1、2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)(湖南卷)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2013湖南，理1)復(fù)數(shù)zi(1i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2(2013湖南，理2)某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是()A抽簽法 B隨機(jī)數(shù)法 C系統(tǒng)抽樣法 D分層抽樣法3(2013湖南，理3)在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a

2、，b.若2asin Bb，則角A等于()A B C D4(2013湖南，理4)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件則x2y的最大值是()A B0 C D5(2013湖南，理5)函數(shù)f(x)2ln x的圖象與函數(shù)g(x)x24x5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3 B2 C1 D06(2013湖南，理6)已知a，b是單位向量，ab0，若向量c滿(mǎn)足|cab|1，則|c|的取值范圍是()A， B， C1， D1，7(2013湖南，理7)已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()A1 B C D8(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，點(diǎn)P為邊AB上異于

3、A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過(guò)ABC的重心，則AP等于()A2 B1 C D二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分(一)選做題(請(qǐng)考生在第9,10,11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分)9(2013湖南，理9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為_(kāi)10(2013湖南，理10)已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_(kāi)11(2013湖南，理11)如圖，在半徑為的O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PAPB2，PD1，則圓心O到弦CD的距離為_(kāi) (

4、二)必做題(1216題)12(2013湖南，理12)若x2dx9，則常數(shù)T的值為_(kāi)13(2013湖南，理13)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a1，b2，則輸出的a的值為_(kāi)14(2013湖南，理14)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為_(kāi)15(2013湖南，理15)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn(1)nan，nN*，則(1)a3_；(2)S1S2S100_.16(2013湖南，理16)設(shè)函數(shù)f(x)axbxcx，其中ca0，cb0.(1)記集合M(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊

5、長(zhǎng)，且ab，則(a，b，c)M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)；(2)若a，b，c是ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))x(，1)，f(x)0；xR，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；若ABC為鈍角三角形，則x(1,2)，使f(x)0.三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17(2013湖南，理17)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)，g(x)2.(1)若是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合18(2013湖南，理18)(本小題滿(mǎn)分12分)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角

6、形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望19(2013湖南，理19)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1

7、與平面ACD1所成角的正弦值20(2013湖南，理20)(本小題滿(mǎn)分13分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱(chēng)為M到N的一條“L路徑”如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20)，B(10,0)，C(14,0)處現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心(1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明)：(2)若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小

8、21(2013湖南，理21)(本小題滿(mǎn)分13分)過(guò)拋物線E：x22py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1k22，l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于點(diǎn)C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l.(1)若k10，k20，證明：2p2；(2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程22(2013湖南，理22)(本小題滿(mǎn)分13分)已知a0，函數(shù)f(x).(1)記f(x)在區(qū)間0,4上的最大值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式；(2)是否存在a，使函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？若存

9、在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由答案：一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（5分）（2013湖南）復(fù)數(shù)z=i（1+i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 專(zhuān)題：計(jì)算題分析：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得答案解答：解：z=i（1+i）=1+i，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，1），在復(fù)平面的第二象限，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題2（5分）（2013湖南）某校有男、女學(xué)生各500名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣

10、與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（）A抽簽法B隨機(jī)數(shù)法C系統(tǒng)抽樣法D分層抽樣法考點(diǎn)：分層抽樣方法 專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣解答：解：總體由男生和女生組成，比例為500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1故擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣法故選D點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查抽樣方法，屬基本題3（5分）（2013湖南）在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b若2asinB=b，則角A等于（）A B C D考點(diǎn)：正弦定理 專(zhuān)題：計(jì)算題；解三角形

11、分析：利用正弦定理可求得sinA，結(jié)合題意可求得角A解答：解：在ABC中，2asinB=b，由正弦定理=2R得：2sinAsinB=sinB，sinA=，又ABC為銳角三角形，A=故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，將“邊”化所對(duì)“角”的正弦是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4（5分）（2013湖南）若變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則x+2y的最大值是（）A B0 C D考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 專(zhuān)題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=，y=時(shí)，x+2y取得最大值為解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的ABC及

