1、3 層合板的剛度與強(qiáng)度,層合板的剛度與強(qiáng)度的分析是建立在已知單層剛度與強(qiáng)度的基礎(chǔ)上。 假設(shè)層合板為連續(xù)、均勻、正交各向異性的單層構(gòu)成的一種材料，并假設(shè)各單層之間是完全緊密粘接，且限于線彈性、小變形情況下研究層合板的剛度與強(qiáng)度，這種層合理論稱(chēng)為經(jīng)典層合理論。 本章是利用經(jīng)典層合理論來(lái)討論層合板的剛度與強(qiáng)度。,3.1 對(duì)稱(chēng)層合板的面內(nèi)剛度,所謂對(duì)稱(chēng)層合板，是指層合板的鋪層方向相對(duì)于層合板的幾何中面是鏡面對(duì)稱(chēng)的，也就是說(shuō)，從中面向上或向下觀察各鋪層方向，鋪設(shè)順序是相同的，單向?qū)雍习蹇煽醋魇菍?duì)稱(chēng)層合板的一種特例。,3.1.1層合板的標(biāo)記 層合板各鋪層的方向隨設(shè)計(jì)者的需要可以任意鋪設(shè)。為 了分析各種鋪設(shè)

2、順序?qū)雍习宓牧W(xué)性能，應(yīng)簡(jiǎn)明地給出表征 層合板鋪層或鋪層組鋪設(shè)順序的符號(hào)，即層合板的標(biāo)記。 偶數(shù)層：對(duì)稱(chēng)鋪層只寫(xiě)出一半，括號(hào)外加寫(xiě)下標(biāo)“s”表示對(duì)稱(chēng)。,對(duì)于非對(duì)稱(chēng)層合板，必須在標(biāo)記中表明全部鋪層組的鋪設(shè)順序，并標(biāo)明下角標(biāo)T。例如：【05/902/45/90/03】T 這種層合板標(biāo)記，僅表明由底面向上至頂面的鋪設(shè)順序，而不能相反。 當(dāng)然，即使為對(duì)稱(chēng)層合板，有時(shí)也可采用標(biāo)出全部鋪層組的標(biāo)記，例如前面給出的對(duì)稱(chēng)層合板可寫(xiě)成： 【05/902/45/-453/-453/45/902/05】T,例如：【05/902/45/-453】s 這種標(biāo)記的層合板表示，從板的底面開(kāi)始，第一個(gè)鋪層組包含五層相對(duì)參考軸

3、為0方向的鋪層，接著向上是兩層90方向鋪層，再向上是一層45方向鋪層，最后至中面的三層是 45方向的鋪層。下角標(biāo)s，表示對(duì)稱(chēng)層合板。,奇數(shù)層：在對(duì)稱(chēng)中面上的鋪層用頂標(biāo)“”表示。 例如：【0/90】s 即【0/90/0】,對(duì)于這樣的層合板，當(dāng)作用力的合力作用線位于層合板 的幾何中面內(nèi)時(shí)（如圖），由于層合板剛度的中面對(duì)稱(chēng)性， 層合板將引起面內(nèi)變形（厚度方向的變形可忽略），不引起 彎曲變形。,或【05/902/45/-456/45/902/05】T 另外，總數(shù)為奇數(shù)層的對(duì)稱(chēng)層合板往往采用T的標(biāo)記法。 例如：【05/903/05】T,3.1.2 面內(nèi)力面內(nèi)應(yīng)變關(guān)系 由于本章討論的是對(duì)稱(chēng)層合板，所以 各

4、單層鋪層角：（z）= （- z） 各單層模量：,在面內(nèi)變形下，由于層合板各鋪層是緊密粘接的，因而可認(rèn)為位移是一致的，即層合板厚度方向上坐標(biāo)為Z的任一點(diǎn)的面內(nèi)位移就等于中面的位移，即 u(z)=u0 v(z)=v0 這在層合板的厚度與長(zhǎng)度、寬度相比為很小時(shí)是合理的。,所以沿層合板厚度上各點(diǎn)的應(yīng)變是一樣的。 x(z)=x y (z)=y xy(z)=xy 但因?yàn)閷雍习甯鱾€(gè)鋪層的Qij可以不同，所以應(yīng)力未必是一樣的。,面內(nèi)力的符號(hào)仍規(guī)定正面正向和負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，否則為負(fù)。 與應(yīng)力符號(hào)規(guī)則一致。,為了確定層合板的面內(nèi)剛度，必須建立層合板的面內(nèi)力與面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系。所謂層合板的面內(nèi)力，就是層合板各鋪層應(yīng)力的

