1、經(jīng)濟(jì)管理中數(shù)學(xué)模型案例分析摘 要在研究經(jīng)濟(jì)管理學(xué)的過程中，理清每個研究對象間的定性關(guān)系的同時，不僅要探明其間的相互作用外，而且還要研究現(xiàn)象與現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系，預(yù)測其發(fā)展趨勢，這就需要應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型隨著科技的發(fā)展和社會的進(jìn)步在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用越來越廣泛，作用與效果更是與日俱增。在此，從案例中，通過提出問題、簡化問題、模型建構(gòu)、模型驗證、模型改進(jìn)、模型應(yīng)用等方法進(jìn)行分析，并運(yùn)用matlab軟件、指數(shù)分布、泊松分布等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計算。關(guān)鍵詞：提出問題 模型建構(gòu) 模型求解應(yīng)用 定性關(guān)系 matlab 指數(shù)分布 泊松分布 abstractin the process of economic m

2、anagement research, in addition to the need to clarify each qualitative relationship between the object of study, has proven the intervening interactions, and quantitative relation between the phenomena of the research, predict the development trend, this would require the application of mathematica

3、l model. with the development of science and technology and the progress of the society, the mathematical model in economic management, the application of more and more extensive, effect is more and more big, the effect is increasingly significant. here, from the case, through the proposed problem,

4、simplify the problem, model construction, model validation, model improvement and application of model method is analyzed, and using matlab software, the exponential distribution, poisson distribution and other mathematical method to calculate.key words: put forward modeling model to solve the probl

5、em the relationship between application matlab exponential distribution poisson distribution 目 錄摘 要iiabstractiii第一章 緒 論11.2 數(shù)學(xué)模型的含義11.2 數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型及其重要性11.3 經(jīng)濟(jì)管理中數(shù)學(xué)建模的步驟1第二章 經(jīng)濟(jì)管理中數(shù)學(xué)模型的案例分析32.1 飛機(jī)起飛的排隊模型3（一） 問題的提出3（二） 模型的建構(gòu)3（三） 費(fèi)用矩陣c的生成4（四） 模型的求解和應(yīng)用52.2 大型購物超市購物者付款排隊系統(tǒng)優(yōu)化模型6（一） 問題的提出6（二） 模型的建構(gòu)6（三） 模型的求解與應(yīng)用

6、8第三章 結(jié) 論10致 謝11參考文獻(xiàn)12原創(chuàng)性聲明13論文使用授權(quán)聲明14第一章 緒 論1.1 數(shù)學(xué)模型的含義數(shù)學(xué)模型是在面對實際問題的時候應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想對其進(jìn)行的一種高度概括和表述。為了某個研究目的，它通常要對現(xiàn)實世界的某個特定的對象提出必要的條件和假設(shè)，所得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)方法和手段以及數(shù)學(xué)關(guān)系式、圖表、圖形等數(shù)學(xué)術(shù)語。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式多種多樣，它可以是一個算法語言，也可以是某個數(shù)學(xué)圖表，或者是幾種結(jié)構(gòu)的混合。數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實世界當(dāng)中的具體問題簡化并抽象為數(shù)學(xué)模型，其內(nèi)容主要包括提出問題、模型建構(gòu)、模型驗證、模型改進(jìn)、模型應(yīng)用等幾個方面。1.2 數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型及其重要性 概率型

7、和確定型是數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型按變量的性質(zhì)分成的兩類。由于數(shù)學(xué)分支很多，分支之間相互交叉滲透，又派生出更多分支，所以一個經(jīng)濟(jì)問題的給定有時能用多種數(shù)學(xué)方法去對它進(jìn)行描述和解釋。具體建立什么類型的模型，不僅跟問題本身有關(guān)，而且根據(jù)解決問題的人的思路而定。我們并不能用數(shù)學(xué)直接處理經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的客觀情況。因此為了能夠用數(shù)學(xué)解決經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的問題，就必須建立數(shù)學(xué)模型。換句話說，數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模就是為了經(jīng)濟(jì)目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的刻劃。而經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度與數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的密切關(guān)系在現(xiàn)代發(fā)展史上得到了證實。1.3 經(jīng)濟(jì)管理中數(shù)學(xué)建模的步