12、其內(nèi)部，其中A（，1），B（，），C（2，1）設(shè)z=F（x，y）=x+2y，將直線l：z=x+2y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值z(mì)最大值=F（，）=故選：C點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題5（5分）（2013湖南）函數(shù)f（x）=2lnx的圖象與函數(shù)g（x）=x24x+5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A3B2C1D0考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷 專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象，要求函數(shù)f（x）=2lnx的圖象與函數(shù)g（x）=x24x+5的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，我們畫(huà)出

13、函數(shù)的圖象后，利用數(shù)形結(jié)合思想，易得到答案解答：解：在同一坐標(biāo)系下，畫(huà)出函數(shù)f（x）=2lnx的圖象與函數(shù)g（x）=x24x+5的圖象如下圖：由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象共有2個(gè)交點(diǎn)故選B點(diǎn)評(píng)：求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，我們可以使用數(shù)形結(jié)合的思想，在同一坐標(biāo)系中，做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，分析圖象后，即可等到答案6（5分）（2013湖南）已知，是單位向量，若向量滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）ABCD考點(diǎn)：等差數(shù)列；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用分析：令，作出圖象，根據(jù)圖象可求出的最大值、最小值解答：解：令，如下圖所示：則，又，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心、半徑為1的圓上，易知點(diǎn)C與O、D共線時(shí)達(dá)到最值，最

14、大值為+1，最小值為1，所以的取值范圍為1，+1故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)題意作出圖象，數(shù)形結(jié)合是解決本題的有力工具7（5分）（2013湖南）已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能是（）A1 B C D考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 專(zhuān)題：計(jì)算題分析：求出滿(mǎn)足條件的該正方體的正視圖的面積的范圍為即可得出解答：解：水平放置的正方體，當(dāng)正視圖為正方形時(shí)，其面積最小為1；當(dāng)正視圖為對(duì)角面時(shí)，其面積最大為因此滿(mǎn)足棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積的范圍為因此可知：A，B，D皆有可能，而1，故C不可能故選C

15、點(diǎn)評(píng)：正確求出滿(mǎn)足條件的該正方體的正視圖的面積的范圍為是解題的關(guān)鍵8（5分）（2013湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB邊上異于AB的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P（如圖1），若光線QR經(jīng)過(guò)ABC的重心，則AP等于（）A2 B1 C D考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱(chēng)的直線方程 專(zhuān)題：直線與圓分析：建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)，和P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)，由P1，Q，R，P2四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過(guò)ABC的重心，代入可得關(guān)于a的方程，解之可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的值解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：可得B（4

16、，0），C（0，4），故直線BC的方程為x+y=4，ABC的重心為（，），設(shè)P（a，0），其中0a4，則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1（x，y），滿(mǎn)足，解得，即P1（4，4a），易得P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2（a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四點(diǎn)共線，直線QR的斜率為k=，故直線QR的方程為y=（x+a），由于直線QR過(guò)ABC的重心（，），代入化簡(jiǎn)可得3a24a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，第小題5分，共35分（一）選做題（請(qǐng)考

17、生在第9，10，11三題中任選兩題作答、如果全做，則按前兩題記分）（二）必做題（1216題）9（2013湖南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：，（t為參數(shù)）過(guò)橢圓C：（為參數(shù)）的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為3考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系 專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：直接劃參數(shù)方程為普通方程得到直線和橢圓的普通方程，求出橢圓的右頂點(diǎn)，代入直線方程即可求得a的值解答：解：由直線l：，得y=xa，再由橢圓C：，得，2+2得，所以橢圓C：的右頂點(diǎn)為（3，0）因?yàn)橹本€l過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，所以0=3a，所以a=3故答案為3點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程和普通方程的互化，考查了直線和圓錐

18、曲線的關(guān)系，是基礎(chǔ)題10（5分）（2013湖南）已知a，b，cR，a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為12考點(diǎn)：柯西不等式；柯西不等式的幾何意義 專(zhuān)題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：根據(jù)柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1a+12b+13c）2（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化簡(jiǎn)得a2+4b2+9c212，由此可得當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=1，c=時(shí)，a2+4b2+9c2的最小值為12解答：解：a+2b+3c=6，根據(jù)柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1a+12b+13c）2（12+12+12）a2+（2b）2+（3c）2化簡(jiǎn)得62

