1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些三角形度量問題,第7課時 正弦定理、余弦定理,1對解斜三角形的考查在高考試題中時常出現(xiàn)，主要考查正弦定理、余弦定理、運用三角公式進行恒等變形及運算能力以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主來考查有關的定理的應用、三角恒等變形、運算能力及轉化思想 2題目類型有判斷三角形形狀的填空題，求三角形邊角關系的解答題，三角形中有關三角變換的解答題，但都以較容易的題目出現(xiàn),【命題預測】,1利用正弦定理可將邊的關系轉化為角的關系，應注意互補角的正弦值相等這一特殊關系的應用在ABC中，ABab sin Asin B，但要注意命題成立的前提必須是在三角形中，脫離了三角形這個前提條件

2、，命題是不成立的 2判斷三角形的形狀，實質是判斷三角形的三邊或三角具備怎樣的關系由于正弦定理非常好地描述了三邊與三角的數(shù)量關系，所以，可利用正弦定理實現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具備的關系利用正弦 定理判定三角形的形狀常運用正弦定理的變形形式，將邊化為角，有時結合三角函數(shù)的有關公式(如誘導公式，和差公式)得出角的大小或等量關系 3已知三角形三邊或三邊之比，可用余弦定理求出這個三角形的三個角使用余弦定理求角時，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60，最小角大于60可知三角形無解,【應試對策】,ABC中的常用結論 (1)tan Atan Btan Ctan

3、Atan Btan C； A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B60； ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列； abABsin Asin B；,【知識拓展】,在ABC中，給定A、B的正弦或余弦值，則C的正弦或余弦有解(即存在)的充要條件是cosAcosB0.簡證如下：C有解(AB)有解0cos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判斷C是否有解，只需考慮cos Acos B的符號即可,(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin . (3)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

4、 (4)等邊對等角，等角對等邊，大邊對大角，大角對大邊,1正弦定理、余弦定理及相關知識,b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,2.在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下,1(蘇州市高三教學調研考試)在ABC中，A，B，C對應的三邊長為a，b，c，若a2(bc)2bc，則A的大小等于_ 解析：根據(jù)余弦定理得cos A ， A 答案： 2(2010東臺中學高三診斷)若ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，則C等于_ 答案：60,3在

5、ABC中，如果A60，c4，a2 ， 則此三角形有_個解 解析：A60，c4，a2 ， 由正弦定理得： ，即 sin C1.又0C180，C90，B30. 因此三角形只有一個解 答案：一,在ABC中，已知acos Abcos B，則ABC的形狀為_ 解析：由已知acos Abcos B得 ，又由正弦定理，得 所以 ，整理得：sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B. 因為A、B為三角形內(nèi)角，所以2A2B或2A2B， 所以AB或AB ，即ABC為等腰三角形或直角三角形 答案：等腰三角形或直角三角形,4,5(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)在ABC中，a，b，c分別是角A

6、，B，C的對邊，且a，b，c成等差數(shù)列，sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列，則該三角形的形狀是_ 解析：由a，b，c成等差數(shù)列得2bac，由sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列得sin2Bsin Asin C，所以由正弦定理得b2ac. ac，所以abc，所以三角形是等邊三角形 答案：等邊三角形,這類題型主要是已知三角形中的某些邊或角，去求另外的邊或角一般地，如果已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角或者已知兩邊或其中一邊的對角，求另一邊的對角問題則考慮用正弦定理；如果已知三邊求三角或者已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角問題則考慮用余弦定理考試中這類題型在填空及解答題中均可

7、能出現(xiàn)，試題難度以低、中檔題為主,【例1】已知ABC中，sin Asin Bsin C ，求最大角 思路點撥：由三個角的正弦比，得出三邊比，再判斷哪個角最大， 然后運用余弦定理求解 解：由正弦定理，知 2R， abc 不妨設a 1，b 1，c ，由在三角形中大邊對大角知， C最大由余弦定理，知cos C ，C120.,變式1：已知ABC中，abc2 1)， 求ABC中的各角的大小 解：設a2k，b k，c( 1)k(k0)， 利用余弦定理，有cos A A45.同理可得cos B ，B60. C180(AB)75.,這類題型主要是利用正、余弦定理及其變形，把題設條件中的邊、 角關系式轉化為角或

8、者邊的簡單關系式，進而進行判斷 【例2】在ABC中，如果lg alg clg sin Blg ，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀 思路點撥：先進行對數(shù)的運算，再將邊化角即可,解：由lg alg clg sin Blg ，得sin B ， 又B為銳角，B45. 同時 ， . sin C2sin A2sin(135C)， 即sin Csin Ccos C， cos C0，所以C90.故此三角形為等腰直角三角形,變式2：在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么ABC的形狀是_ 解析：由sin C2sin(BC)cos B，得sin C2sin Acos B. 再結合正、余弦定理得：