5、合力。（其單位為Pam，表示厚度為h的層合板橫截面單位寬度的力。）,為了建立面內(nèi)力面內(nèi)應(yīng)變關(guān)系式，只需要將各鋪層的 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式代入上式中，【利用（）（Qij）（）】,由于中面應(yīng)變與Z無(wú)關(guān)，所以,利用同樣方法， 可導(dǎo)出Ny 、 Nxy， 簡(jiǎn)寫(xiě)為,（31）,式中,（i,j=1,2,6）,稱(chēng)為層合板的面內(nèi)剛度系數(shù)。面內(nèi)剛度系數(shù)也象模量分量一樣，具有對(duì)稱(chēng)性。即Aij=Aji 為了使本章討論對(duì)稱(chēng)層合板的剛度與以前討論單向?qū)雍习宓膭偠认嚓P(guān)聯(lián)。因此，將面內(nèi)力與面內(nèi)剛度系數(shù)進(jìn)行正則化，即設(shè),Nx*、Ny*、Nxy*稱(chēng)為層合板的正則化面內(nèi)力，單位是Pa或N/m2，它們實(shí)際上表示了層合板的平均應(yīng)力，又稱(chēng)層合板

6、應(yīng)力。 Aij* 稱(chēng)為層合板的正則化面內(nèi)剛度系數(shù)，單位是Pa或N/m2， 與模量分量的量綱一樣。,（32）,上式為對(duì)稱(chēng)層合板的正則化面內(nèi)力面內(nèi)應(yīng)變關(guān)系式，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)稱(chēng)層合板的平均應(yīng)力（稱(chēng)層合板應(yīng)力）和面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系式。 我們將面內(nèi)力面內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系式作逆變換，可得面內(nèi)應(yīng)變與面內(nèi)力的關(guān)系式。,（33）,所以,式中aij稱(chēng)為層合板面內(nèi)柔度系數(shù)。 正則化形式：,（34）,很明顯，aij*=aijh，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)層合板的正則化面內(nèi)柔度系數(shù)。 aij*的意義是，當(dāng)對(duì)稱(chēng)層合板為單向?qū)雍习鍟r(shí)，,即單向?qū)雍习宓恼齽t化面內(nèi)柔度系數(shù)就是柔量分量。,（31）（34）均可寫(xiě)成矩陣形式。（略）,3.1.3 對(duì)稱(chēng)層合板的面內(nèi)

7、工程彈性常數(shù),類(lèi)似于定義單層的工程彈性常數(shù)，利用單軸層合板應(yīng)力或 純剪層合板應(yīng)力來(lái)定義對(duì)稱(chēng)層合板的面內(nèi)工程彈性常數(shù)，可以 得到面內(nèi)拉壓彈性模量 例： Nx*0, Ny*= Nxy*=0, 利用公式（34），得,同理，,面內(nèi)剪切彈性模量,面內(nèi)泊松耦合系數(shù),拉剪耦合系數(shù),剪拉耦合系數(shù),3.1.4 面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算,由于面內(nèi)剛度系數(shù)與構(gòu)成對(duì)稱(chēng)層合板的各鋪層模量有簡(jiǎn)單的積分關(guān)系式，而且各鋪層可以有不同的偏軸模量，所以正則化面內(nèi)剛度系數(shù)可改寫(xiě)成求和的形式進(jìn)行計(jì)算。 利用偏軸模量的計(jì)算公式及面內(nèi)剛度系數(shù)的定義,則可得正則化面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算式，見(jiàn)書(shū)中(3-24),3.1.5幾種典型對(duì)稱(chēng)層合板的面內(nèi)剛度,