19、3（a2+4b2+9c2），即363（a2+4b2+9c2）a2+4b2+9c212，當(dāng)且僅當(dāng)a：2b：3c=1：1：1時(shí)，即a=2，b=1，c=時(shí)等號(hào)成立由此可得：當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=1，c=時(shí)，a2+4b2+9c2的最小值為12故答案為：12點(diǎn)評(píng)：本題給出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值著重考查了運(yùn)用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號(hào)成立的條件等知識(shí)，屬于中檔題11（5分）（2013湖南）如圖，在半徑為的O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PA=PB=2，PD=1，則圓心O到弦CD的距離為考點(diǎn)：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定；與圓有關(guān)的比例線段 專(zhuān)題：計(jì)算題分析：首先利用相交

20、弦定理求出CD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出圓心O到弦CD的距離，注意計(jì)算的正確率解答：解：由相交弦定理得，APPB=CPPD，22=CP1，解得：CP=4，又PD=1，CD=5，又O的半徑為，則圓心O到弦CD的距離為d=故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相交弦定理，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，題目有一定綜合性，是中考中熱點(diǎn)問(wèn)題12（5分）（2013湖南）若，則常數(shù)T的值為3考點(diǎn)：定積分 專(zhuān)題：計(jì)算題分析：利用微積分基本定理即可求得解答：解：=9，解得T=3，故答案為：3點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分、微積分基本定理，屬基礎(chǔ)題13（5分）（2013湖南）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a=1，b=2，則輸出的a的值

21、為9考點(diǎn)：程序框圖 專(zhuān)題：圖表型分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累加a值，并判斷滿(mǎn)足a8時(shí)輸出a的值解答：解：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的聚會(huì)如下表示：是否繼續(xù)循環(huán) a b循環(huán)前/1 2第一圈 是 3 2第二圈 是 5 2第三圈 是 7 2第四圈 是 9 2第五圈 否故最終輸出的a值為9故答案為：9點(diǎn)評(píng)：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫(xiě)程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類(lèi)型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）建立數(shù)

22、學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模14（5分）（2013湖南）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a0，b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2=30的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：利用雙曲線的定義求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小內(nèi)角為30結(jié)合余弦定理，求出雙曲線的離心率解答：解：因?yàn)镕1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|PF1|+|PF2|=6a，不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|PF1|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF

23、1|=4a，|PF2|=2a，PF1F2的最小內(nèi)角PF1F2=30，由余弦定理，|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F2，即4a2=4c2+16a22c4a，c22ca+3a2=0，c=a所以e=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，雙曲線的離心率的求法，考查計(jì)算能力15（5分）（2013湖南）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，nN*，則（1）a3=；（2）S1+S2+S100=考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性 專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）把給出的數(shù)列遞推式先分n=1和n2討論，由此求出首項(xiàng)和n2時(shí)的關(guān)系式對(duì)此關(guān)系式再分n為偶數(shù)和奇數(shù)分別得到當(dāng)n為偶數(shù)

24、和奇數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，則a3可求；（2）把（1）中求出的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，nN*，則利用數(shù)列的分組求和和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得結(jié)果解答：解：由，nN*，當(dāng)n=1時(shí)，有，得當(dāng)n2時(shí)，即若n為偶數(shù)，則所以（n為正奇數(shù)）；若n為奇數(shù)，則=所以（n為正偶數(shù)）所以（1）故答案為；（2）因?yàn)椋╪為正奇數(shù)），所以，又（n為正偶數(shù)），所以則，則所以，S1+S2+S3+S4+S99+S100=故答案為點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵在于當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)能求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)求出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，此題為中高檔題16（5分）（2013湖南）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+bxcx，其中