8、驟（一）提出問題 要使數(shù)學(xué)模型的建立能夠反應(yīng)經(jīng)濟(jì)管理現(xiàn)象，了解實際經(jīng)濟(jì)管理問題時必須的，隨后明確問題所在背景，理清對象的具體特征，科學(xué)的進(jìn)行調(diào)查分析，獲取有關(guān)數(shù)據(jù)的內(nèi)容。另外，還要確切地了解建立模型的目的，這樣才能形成比較合理的問題，才能進(jìn)行有效建模。（二）模型建構(gòu) 通過研究的問題分析各種對象之間的相互聯(lián)系，如層次關(guān)系、因果關(guān)系等，各個變量之間通過運(yùn)用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也就得到了對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。太復(fù)雜的模型不利于分析各個對象之間的關(guān)系，因此，剛開始建立模型時，一般不宜太復(fù)雜，采用循序漸進(jìn)的方式是比較理想的方式，逐步推進(jìn)，由易到難，不斷完善所構(gòu)建的模型。（三）模型驗證與改進(jìn) 反復(fù)推敲成了模型

9、出現(xiàn)之后必然要經(jīng)歷的過程，首先要分析模型是否可以說明變量之間存在的真正關(guān)系，是否真正反映現(xiàn)實當(dāng)中的問題。還要考慮模型解的合理性和存在性，有沒有更簡便的求解過程，以及有無自相矛盾之處等。此外將模型的解代入到現(xiàn)實問題中加以驗證，看能否解決現(xiàn)實問題，這點非常重要，也是非常重要的環(huán)節(jié)。不斷驗證、檢驗、完善是模型所必須經(jīng)歷的。要重視建模過程中出現(xiàn)的問題，針對出現(xiàn)的問題加以分析，檢查與判斷建模時的假設(shè)和前提是否跟得到結(jié)果相同。（四）模型的應(yīng)用 一個數(shù)學(xué)模型要在現(xiàn)實當(dāng)時應(yīng)用，需要經(jīng)過多次檢驗，符合實際問題。預(yù)測可能出現(xiàn)的各種結(jié)果以及預(yù)測現(xiàn)象的發(fā)展趨勢是通過研究各種現(xiàn)象之間的關(guān)系。繼續(xù)擴(kuò)大應(yīng)用與利用好的結(jié)果；

10、對于不利結(jié)果，需要提前做好準(zhǔn)備，做到未雨綢繆，進(jìn)行控制和干預(yù)，使利益損失最小化。第二章 經(jīng)濟(jì)管理中數(shù)學(xué)模型案例分析2.1 飛機(jī)起飛的排隊模型1問題的提出機(jī)場在分配飛機(jī)跑道的時候通常都采用“先到先服務(wù)”的原則，即駕駛員在飛機(jī)準(zhǔn)備好離開登機(jī)口時電告地面控制中心，進(jìn)而加入等候跑道的隊伍當(dāng)中。各飛機(jī)的起飛時間的先后次序，控制臺的安排是根據(jù)通知的先后次序。在這其中我們要考慮的問題是怎樣利用數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)來綜合考慮骯空公司和乘客的利益并且將飛機(jī)起飛的次序合理安排妥當(dāng)。2模型的構(gòu)建假設(shè)共有架飛機(jī)要求起飛，對所有這些飛機(jī)進(jìn)行編號，記為控制中心可以從在線數(shù)據(jù)庫中快速得到每架飛機(jī)的如下信息：（1）預(yù)定離開登機(jī)口的時間

11、；（2）實際離開登機(jī)口的時間；（3）機(jī)上乘客人數(shù)；（4）預(yù)定在下一站轉(zhuǎn)機(jī)的人數(shù)和轉(zhuǎn)機(jī)的時間；（5）到達(dá)下一站的預(yù)定時間。我們先做一些必要的簡化假設(shè)。（1）假設(shè)機(jī)場所有需要起飛的飛機(jī)使用的都是同一條跑道，并且任何一架飛機(jī)在起飛的時候都是將整條跑道完全占有，并且占用跑道的時間每架飛機(jī)都是相同的。在這基礎(chǔ)上，我們可以就可以把整個時間分割成離散的等長度的小時間段，記為，每個小時間段的時間都超過一架飛機(jī)完成起飛操作的時間。（2）第架飛機(jī)在第個時間段起飛時，與前面的飛機(jī)起飛過程是相互獨立的，即所需費(fèi)用只與時間位置和該飛機(jī)有關(guān)。（3）是第架飛機(jī)按時到達(dá)目的地所需起飛的最晚時限，若飛機(jī)在時限之后才起飛，全程飛

