1、莫興德 廣西大學(xué) 數(shù)信學(xué)院,Email:,微 積 分,鏈接目錄,參考書,1趙樹嫄. 微積分. 中國人民出版社 2同濟大學(xué). 高等數(shù)學(xué). 高等教育出版社,第六章定積分的應(yīng)用,定積分的應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1 直角坐標(biāo)系,作為一般情況討論，設(shè)平面圖形由 a , b 上連續(xù)的兩條曲線 y = f ( x ) 與 y = g ( x ),及兩條直線 x =a ,x =b 所圍成,在 a ,b 上任取典型小區(qū)間 x ,x+dx ,與它相對應(yīng)的小曲邊梯形的面積為局部量dA,dA 可用高為,底為 dx 的矩形面積,近似表示,即,故,a,b,當(dāng) dx 很小時,所圍成的圖形的面積,解,為確定圖形的存在區(qū)間,

2、由聯(lián)立方程組解得交點,A（-1，1） B（1，1）,故,例1 求兩曲線,所圍圖形的面積,解,首先定出圖形所在的范圍,解得交點為（2，-2）和（8，4）,若取 x 為積分變量 在 x,x+dx 上取部分量,則對于 x 的不同值 局部量的位置不同 其上、下曲邊有多種情況運用上述公式計算較為復(fù)雜,如下圖,例2 計算,以 y 為變量計算將會簡單,在-2,4 上任取一小區(qū)間,其上相應(yīng)的窄條左、右曲邊分別為,但若將這一面積看作是分布在區(qū)間 -2，4 上,由此可見在面積計算中應(yīng)根據(jù)平面區(qū)域的具體特征恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量找出相應(yīng)的面積微元可使計算簡化,上述問題的一般情況是,平面區(qū)域由 c,d 上連續(xù)的曲線,及直

3、線y = c ,y = d 所圍成,則其面積為,c,d,當(dāng)直角坐標(biāo)系下的平面區(qū)域的邊界曲線由參數(shù)方程的形式給出時，只須對面積計算公式作變量代換即可。,計算時應(yīng)注意積分限在換元中應(yīng)保持與原積分限相對應(yīng)。,例3,求橢圓,的面積,解,由對稱性 面積A等于橢圓在第一象限內(nèi)的部分的面積的4倍,即,設(shè) f ( x ) 在 a ,b 上連續(xù)，在 ( a, b ) 內(nèi)有,證明,存在唯一的,使曲線 f（x ）與兩直線,所圍圖形的面積,是 y = f ( x ) 與兩直線,所圍圖形面積,的3倍,證,例4,故由零點定理知,又,令,2 極坐標(biāo)系,某些平面圖形，用極坐標(biāo)來計算是比較方便的,若曲線由極坐標(biāo)方程,給出,極坐

4、標(biāo)系下研究面積的基本圖形不是曲邊梯形,而是由射線,所圍成的稱為曲邊扇形的區(qū)域,可用半徑為,圓心角為,由于曲邊扇形的面積分布,故面積元素為,的圓扇形的面積來近似,解,由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積,解,利用對稱性知,通過以上幾例可見在實際計算中應(yīng)充分利用所求量的對稱性和等量關(guān)系來簡化計算。,二、平面曲線弧長的概念,直角坐標(biāo)情形,弧長元素,弧長,解,所求弧長為,解,曲線弧為,弧長,參數(shù)方程情形,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對稱性,第一象限部分的弧長,證,根據(jù)橢圓的對稱性知,故原結(jié)論成立.,極坐標(biāo)情形,曲線弧為,弧長,解,求心形線,的全長,解,由對稱性,例12,求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式

5、下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.,（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）,平面曲線弧長的概念,弧微分的概念,求弧長的公式,直角坐標(biāo)系下,參數(shù)方程情形下,極坐標(biāo)系下,小結(jié),思考題,兩邊同時對 求導(dǎo),積分得,思考題 1 解答,所以所求曲線為,不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長,思考題 2 解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,圓臺,體 積,一、旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積為,所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積為,例1,求橢圓,所圍成的平面圖形分別繞 x 軸和

6、 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積,類似地，由連續(xù)曲線,這個旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個橢圓,及 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,與上同理,橢球體也可以看成由半個橢圓,及 y 軸圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,解,特別當(dāng) a = b 時,旋轉(zhuǎn)體成為球體,解,解,例4,證明由平面圖形,（f ( x ) 連續(xù)）,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為,對應(yīng)的部分量,可近似看成內(nèi)徑為 x ，外徑為 x + dx 高為 f ( x ) 的薄壁圓筒,故,證,或展開后近似于長為 寬為 dx 高為 f(x) 的薄長方體,利用這個公式，可知上例中,解,體積元素為,求圓心在 ( b ,

7、0 ) 半徑為 a ( 0 a b ) 的圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的環(huán)狀體的體積,解,圓的方程,例6,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),dV = 薄片圓柱的體積（底半徑為 f(x) ，高為dx ）,柱片法,繞 y 軸旋轉(zhuǎn),dV = 薄壁圓筒的體積（內(nèi)徑為 x ，外徑為x+dx 高為f ( x ),柱殼法,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為,一 般地,如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,二、平行截面面積為已知的立體的體積,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,已知點A（1,0,1), B(0,1,0) ，線段AB繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由S和兩平面 z = 0,z = 1所圍立體的體積,解,AB 的方程為,在 z 軸上截距為 z 的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面為一個圓，此截面與 z 軸交于點Q (0,0,z) ，與AB交于點M