25、ca0，cb0（1）記集合M=（a，b，c）|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a=b，則（a，b，c）M所對(duì)應(yīng)的f（x）的零點(diǎn)的取值集合為x|0x1（2）若a，b，c是ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）x（，1），f（x）0；xR，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；若ABC為鈍角三角形，則x（1，2），使f（x）=0考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)的零點(diǎn)；進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理 專(zhuān)題：閱讀型分析：（1）由集合M中的元素滿(mǎn)足的條件，得到ca+b=2a，求得的范圍，解出函數(shù)f（x）=ax+bxcx的零點(diǎn)，利用不等式可得零點(diǎn)x的取值集合；（2）對(duì)于，把

26、函數(shù)式f（x）=ax+bxcx變形為，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立；對(duì)于，利用取特值法說(shuō)明命題是正確的；對(duì)于，由ABC為鈍角三角形說(shuō)明f（2）0，又f（1）0，由零點(diǎn)的存在性定理可得命題正確解答：解：（1）因?yàn)閏a，由ca+b=2a，所以，則令f（x）=ax+bxcx=得，所以所以0x1故答案為x|0x1；（2）因?yàn)?，又，所以?duì)x（，1），所以命題正確；令x=1，a=b=1，c=2則ax=bx=1，cx=2不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)所以命題正確；若三角形為鈍角三角形，則a2+b2c20f（1）=a+bc0，f（2）=a2+b2c20所以x（1，2），使f（x）=0所以命題正確故答案為

27、點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，訓(xùn)練了特值化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)題意的正確理解，此題是中檔題三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（12分）（2013湖南）已知函數(shù)，（I）若是第一象限角，且，求g（）的值；（II）求使f（x）g（x）成立的x的取值集合考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)；二倍角的余弦；正弦函數(shù)的單調(diào)性 專(zhuān)題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（I）根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得f（x）=sinx，結(jié)合解出sin=，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出cos=由二倍角的余弦公式進(jìn)行降次，

28、可得g（x）=1cosx，即可算出g（）=1cos=；（II）f（x）g（x），即sinx1cosx，移項(xiàng)采用輔助角公式化簡(jiǎn)整理，得2sin（x+）1，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出使f（x）g（x）成立的x的取值集合解答：解：sin（x）=sinxcoscosxsin=sinxcosxcos（x）=cosxcos+sinxsin=cosx+sinx=（sinxcosx）+（cosx+sinx）=sinx而=1cosx（I），sin=，解之得sin=是第一象限角，cos=因此，g（）=1cos=，（II）f（x）g（x），即sinx1cosx移項(xiàng)，得sinx+cosx1，化簡(jiǎn)得2sin（

29、x+）1sin（x+），可得+2kx+2k（kZ）解之得2kx+2k（kZ）因此，使f（x）g（x）成立的x的取值集合為x|2kx+2k（kZ）點(diǎn)評(píng)：本題給出含有三角函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)f（x）、g（x），求特殊函數(shù)值并討論使f（x）g（x）成立的x的取值集合著重考查了三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題18（12分）（2013湖南）某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y

30、51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰 好“相近”的概率；（II）在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；古典概型及其概率計(jì)算公式；離散型隨機(jī)變量的期望與方差 專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：（I）確定三角形地塊的內(nèi)部和邊界上的作物株數(shù)，分別求出基本事件的個(gè)數(shù)，即可求它們恰好“相近”的概率；（II）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，從而可得年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望解答：解：（I）所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上

31、的作物株數(shù)為12，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有=36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率為=；（II）先求從所種作物中隨機(jī)選取一株作物的年收獲量為Y的分布列P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)（k=1，2，3，4），則n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3

32、）=，P（X=4）=所求的分布列為 Y5148 45 42 P數(shù)學(xué)期望為E（Y）=51+48+45+42=46點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率的計(jì)算，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題19（12分）（2013湖南）如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3（I）證明：ACB1D；（II）求直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值考點(diǎn)：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的性質(zhì) 專(zhuān)題：計(jì)算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（I）根據(jù)直棱柱性質(zhì)，得BB1平面ABCD，從而ACBB1，結(jié)合BB1BD=B，證出AC平面BB1