12、行過程中的速度只能按照最大安全速度進(jìn)行飛行，且所有需要轉(zhuǎn)機(jī)的乘客都無法趕上下班飛機(jī)。假設(shè)給每位乘客的賠償費(fèi)是相同的，記為。為了描述飛機(jī)與起飛時間段的關(guān)系，引入決策變量，表示第架飛機(jī)是否被指定在第個時間段起飛：記為第架飛機(jī)在第個時間段起飛時所需要的一切費(fèi)用，從而構(gòu)物費(fèi)用矩陣c：因此，對某一種飛機(jī)安排，其總費(fèi)用為為了讓總費(fèi)用z達(dá)到最小，目的就是要求。顯然每架飛機(jī)都將占用某一個時間段，因此而每個時間段也恰好能容納一架飛機(jī)起飛，即于是問題化為如下的01規(guī)劃模型：求，滿足 （2.1.1）3費(fèi)用矩陣c的生成上述01規(guī)劃模型中的費(fèi)用系數(shù)通常與飛機(jī)的型號、運(yùn)行費(fèi)用、運(yùn)輸區(qū)劃客情況及乘客的滿意程度有關(guān)。為便于計

13、算，我們不考慮運(yùn)行的基本費(fèi)用，只考慮由于起飛的延誤從而引起飛機(jī)的額外費(fèi)用。這一費(fèi)用包括因為晚點而使飛機(jī)以加快或最快速度飛行代替最經(jīng)濟(jì)的速度帶來的燃料損失（稱為燃料附加費(fèi)），因耽誤乘客轉(zhuǎn)機(jī)而產(chǎn)生的賠償費(fèi)（稱為乘客誤機(jī)費(fèi)），以及乘客因飛機(jī)誤點而產(chǎn)生的不愉快情緒轉(zhuǎn)化為航空公司的間接損失（稱為乘客的不滿意度）。（1）燃料附加費(fèi)由于晚點，飛機(jī)必須以加快或最快速度飛行，故燃料的消耗隨晚點的時間長短而變化。然而即使晚點，一旦超過了最大時限，飛機(jī)也只能以最大的安全速度飛行，此時燃料的消耗是恒定的。因此可設(shè)第架飛機(jī)的燃料附加費(fèi)為式子當(dāng)中的為飛機(jī)的晚點時間，為第架飛機(jī)每晚點單位時間由于加速引起的油耗增加的價格。（

14、2）乘客誤機(jī)費(fèi)記為第架飛機(jī)上需轉(zhuǎn)機(jī)的人數(shù)，當(dāng)飛機(jī)晚點超過時限時，這些乘客都將趕不上下班飛機(jī)。由假設(shè)（3），航空公司給每位乘客賠償費(fèi)用，故乘客誤機(jī)費(fèi)為其中為heaviside函數(shù)（單位階躍函數(shù)） （2.1.2）（3）乘客的不滿意度顯然，飛機(jī)晚點時間越長，乘客越不滿意。如果僅晚點幾分鐘，顧客也許不會感到不滿意；但如果晚點時間延長，乘客不滿意程度將會呈非線性地增長，這里我們用指數(shù)函數(shù)來描述乘客對飛機(jī)晚點的不滿意度 （2.1.3）其中表示第架飛機(jī)上的乘客數(shù)，表示乘客等待時不滿意程度上升快慢的因子，表示將不滿意度轉(zhuǎn)化為相應(yīng)費(fèi)用的比例系數(shù)。如果飛機(jī)晚點超過最大時限，需轉(zhuǎn)機(jī)的乘客將耽誤下班飛機(jī)，這部分乘客會

15、變得焦躁不安并且非常憤怒，這部分乘客的不滿意度可表示為 （2.1.4）其中仍表示第架飛機(jī)上要轉(zhuǎn)機(jī)的乘客數(shù)，為由（2.1.2）式定義的heaviside函數(shù)，b表示將不滿意度轉(zhuǎn)化為相應(yīng)費(fèi)用的比例系數(shù)。（4）總費(fèi)用系數(shù)綜合以上三個部分的費(fèi)用，最終得到費(fèi)用系數(shù)其中為飛機(jī)的晚點時間，它與飛機(jī)及其起飛時間段有關(guān)。4模型的求解和應(yīng)用0-1規(guī)劃模型（2.1.1）是一個指派模型，可以用匈牙利算法進(jìn)行計算，也可使用數(shù)學(xué)軟件或?qū)ｉT的優(yōu)化軟件包進(jìn)行計算，如lindo。作為一個例子，假設(shè)早晨6:00，有三架飛機(jī)同時要求起飛，設(shè)它們的型號相同，且相同的飛行距離，預(yù)定到達(dá)終點的時間均為7:20。三架飛機(jī)的乘客人數(shù)分別為3