8、層合結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料，利用鋪層的各單層材料和方向的隨意性可以得到各種各樣的層合板。這一節(jié)將主要討論各鋪層具有同樣材料和厚度的一些特殊的對(duì)稱(chēng)層合板。 A.正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板 凡各鋪層只有00和900鋪層方向的對(duì)稱(chēng)層合板稱(chēng)為正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板。 由正則化面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算式可以求得正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板的Aij*。,A12*=Q12,A66*=Q66,A16*= A26*= 0,式中 V(0)=n(0)/n, V(90)=n(90)/n 分別表示0方向和90方向鋪層的體積含量。 由正則化面內(nèi)剛度系數(shù)矩陣求逆，即得正則化面內(nèi)柔度系數(shù)矩陣（aij*）。 P48 例題,B. 斜交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板 凡各個(gè)單層只按

9、兩種方向鋪設(shè)的對(duì)稱(chēng)層合板稱(chēng)為斜交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板。如果兩種方向的層數(shù)相同，則稱(chēng)為均衡斜交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板。 對(duì)于均衡斜交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板，存在兩個(gè)彈性主方向。,同樣，由正則化面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算式可以求得Aij*。,表示鋪層方向角時(shí)的偏軸模量分量。但要注 意，當(dāng)時(shí)的偏軸模量分量,不為零。,因?yàn)榇藭r(shí)鋪層呈現(xiàn)各向異性。但層合板有兩種偏軸方向 和，使參考軸為主方向時(shí)，不存在拉剪耦合或 剪拉耦合；因此，,也即層合板呈現(xiàn)正交各向異性。,c.準(zhǔn)各向同性層合板,為滿足（36）的條件，可以采用定向?qū)芋w積含量相同的 m(m3)種定向?qū)?，以間隔為/m弧度的方向鋪設(shè)成對(duì)稱(chēng)層合板，即為準(zhǔn)各向同性層合板。 例如： 【-60/0

10、/60】s的m3的/3層合板 【-45/0/45/90】s的m4的/4層合板 均可推出（36）,凡面內(nèi)各個(gè)方向的剛度為相同的對(duì)稱(chēng)層合板稱(chēng)為準(zhǔn)各向同性層合板。,根據(jù)上述定義，可以證明，準(zhǔn)各向同性層合板的充要條件： A16*=A26*=0, A11*=A22*, A66*=(A11*-A12*)/2 （36） 滿足式中A16*=A26*=0表示層合板具有正交各向異性的性能，又滿足A11*=A22*，表示層合板具有正方對(duì)稱(chēng)的性能，再滿足A66*=(A11*-A12*)/2 表示層合板具有準(zhǔn)各向同性的性能。,由于正則化面內(nèi)剛度系數(shù)與鋪設(shè)順序無(wú)關(guān)，而與鋪層比有關(guān)，所以按上述方法構(gòu)成的準(zhǔn)各向同性層合板，若

11、改變它的鋪層順序，也不會(huì)改變其準(zhǔn)各向同性的性能。 例如： 【-602/02/602】s 【-60/02/60/-60/60】s,一般/4層合板，各定向?qū)影煌w積含量所得的Aij* 之間有很簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，書(shū)中51頁(yè)給出了以T300/4211復(fù)合 材料的例子。 但一般/4層合板的aij*的變化圖線和工程彈性常數(shù)的變化 圖線要比Aij*的變化圖線復(fù)雜得多。因此，利用面內(nèi)剛度系數(shù)進(jìn) 行層合板的力學(xué)分析，將比利用面內(nèi)柔度系數(shù)更方便。,D.一般 /4層合板,凡是具有四個(gè)鋪層方向彼此相隔45（即/4），且各鋪層 組可具有任意厚度的對(duì)稱(chēng)層合板稱(chēng)為一般/4層合板。當(dāng)四個(gè) 鋪層組具有相同鋪層體積含量時(shí)稱(chēng)為標(biāo)

12、準(zhǔn)的/4層合板，它是 準(zhǔn)各向同性層合板。,3.1.6對(duì)稱(chēng)層合板面內(nèi)剛度的轉(zhuǎn)換（不要求） 3.1.7面內(nèi)鋪層應(yīng)力和鋪層應(yīng)變分析 正則化面內(nèi)力（aij*）=(Aij*)-1 面內(nèi)應(yīng)變 各鋪層正軸 應(yīng)變 各鋪層正軸應(yīng)力 強(qiáng)度校核 例3.1 （P54),3.2 對(duì)稱(chēng)層合板的彎曲剛度,上一節(jié)討論了對(duì)稱(chēng)層合板在面內(nèi)力作用下面內(nèi)變形時(shí)的剛度，本章將討論對(duì)稱(chēng)層合板在彎曲力矩作用下發(fā)生彎曲變形時(shí)的剛度。 象利用面內(nèi)力面內(nèi)應(yīng)變關(guān)系式確定面內(nèi)剛度一樣，可以利用彎曲力矩與曲率關(guān)系式確定彎曲剛度。,3.2.1 對(duì)稱(chēng)層合板的彎曲力矩曲率關(guān)系式 首先作如下假設(shè)來(lái)近似處理層合板的彎曲問(wèn)題。 1.層合板的剛度是中面對(duì)稱(chēng)的，彎曲

