不能明顯減小穩(wěn)定時間；因此將小車的位移加權系數(shù)選為500時，系統(tǒng)性能最優(yōu)。固定小車位移加權系數(shù)為500時，相應增加擺桿1和擺桿2的加權系數(shù)，則反饋控制矩陣中擺桿1的角速度反饋項減小，其余項增大，小車位移和穩(wěn)態(tài)時間減??；當擺桿1和擺桿2 的加權系數(shù)過大時，擺桿的靈敏度較高，系統(tǒng)的穩(wěn)定時間增加。所以，要在較小的控制量

29、下得到較好的控制性能，應當選取q=，r = 1時，反饋控制矩陣k=，二級倒立擺系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制性能較佳。五、設計結果及分析要在較小的控制量下得到較好的控制性能，應當選取q=，r = 1時，反饋控制矩陣k=，二級倒立擺系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制性能較佳。此時倒立擺干擾響應實驗的仿真如圖1-3所示?！窘o出搭建出來的simulink仿真環(huán)境圖】【要對仿真結果進行分析】圖1-3 lqr控制仿真結果 圖中倒立擺的穩(wěn)定時間為2.5s左右，為最優(yōu)結果。結束語參考文獻（遞增引用，引用相關內(nèi)容）1畢效輝,自動控制理論m.北京：中國輕工業(yè)出版社，2007.2郭圣權,畢效輝.現(xiàn)代控制理論m.北京：中國輕工業(yè)出版社，2007.3鄭

30、恩讓,聶詩良.控制系統(tǒng)仿真m.北京：北京大學出版社，2006.4荊海英.最優(yōu)控制理論與方法eb.超星數(shù)字圖書館，2002.6倒立擺與自動控制原理實驗z.固高科技（深圳）有限公司，2005.7梁艷陽. 時變不確定機電運動系統(tǒng)的非線性自適應控制d.中國科技大學博士學位論文,2008.8宋君烈,肖軍,徐心和.倒立擺系統(tǒng)lagrange方程建模與模糊控制j. 東北大學學報, 2002,23(4)9吳文進,葛鎖良.基于lqr 最優(yōu)調(diào)節(jié)器的二級倒立擺控制系統(tǒng)j. 安慶師范學院學報(自然科學版)，2007,13(2)10張宏立.基于matlab/rtw的實時控制系統(tǒng)開發(fā)j.制造業(yè)自動化，2004，362附錄（程序、電路圖等）附錄1 直線二級倒立擺拉格朗日方程求解的mathematica實現(xiàn)代碼其中m為小車質(zhì)量，m1為擺桿1的質(zhì)量，m2為擺桿2的質(zhì)量，m3為質(zhì)量塊的質(zhì)量，為擺桿1的長度，為擺桿2的長度；小車的動能擺桿1的質(zhì)心擺桿1的動能擺桿2的質(zhì)心擺桿2的動能質(zhì)量塊的質(zhì)心質(zhì)量塊的動能整個倒立擺系統(tǒng)的勢能拉格朗日算