16、50，100，400，每一架飛機(jī)上都有100名乘客要求轉(zhuǎn)機(jī)。設(shè)起飛時間段的長度為。為了簡化計算，不妨將參數(shù)和均取為1，由此得到費(fèi)用矩陣于是最優(yōu)解為即三架飛機(jī)按3,1,2的次序起飛，最低費(fèi)用，這與常識相符，由于其他條伯設(shè)定都一樣，故最優(yōu)的次序是讓乘客多的飛機(jī)先起飛。當(dāng)?shù)谌茱w機(jī)剛起飛，第四架飛機(jī)要求緊急起飛。此時第四架飛機(jī)已經(jīng)晚點18分鐘，若它想在7:06按時到達(dá)終點，就必須在1分鐘內(nèi)起飛，第四架飛機(jī)上有200名乘客，其中150人要求轉(zhuǎn)機(jī)，計算結(jié)果見表2-3-1。由表2-3-1可知，最優(yōu)起飛順序為4,1,2，最低費(fèi)用。這表明晚點時間很長的飛機(jī)應(yīng)優(yōu)先起飛，否則航空公司就需要支付高額的誤機(jī)費(fèi)了。表2

17、-3-1 各飛機(jī)的數(shù)據(jù)信息及計算結(jié)果飛機(jī)乘客數(shù)轉(zhuǎn)機(jī)數(shù)晚點費(fèi)用矩陣c最優(yōu)解13501001min5.898911.896617.994901021001001min1.69733.42285.1771001420015018min70.2718374.8257379.4581002.2 碼頭卸貨效率分析的隨機(jī)模擬模型1問題的提出有一個小型卸貨專用碼頭，只有一個停舶位，某些特定的貨物（如礦產(chǎn)，石油等）由船舶運(yùn)送并在此碼頭卸貨。假設(shè)相鄰兩艘船到達(dá)的時間間隔在15145分鐘之間變化，根據(jù)船的大小、類型，每艘船的卸貨時間也不同，時間在4590分鐘的范圍內(nèi)波動變化?，F(xiàn)在需分析碼頭的卸貨效率，即想辦法計算每

18、艘船停留在該港口的平均時間和最長時間；每艘船等待卸貨的時間等。2模型的構(gòu)建為計算的方便，假設(shè)前一艘船離開碼頭的時間就是在卸貨結(jié)束的時候，此時后一艘船馬上可以進(jìn)行卸貨。引進(jìn)如下記號：第艘船的到達(dá)時間；第1艘船與第艘船到達(dá)之間的時間間隔；第艘船的卸貨時間；第艘船的離開時間；第艘船的等待時間；第艘船停留在港口的時間；卸完第(1）艘船到開始卸第艘船之間的設(shè)備閑置時間；船只最長等待時間；船只平均停留時間；船只最長停留時間；船只平均等待時間；設(shè)備閑置總時間；設(shè)備閑置百分比。為了對碼頭的效率進(jìn)行分析，我們從一般開始考慮，即假設(shè)共有條船到達(dá)該碼頭進(jìn)行卸貨的情形，從原則上說，越大效率越高。由于每條船到達(dá)碼頭的時

19、間與卸貨的時間都是無法確定的。因此，我們要用隨機(jī)模擬的方法來建立數(shù)學(xué)模型，而這種方法又被稱為蒙特卡羅（monte carlo）模擬。首先，我們?nèi)藶榈倪M(jìn)行假設(shè)，假設(shè)兩船到達(dá)之間的時間間隔是一個隨機(jī)變量，服從15145分鐘之間的均勻分布；各船卸貨時間服從4590分鐘間均勻分布的隨機(jī)變量。接下來，我們用發(fā)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)的方法，分別產(chǎn)生個15，145和45，90之間的隨機(jī)數(shù)和來模擬艘船兩兩之間到達(dá)的時間間隔以及各艘船的卸貨時間。設(shè)初始時刻為0，利用船舶到達(dá)的時間間隔，我們可以計算出各船的到達(dá)時間擁有這些數(shù)據(jù)之后，各艘船在碼頭等待卸貨的時間就可以計算出來，同樣的，兩艘船之間卸貨設(shè)備的閑置時間以及離開