13、是幾何中面就是中性曲面，即在小變形情況下幾何中面各點(diǎn)沒(méi)有平行于中面的位移。 2.直法線假設(shè)：彎曲前層合板內(nèi)垂直于幾何中面的直法線段在彎曲后仍保持為垂直于彎曲后中面的直線，且直線段的長(zhǎng)度不變。,3.忽略z，各鋪層按平面應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析。 為了依據(jù)上述假設(shè)導(dǎo)出彎曲力矩曲率關(guān)系式，補(bǔ)充給 出如下的應(yīng)變定義：,這里w是對(duì)應(yīng)于z軸方向的位移 u是對(duì)應(yīng)于x軸方向的位移 v是對(duì)應(yīng)于y軸方向的位移 根據(jù)假2，,所以位移w與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)，僅為x 和y的函數(shù)，即w=w(x,y) 同樣根據(jù)假設(shè)2，中面法線變形后仍為中面法線，故得 xz=yz=0,即,對(duì)z求積分，得,依據(jù)假設(shè)1，在z0處，u=v=0,所以c1(x,y)

14、=c2(x,y)=0 由此，可以用位移w來(lái)表達(dá)其他應(yīng)變分量。,根據(jù)微分幾何可知：,分別為層合板的曲率和扭率Kx、Ky、Kxy。 所以上式可寫(xiě)為x=zKx y=zKy xy=zKxy 為了確定層合板的彎曲剛度，需定義引起彎曲變形的力矩，它 們是層合板各鋪層應(yīng)力的合力矩。（圖322）,Mx , My 為彎距，Mxy為扭距。彎距和扭距的單位為N或Nm/m, 表示厚度為h的層合板橫截面單位寬度上的力矩。符號(hào)與構(gòu)成 彎距和扭距的層合板下半部分的應(yīng)力符號(hào)規(guī)則是一致的。,依據(jù)假設(shè)3，將各鋪層應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式代入，得,即,由于kx 、ky 、kxy與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)，所以上式可寫(xiě)成下式：,（37）,式中,稱(chēng)為層合板的

15、彎曲剛度系數(shù)， 而且Dij=Dji,(3-7)就是對(duì)稱(chēng)層合板的彎曲力矩曲率關(guān)系式。,為了使同一塊層合板的彎曲剛度系數(shù)與面內(nèi)剛度系數(shù)易 于比較，以及與單向?qū)雍习逑嚓P(guān)聯(lián)，因此進(jìn)行正則化處理， M*=6M/h2 K*=Kh/2 (3-8) Dij*=12Dij/h3 正則化彎曲力矩M*在數(shù)字上相當(dāng)于假設(shè)彎曲變形引起的 應(yīng)力為線性分布時(shí)的底面應(yīng)力。 正則化曲率k*是彎曲變形引起的底面應(yīng)變。,【注意】對(duì)稱(chēng)層合板的應(yīng)變是線性分布的，而應(yīng)力一般不是 線性分布的，所以kx*是底面的真實(shí)應(yīng)變，而Mx*一般不是底 面的真實(shí)應(yīng)力。 如果對(duì)稱(chēng)層合板為單向?qū)雍习?，則彎曲時(shí)應(yīng)力沿厚度 是線性分布。Mx*、My*、Mxy*