9、 整理得a2b2，所以ABC一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B， 可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，從而AB. 答案：等腰三角形,1這類題型同一般三角函數(shù)中三角函數(shù)的求值與證明相類似，但也有著不同之處，如涉及到的關系式中除角外還可能涉及到邊，因而轉化方式有角的轉化和邊的轉化 2三角形中三角函數(shù)的證明問題主要是圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開的，從某種意義上來看，這類問題就是有了目標的含邊和角的式子的化簡問題,【例3】在ABC中，證明： 思路點撥：等式左邊有邊也有角，右邊只有邊，故考慮把等式左邊的角轉化為邊 證明：左邊 右邊故原命題得證,【例4】 在

10、ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，求A的大小及 的值 思路點撥：把已知條件a2c2acbc變形，構造余弦定理結構求出A的值，然后再利用正弦定理變形求出 的值,解：(1)a、b、c成等比數(shù)列，b2ac，又a2c2acbc， b2c2a2bc. 在ABC中，由余弦定理得cos A ，A60. (2)在ABC中，由正弦定理sin B ， b2ac，A60，,變式3：(2010北京海淀區(qū)高考模擬題)在ABC中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且AB， 求證：ABC是直角三角形,證

11、明：由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB) 利用兩角和、差的三角函數(shù)公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B. 由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B. 又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb， 2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即sin 2Asin 2B. AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形,變式4： 在ABC中，A、B、C所對的邊的長分別為a，b，c，設a，b，c滿足條件b2c2bca2和 ，求A和tan B的值 解：b2c2bca2， b2c2a2bc.由余弦定理得cosA

12、又A為三角形一內(nèi)角， A .在ABC中，C(AB) B B.,由已知條件及正弦定理得 tan B .,【規(guī)律方法總結】,1根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角； (2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換 2用正弦(余弦)定理解三角形問題時可適當應用向量數(shù)量積求三角形內(nèi) 角與應用向量的模求三角形邊長等 3在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重 挖掘隱含條件 4注意體會函數(shù)與方程思想、等價轉化思想的應用,【高考真題】,【例5】(2009天津卷)在ABC中，BC ，AC3，sin C2sin A. (1)求AB的值；(2)求sin 的值 分析

13、：根據(jù)正弦定理求AB的值，根據(jù)余弦定理求出A的余弦，根據(jù)倍角公式求出2A的正弦值、余弦值，再根據(jù)兩角和、差的正弦公式 求sin 的值,規(guī)范解答：(1)在ABC中，根據(jù)正弦定理， 于是AB BC2BC2 . (2)在ABC中，根據(jù)余弦定理，得cos A 于是sin A 從而sin 2A2sin Acos A ， cos 2Acos2Asin2A . 所以,本題沒有按照常規(guī)出題方式給出三角形中角的大小，而是給出了兩個角的正弦之間的關系，根據(jù)正弦定理的特點就可以通過約分的方式將其約掉，達到解決問題的目的，試題設計頗有新意,【命題探究】,【全解密】,三角恒等變換中經(jīng)常用到的角度變換，如：()()，2(

14、)()()()， ， 等， 通過這些角的變換實現(xiàn)利用已知條件達到整體求解的目的,【知識鏈接】,一般地，已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，可以根據(jù)正弦定理的變式abcsin Asin Bsin C，在知道了兩個角的正弦比值時也可以使用正弦定理求解三角形，本題就是這種情況；當已知三角形三邊時可以根據(jù)余弦定理求出任意一個角的余弦值,【方法探究】,正弦定理是一個連比等式，在使用這個定理時不一定要知道其中的三個量才能求第四個量，只要知道了其比值或等量關系就可以通過約分達到解決問題的目的，在解題中要注意這個技巧的使用，不要一味地尋找使用正弦定理的具體條件.,【技巧點撥】,1在ABC中，a ，b ，B45，解此三角形 分析：根據(jù)已知條件，此題是已知兩邊和一邊的對角的題目，要根據(jù)條件先求出A，然后根據(jù)A的值討論解的情況,解：由 ，得sin A ab，AB45，A為銳角或鈍角，A60或A120. 當A60時，C180604575， c 當A120時，C1801204515， c,2已知方程x2(bcos A)xacos B0的兩根之積等于兩根之和，且a，b為ABC的兩邊，A，B為a，b的對角，試判斷ABC的形