20、的時間我們也都可以計算出來。由于第一艘船到港就馬上卸貨，卸完貨便離港，因此可以得到而在該船到達(dá)之前設(shè)備閑置，即之后的各艘船到達(dá)碼頭的時候，若前一艘船已經(jīng)離開 ，則可以馬上進(jìn)行卸貨，否則就要進(jìn)行等待，等待時間是本船到達(dá)時間與上一艘船的離港時間之差的絕對值，從而可以得到第艘船的等待時間為或由此可得如果第艘船需等待卸貨，設(shè)備將被認(rèn)定為不是閑置，但如果第艘船的到達(dá)時間比第-1艘船的離開時間來得更晚，那么這期間的這段時間差將被認(rèn)定為設(shè)備的閑置時間，即或用下式可以計算船只停留在船舶的時間船只在船港的最大停留時間和平均停留時間以及最大和平均等待時間同樣能夠計算設(shè)備閑置總時間和閑置時間，其百分比如表2-2-1

21、，2-2-2，2-2-3。由于和都是隨機(jī)產(chǎn)生的，進(jìn)行重復(fù)計算時結(jié)果難免會有差異，所以如果僅用一次計算的結(jié)果作為分析的依據(jù)顯然是靠不住的。較好的做法是對該模擬進(jìn)行多次重復(fù)模擬，把得到各項數(shù)據(jù)進(jìn)行平均計算，將得到的各項平均值作為分析的依據(jù)。3模型的求解與應(yīng)用各種計算機(jī)高級語言和數(shù)學(xué)軟件都有產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的子程序或命令語句，隨機(jī)模擬是不難用一個簡單的程序?qū)崿F(xiàn)的。這里以為例，列出6次模擬的結(jié)果，如表2-2-1所示，表格當(dāng)中的時間均以分鐘為單位。表2-2-1船在港口的平均停留時間1068510111611294船在港口的最長停留時間287180233280234264船的平均等待時間392035504427

22、船的最長等待時間213118172203167184設(shè)備閑置時間的百分比0.180.170.150.20.140.21為了提高碼頭的卸貨能力，進(jìn)行設(shè)備的改善以及勞力的增加，從而使卸貨時間由原來4590分鐘減少至3575分鐘之間，而兩艘船到達(dá)的間隔仍保持為15145分鐘，模擬的結(jié)果如表2-2-2所示。表2-2-2船在港口的平均停留時間746264676773船在港口的最長停留時間161116167178173190船的平均等待時間19610121216船的最長等待時間10258102110104131設(shè)備閑置時間的百分比0.250.330.320.30.310.27由表2-2-2可知，每艘船的卸

23、貨時間縮短了15-20分鐘，等待時間有了很明顯的減少，但設(shè)備閑置時間卻增加了，百分比增加了一倍。為了提高利用效率，可以接納的卸貨船只變得更多，從而將兩艘船到達(dá)的時間間隔縮短為10-120分鐘。在裝載時間不變的情況下（即裝載時間3575分鐘）再次進(jìn)行6次模擬，模擬得到的結(jié)果如下表2-2-3所示。表格中顯示此時船的等待時間增加，設(shè)備閑置時間減少。表2-2-3船在港口的平均停留時間114799688126115船在港口的最長停留時間248224205171371223船的平均等待時間572441357161船的最長等待時間175152155122309173設(shè)備閑置時間的百分比0.150.190.1

24、20.140.170.06第五章 結(jié) 論隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理中越來越看重數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)管理的數(shù)學(xué)化已經(jīng)逐步發(fā)展成為一種趨勢，數(shù)學(xué)已經(jīng)演變成為經(jīng)濟(jì)管理的重要支柱，并發(fā)揮越來越重要的地位和作用，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用技術(shù)更佳深化，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中應(yīng)用的廣度和深度都會得到極大程度的提升?，F(xiàn)如今，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多數(shù)學(xué)模型都不能直接應(yīng)用于研究中國經(jīng)濟(jì)，不過可以對現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正，使之適合于研究經(jīng)濟(jì)。在此背景下，我們必須對未來數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用實踐進(jìn)行思考和展望，即對應(yīng)的，提升數(shù)學(xué)建模思想，就需要加強(qiáng)對當(dāng)前我國數(shù)學(xué)教育的改革。這是社會主義市場經(jīng)濟(jì)發(fā)展的必然需求，也是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理發(fā)展的時代要求。近代數(shù)學(xué)與各個領(lǐng)域結(jié)合產(chǎn)生的巨大成就再一次證實了，數(shù)學(xué)建模的重要性，就經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域，我國教育改革中，應(yīng)該首先樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用的理念和思想，其次要在相關(guān)經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)設(shè)立數(shù)學(xué)應(yīng)用方向，進(jìn)行專業(yè)細(xì)化，培育復(fù)合化人才，才能滿足市場發(fā)展需求。致 謝時間飛逝，一晃四年大學(xué)時光即將逝去?；?/p>