16、也就變成底面的真實(shí)應(yīng)力。 （公式359）,利用正則化參數(shù)式（38）可將（37）改寫(xiě)成如下 正則化形式（公式355） 作逆變換，可得正則化曲率與彎曲力矩的關(guān)系式 （公式356）。,3.2.2對(duì)稱(chēng)層合板的彎曲工程彈性常數(shù),彎曲工程彈性常數(shù)是表達(dá)某一方向彎曲或扭轉(zhuǎn)時(shí)層合板剛度性能的參數(shù)。因此，可分別令 Mx*0,My*=Mxy*=0； My*0,Mx*=My*=0； Mxy*0,Mx*=0,My*=0來(lái)定義彎曲工程彈性常數(shù)。 由，可得 Kx* =d11*Mx*, Ky*=d21*Mx*, Kxy*=d61*Mx* 定義x軸向等效的彎曲彈性模量,彎曲泊松耦合系數(shù)：,彎扭耦合系數(shù)：,類(lèi)似可得其他彎曲工程

17、彈性常數(shù)。公式（365）（369）,3.2.2 彎曲剛度系數(shù)的計(jì)算,將偏軸模量分量的計(jì)算公式代入層合板的彎曲剛度系數(shù)定義式：,則可得彎曲剛度系數(shù)的計(jì)算式公式（373）。 注意：這里k是從中面至底面的。,3.2.4幾種典型對(duì)稱(chēng)層合板的彎曲剛度,A單向?qū)雍习?單向?qū)雍习迨菍?duì)稱(chēng)層合板的特例。,如果將參考坐標(biāo)系置于單向?qū)雍习宓恼S方向，則由于單層 的正軸模量分量Q16=Q26=0，所以 D16*=D26*=0 或 d16*=d26*=0,B正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板 正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)，在同樣的定向?qū)訑?shù)比，即0與90層的層數(shù)比為一定的情況下，不同的鋪層順序也會(huì)得到不同的彎曲剛度系數(shù)。 例如

18、【04/904】s、【02/902】2s、【0/90】4s，它們的單層組數(shù)分別為m=2、m=4、m=8，利用彎曲剛度系數(shù)的計(jì)算公式，,得到正則化規(guī)則正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng) 層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)： 見(jiàn)（381）,由此可知，正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板在彎曲時(shí)D16*=D26*=0， 所以無(wú)彎扭之間的耦合，呈現(xiàn)彎曲正交各向異性。D12*、D66* 不隨鋪層順序而變化；D11*與D22*隨單層組數(shù)m的變化而變化， 隨m增大 而相近。 如果將上式與這類(lèi)規(guī)則正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板的Aij*比較， 可知，當(dāng)m時(shí)，Dij*=Aij*。 此時(shí)的正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板稱(chēng)為準(zhǔn)均勻正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層 合板。一般當(dāng)m8時(shí)可近似按準(zhǔn)均勻處理。

19、對(duì)于不同定向?qū)訑?shù)比按上述方法討論，當(dāng)m，仍滿足 Dij*=Aij*，所以仍為準(zhǔn)均勻正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板。 單向?qū)雍习?，依?jù)線彈性假設(shè)，應(yīng)力沿厚度是線性分布的， 因此Mx*、My*、Mxy*就變成底面的真實(shí)應(yīng)力，且,按照緒論假設(shè)，多向?qū)雍习迨欠侄尉鶆虻?，而單向?qū)雍习迨蔷鶆驅(qū)雍习?，因此，如果?duì)稱(chēng)層合板滿足Dij*=Aij*，則稱(chēng)此層合板為準(zhǔn)均勻?qū)雍习濉?C.斜交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板 斜交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板的正則化彎曲剛度系數(shù)，在兩種方向的層數(shù)相同的情況下，不同的鋪層順序也會(huì)得到不同的Dij*（公式386）。 例如【-604/604】s(m=2) 【-602/602】2s(m=4) 【-60/60】4s (m=

20、8) 由此可知，規(guī)則斜交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板在彎曲存在D16*0，D26*0，即有彎扭之間的耦合。 同規(guī)則正交鋪設(shè)對(duì)稱(chēng)層合板一樣，當(dāng)m，其滿足 Dij*=Aij*。一般，當(dāng)m8時(shí)可近似按準(zhǔn)均勻處理。,D準(zhǔn)各向同性層合板 準(zhǔn)各向同性層合板是指面內(nèi)剛度而言的，這一類(lèi)層 合板的彎曲剛度不一定是各向同性的。,E一般/4層合板,3.2.5 對(duì)稱(chēng)層合板彎曲剛度的轉(zhuǎn)換（不要求） 例3.4 （p68）,3.3一般層合板的剛度,前面我們討論的是對(duì)稱(chēng)層合板，因此，當(dāng)受有面內(nèi)力時(shí)將引起面內(nèi)變形而無(wú)彎曲變形，當(dāng)受有彎曲力矩時(shí)將引起彎曲變形而無(wú)面內(nèi)變形。但對(duì)于非對(duì)稱(chēng)層合板，一般情況下，面內(nèi)力還將引起彎曲變形，或彎曲力矩還將引