33、D，從而得到ACB1D；（II）根據(jù)題意得ADB1C1，可得直線B1C1與平面ACD1所成的角即為直線AD與平面ACD1所成的角連接A1D，利用線面垂直的性質(zhì)與判定證出AD1平面A1B1D，從而可得AD1B1D由ACB1D，可得B1D平面ACD，從而得到ADB1與AD與平面ACD1所成的角互余在直角梯形ABCD中，根據(jù)RtABCRtDAB，算出AB=，最后在RtAB1D中算出B1D=，可得cosADB1=，由此即可得出直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值解答：解：解：（I）BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又ACBD，BB1、BD是平面BB1D內(nèi)的相交直線AC平面BB1D

34、，B1D平面BB1D，ACB1D；（II）ADBC，B1C1BC，ADB1C1，由此可得直線B1C1與平面ACD1所成的角，等于直線AD與平面ACD1所成的角（記為）連接A1D，直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BAD=B1A1D1=90，B1A1平面A1D1DA，結(jié)合AD1平面A1D1DA，得B1A1AD1又AD=AA1=3，四邊形A1D1DA是正方形，可得AD1A1DB1A1、A1D是平面A1B1D內(nèi)的相交直線，AD1平面A1B1D，可得AD1B1D，由（I）知ACB1D，結(jié)合AD1AC=A可得B1D平面ACD，從而得到ADB1=90，在直角梯形ABCD中，ACBD，BAC=ADB，從而得

35、到RtABCRtDAB因此，可得AB=連接AB1，可得AB1D是直角三角形，B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在RtAB1D中，cosADB1=，即cos（90）=sin=，可得直線B1C1與平面ACD1所成的角的正弦值為點(diǎn)評(píng)：本題給出直四棱柱，求證異面直線垂直并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了直四棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的定義等知知識(shí)，屬于中檔題20（13分）（2013湖南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱(chēng)為M到N的一條“L路徑”如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“

36、L路徑”某地有三個(gè)新建居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A（3，20），B（10，0），C（14，0）處現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心（I）寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型；絕對(duì)值三角不等式 專(zhuān)題：應(yīng)用題；不等式的解法及應(yīng)用分析：（I）根據(jù)“L路徑”的定義，可得點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值；（II）由題意知，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P到

37、三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和（記為d）的最小值，分類(lèi)討論，利用絕對(duì)值的幾何意義，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則（I）點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值為|x3|+|y20|，y0，+）；（II）由題意知，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和（記為d）的最小值當(dāng)y1時(shí)，d=|x+10|+|x14|+|x3|+2|y|+|y20|d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|x+10|+|x14|24當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|的最小值為24d2（y）=2|y|+|y20|2

38、1當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)，d2（y）=2|y|+|y20|的最小值為21點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）時(shí)，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小，且最小值為45；當(dāng)0y1時(shí)，由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，d=|x+10|+|x14|+|x3|+1+|1y|+|y|+|y20|此時(shí)d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|，d2（y）=1+|1y|+|y|+|y20|=22y21由知d1（x）=|x+10|+|x14|+|x3|24，d1（x）+d2（y）45，當(dāng)且僅當(dāng)x=3，y=1時(shí)等號(hào)成立綜上所述，在點(diǎn)P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小點(diǎn)評(píng)：本題考查新定

39、義，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生建模的能力，同時(shí)考查學(xué)生的理解能力，屬于難題21（13分）（2013湖南）過(guò)拋物線E：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)F作斜率率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1+k2=2l1與E交于點(diǎn)A，B，l2與E交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在直線記為l（I）若k10，k20，證明：；（II）若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出兩條直線的方程，由兩條直線方程和拋物線方程聯(lián)立求出圓M和圓N的圓心M和N的坐標(biāo)，求出向量和的坐標(biāo)，求出數(shù)量積后轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1和k2的表達(dá)式，利用基本不等式放縮后可證得結(jié)論；（）利用拋物線的定義求出圓M和圓N的直徑，結(jié)合（）中求出的圓M和圓N的圓心的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩圓的方程，作差后得