21、起面內(nèi)變形，即存在拉彎耦合或彎拉耦合。所以，一般層合板的剛度系數(shù)除了面內(nèi)剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù)外，還存在耦合剛度系數(shù)。,3.3.1一般層合板的內(nèi)力應(yīng)變關(guān)系 依據(jù)直法線假設(shè)和應(yīng)變定義導(dǎo)得的公式在這里同樣成立：,由于幾何中面z=0處，u和v不一定為零，故設(shè),代入應(yīng)變的定義式，得,設(shè)中面應(yīng)變?yōu)?則得到一般層合板的應(yīng)變關(guān)系式：,式中kx、ky、kxy仍為中面曲率和扭率。 將上式分別代入面內(nèi)力式（34）和彎曲力矩（346）中，,可以推得如下一般層合板的內(nèi)力應(yīng)變關(guān)系式，,式中,稱(chēng)為層合板的耦合剛度系數(shù)。,對(duì)于層合板對(duì)稱(chēng)的情況：,可見(jiàn)對(duì)稱(chēng)層合板的耦合剛度系數(shù)Bij=0,即此類(lèi)層合板無(wú)拉 彎之間的耦合效應(yīng)。

22、為了使同一塊層合板的這些剛度系數(shù)易于比較，作正則化處理，Bij*=2Bij/h2,則一般層合板的內(nèi)力應(yīng)變關(guān)系式可簡(jiǎn)寫(xiě)成：,N*具有層合板平均應(yīng)力的含義，k*具有層合板底面應(yīng)變的含義。,所以由上式可知，B* 為假設(shè)層合板中面無(wú)應(yīng)變時(shí)層合板平均應(yīng)力 底面應(yīng)變關(guān)系式的系數(shù)。系數(shù)3的存在，說(shuō)明正則化彎曲力矩引起中面應(yīng)變的剛度為正則化面內(nèi)力引起正則化曲率剛度的三倍。 利用矩陣求逆的方法，可求得一般層合板的正則化應(yīng)變內(nèi)力關(guān)系式：,式中ij*為層合板的正則化面內(nèi)柔度系數(shù)。 ij*為層合板的正則化耦合柔度系數(shù)。 ij*為層合板的正則化彎曲柔度系數(shù)。 剛度系數(shù)與柔度系數(shù)除ij*不具有對(duì)稱(chēng)性外，其余均具有 對(duì)稱(chēng)性

23、。,注意，一般情況下，因?yàn)榉謮K矩陣不可逆，所以,在對(duì)稱(chēng)層合板時(shí)，利用,推得,即得,這再一次說(shuō)明，對(duì)稱(chēng)層合板不存在拉彎耦合或彎拉耦合。,3.3.2一般層合板的工程彈性常數(shù) 象以往定義工程彈性常數(shù)一樣，分別設(shè)某一內(nèi)力不為零，而其余五個(gè)內(nèi)力均為零，即可定義各個(gè)工程彈性常數(shù)。 例如，設(shè)Nx*0，而其余內(nèi)力均為零，則得,這些關(guān)系式表明，一種外力可能引起拉伸（或壓縮）、剪 切、彎曲、扭轉(zhuǎn)四種基本變形。 面內(nèi)拉壓彈性模量,面內(nèi)泊松耦合系數(shù),拉剪耦合系數(shù),拉彎耦合系數(shù),拉扭耦合系數(shù),仿照上述方法，可得其他工程彈性常數(shù)表達(dá)式。(p76),3.3.3一般層合板剛度系數(shù)的計(jì)算 一般層合板面內(nèi)剛度系數(shù)與彎曲剛度系數(shù)的

24、定義表達(dá)式與對(duì)稱(chēng)層合板相同，對(duì)稱(chēng)層合板的正則化面內(nèi)剛度系數(shù)計(jì)算式（324），以及正則化彎曲剛度系數(shù)計(jì)算式（373）同樣適用于一般層合板。由于一般層合板不存在中性對(duì)稱(chēng)性，所以計(jì)算正則化幾何因子時(shí)必須改用如下形式的公式： （3144）、（3145）、 （3146）、 （3147）、 （3148）。,3.3.4兩種非對(duì)稱(chēng)層合板的剛度,A 規(guī)則非對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板 這里討論的非對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板是指0鋪層和90鋪層材料相同與體積含量相同的、且每一鋪層組中具有相同鋪層數(shù)的非對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板。 例如 【08/908】T 或【04/904】2T 或【02/902】4T 或【0/90】8T 它們的鋪層組數(shù)分

25、別為m=2,4,8,16。順便指出，非對(duì)稱(chēng)層合板的鋪層組數(shù)m是指整個(gè)層合板的鋪層組總數(shù)，這與對(duì)稱(chēng)層合板按一半計(jì)數(shù)是不同的。,所以，對(duì)于這類(lèi)非對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板有Aij*=Dij*。,此時(shí)，層合板為準(zhǔn)均勻?qū)雍习?。?duì)于Bij*0，而滿足 Aij*=Dij*條件的層合板稱(chēng)為偽均勻?qū)雍习?。事?shí)上，當(dāng)m大到一定數(shù)值時(shí)，Bij*與Aij*或Dij*相比就很小，可看作準(zhǔn)均勻?qū)雍习?。（m8）,另外，依據(jù)上述分析，這類(lèi)非對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板的剛度系數(shù)可構(gòu)成如下關(guān)系式（3153）,由上式可以看出，面內(nèi)剪切和扭轉(zhuǎn)變形均不與其他變形耦 合，因此面內(nèi)剪切和扭轉(zhuǎn)變形的行為均象單向?qū)雍习逭S時(shí)一 樣。 上式求逆可得書(shū)中公式（

26、3155）。,B.規(guī)則反對(duì)稱(chēng)層合板,定義：規(guī)則反對(duì)稱(chēng)層合板是指包含有兩種鋪設(shè)方向，且相 對(duì)于中面其鋪層方向角的大小相同、符號(hào)相反，即 （z)= (z) 上式說(shuō)明，鋪層方向角是坐標(biāo)z的奇函數(shù)。,同樣，這里討論的規(guī)則反對(duì)稱(chēng)層合板是指鋪層與鋪 層材料相同。體積含量相同，且每一鋪層組中具有相同鋪層數(shù) 的反對(duì)稱(chēng)層合板。 例如【 8 /8 】 T 【 4 /4 】2T 【 2 /2 】4T 【 / 】8T 鋪層組數(shù)m分別為2，4，8，16。,該反對(duì)稱(chēng)層合板鋪層模量具有如下特點(diǎn)： （1）拉剪或剪拉耦合分量是反對(duì)稱(chēng)的，即是z的奇函數(shù)：,（2）其余四個(gè)分量是對(duì)稱(chēng)的，即是z的偶函數(shù)。,因此，我們可以計(jì)算得到如下的

27、剛度系數(shù)為零：,另外，依據(jù)正則化面內(nèi)剛度系數(shù)的計(jì)算公式、正則化彎曲剛度系數(shù)的計(jì)算公式、正則化幾何因子的計(jì)算公式、正則,化耦合剛度系數(shù)的計(jì)算公式，可得：,同樣，Dij*=Aij*,但由于一般反對(duì)稱(chēng)層合板存在B16*和B26*， 所以是偽均勻?qū)雍习?。只有?dāng)m時(shí)， B16*B26*0，此時(shí) 反對(duì)稱(chēng)層合板為準(zhǔn)均勻?qū)雍习濉?綜合上述分析，這種規(guī)則反對(duì)稱(chēng)層合板的正則化內(nèi)力與應(yīng) 變的關(guān)系可寫(xiě)成如下關(guān)系式（3163）,由關(guān)系式可知，規(guī)則反對(duì)稱(chēng)層合板的面內(nèi)拉力和扭距是與其 相應(yīng)的變形聯(lián)系在一起的，利用這種耦合關(guān)系，有時(shí)可以用來(lái)實(shí) 現(xiàn)或消除一定的變形模式。例如，用反對(duì)稱(chēng)層合板制成的風(fēng)扇葉 片，在空氣動(dòng)力作用下產(chǎn)生

28、的扭距和旋轉(zhuǎn)時(shí)的離心作用下，均將 引起葉片扭率的變化，欲使扭率不變，也就是kxy*=0。利用應(yīng)變 與正則化內(nèi)力的關(guān)系式（3165），可得,若已知Nx*和Mxy*，可調(diào)整鋪設(shè)情況（如改變鋪層材料、鋪層方向和鋪設(shè)順序等）來(lái)滿足上式。,3.3.6平行移軸定理,前面討論的層合板剛度系數(shù)，都是將參考坐標(biāo)z的坐標(biāo) 原點(diǎn)（即xoy坐標(biāo)面）置于層合板的幾何中面上，因而可稱(chēng) 為層合板的中面剛度系數(shù)。然而復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件的剛度分析， 不一定都是就層合板中面而言；所以要涉及如何計(jì)算關(guān)于非 層合板中面的面的層合板剛度系數(shù)問(wèn)題。 本節(jié)是討論關(guān)于層合板相對(duì)于平行層合板中面的面的剛 度系數(shù)與中面剛度系數(shù)之間的關(guān)系，即所謂層合

29、板剛度系數(shù) 的平行移軸定理。 設(shè)層合板中面處為坐標(biāo)z=0,與中面平行的距離為d的面是 z=0, 見(jiàn)圖。,故層合板中任一點(diǎn)的坐標(biāo)為 z= z + d 根據(jù)該坐標(biāo)關(guān)系式，按照關(guān)于z=0的面的剛度系數(shù)的定義，得,圖36 層合板中面與其平行 的面之間的坐標(biāo)關(guān)系,利用正則化關(guān)系式將上面三式改寫(xiě)成正則化形式為：,例題3.6，3.7,3.4 層合板的強(qiáng)度,以不同方向的鋪層迭合而成的多向?qū)雍习?，其剛度是?過(guò)鋪層的剛度來(lái)預(yù)測(cè)的，其強(qiáng)度也將是通過(guò)鋪層的強(qiáng)度來(lái)預(yù) 測(cè)的。由于多向?qū)雍习迨菍雍系慕Y(jié)構(gòu)形式，因此在外力作用 下是逐層失效的。,據(jù)此，多向?qū)雍习宓膹?qiáng)度指標(biāo)一般有兩個(gè)：在外力作用 下，多向?qū)雍习遄钕纫粚邮r(shí)的

30、層合板正則化內(nèi)力稱(chēng)為最 先一層失效強(qiáng)度，其對(duì)應(yīng)的載荷稱(chēng)為最先一層失效載荷；而 最終失效（即層合板各鋪層全部失效）時(shí)的層合板正則化內(nèi) 力稱(chēng)為極限強(qiáng)度，其對(duì)應(yīng)的載荷稱(chēng)為極限載荷。,當(dāng)然，最先一層失效強(qiáng)度合極限強(qiáng)度可以通過(guò)試驗(yàn)來(lái)測(cè) 得，然而如果任何層合板其強(qiáng)度都通過(guò)試驗(yàn)才能給出，那么 復(fù)合材料可設(shè)計(jì)性的優(yōu)點(diǎn)就不能實(shí)現(xiàn)，而且要實(shí)測(cè)在各種可能應(yīng) 力狀態(tài)下的層合板強(qiáng)度也是不可能的。,因此，本節(jié)討論的內(nèi)容是如何依據(jù)鋪層的強(qiáng)度來(lái)預(yù)測(cè)層合 板的最先一層失效強(qiáng)度和極限強(qiáng)度。,3.4.1 一般層合板的鋪層應(yīng)力和鋪層應(yīng)變分析,3.4.2 最先一層失效強(qiáng)度 確定層合板最先一層失效強(qiáng)度必須首先作層合板的單層應(yīng)力分析，然后利用強(qiáng)度比方程計(jì)算層合板各個(gè)單層的強(qiáng)度比，強(qiáng)度比最小的單層最先失效，最先失效鋪層失效時(shí)的層合板正則化內(nèi)力即為多向?qū)雍习遄钕纫粚邮?qiáng)度。 例3.9 （P85）,3.4.3 極限強(qiáng)度 一般來(lái)說(shuō)，多向?qū)雍习逵米钕纫粚邮?qiáng)度作為強(qiáng)度指 標(biāo)似乎太保守了，因