1、集合的含義與表示 知識(shí)探討合作與討論一、如何理解集合的概念？集合如同平面幾何中點(diǎn)、線、平面等概念一樣，是集合論中的原始概念，只進(jìn)行描述說(shuō)明，無(wú)法定義概念教材中對(duì)集合的描述是：“指定的某些對(duì)象的全體稱(chēng)為集合”應(yīng)抓住“指定”“對(duì)象”“全體”三點(diǎn)加以全面理解1“指定”即說(shuō)明“某些對(duì)象”具有共同的特征或共同的屬性，說(shuō)明已具備判定對(duì)象是否成為該集合的元素的判定標(biāo)準(zhǔn)，而不是隨意組合2“對(duì)象”在不同的集合中，應(yīng)有不同的內(nèi)涵在不同的集合中元素還可能是人、物、質(zhì)點(diǎn)或抽象事物等等3“全體”說(shuō)明集合是一個(gè)整體概念，針對(duì)全部對(duì)象而言，并且在這個(gè)整體中各元素間無(wú)先后排列要求、沒(méi)有一定順序關(guān)系4元素與集合的關(guān)系有且僅有兩

2、種：屬于（用符號(hào)表示）和不屬于（用符號(hào)符號(hào)表示）如21，2，3，41，2，3，11，2，3，而11，2，35集合具有兩個(gè)方面的意義：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素；只要是它的元素就一定符合條件二、集合中元素的三大特征是什么？應(yīng)如何理解？我們知道集合元素必具備：確定性、互異性、無(wú)序性，否則不能構(gòu)成集合1確定性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的元素的意義應(yīng)當(dāng)是明確的依照元素公有的特征標(biāo)準(zhǔn)，可以明確地判定某一對(duì)象是這個(gè)集合的元素或不是這個(gè)集合的元素，二者必居其一，不會(huì)模棱兩可例如“我們班的高個(gè)子同學(xué)”就不具備確定性；因?yàn)榻M成集合的標(biāo)準(zhǔn)不明確身高多少時(shí)算“高個(gè)子”？再如“著名科學(xué)家”“較大的數(shù)”“宇宙中的星體

3、”等，都不能組成集合，原因是各對(duì)象間找不出公共特征、屬性，即元素的“指定” 2互異性：一個(gè)給定集合的元素之間必須是互異的，即一個(gè)集合中的任兩個(gè)元素（對(duì)象）應(yīng)該是不同的，相同對(duì)象在構(gòu)成集合時(shí)只能作為一個(gè)元素出現(xiàn)在集合中如方程（x1）2（x2）0的根為：，x21，而該方程的解集記為1，2，而不能記為1，2，3反過(guò)來(lái)，如1，1，a2表示一個(gè)集合，則其中3無(wú)序性：構(gòu)成集合的元素間無(wú)先后順序之分如1，2，3，4與4，1，2，3表示同一個(gè)集合在構(gòu)成集合時(shí)元素需同時(shí)具備以上三個(gè)特征，缺一不可 三、集合三種表示方法的要求有哪些？何時(shí)選用列舉法、描述法、韋恩圖法？1列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，置于大括號(hào)

4、內(nèi)諸元素x1，x2，xn構(gòu)成的集合記為x1，x2，xn在使用列舉法時(shí)應(yīng)注意以下四點(diǎn)：（1）元素間用分隔號(hào)“，”；（2）元素不重復(fù)；（3）不考慮元素順序；（4）對(duì)于含元素較多的集合，如果構(gòu)成該集合的元素具有明顯的規(guī)律，可用列舉法表示，但是必須把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)出來(lái)后，才能用省略號(hào)表示，如N*1，2，3，n，1，3，5，7，9列舉法適用于表示元素個(gè)數(shù)較少的集合，對(duì)于元素個(gè)數(shù)較多甚至有無(wú)窮多個(gè)元素的集合，一般不便于用列舉法表示但對(duì)于一些元素經(jīng)適當(dāng)排列后有規(guī)律的數(shù)集，也可以用列舉法表示2描述法：選用代表元素和借助元素公有的確定條件來(lái)表示集合形如xAP（x）或公有屬性，其中x為該集合中元素的代號(hào)，它表明

5、了該集合中的元素是“什么”；A是特定條件；P（x）為該集合中元素特有的公共屬性、特征在使用描述法時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）寫(xiě)清元素代號(hào)；（2）說(shuō)清集合中元素的特性；（3）文字表述多層次時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”；（4）所有描述的內(nèi)容都寫(xiě)在集合括號(hào)內(nèi)；（5）語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、確切，字句逐一說(shuō)明3列舉法、描述法的書(shū)寫(xiě)及讀法：分類(lèi)符號(hào)應(yīng)用舉例讀法列舉法，x1，x2，xn諸元素x1，x2，xn構(gòu)成的集合描述法1xAP（x）使P（x）為真的A中諸元素集合4圖示法韋恩圖法采用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部表示集合如，用韋恩圖表示為：表示集合的圖形的形狀、大小與集合的性質(zhì)沒(méi)有任何關(guān)系，它僅僅把集合中的元素都包括在內(nèi)，

6、從而體現(xiàn)“整體”韋恩圖可直觀地表示集合，幫助我們理解、分析問(wèn)題，但不能作為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)工具使用上述的集合表示法各有特點(diǎn)，根據(jù)不同的情況，可選撣適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯?，而且表示法之間有時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵在于正確理解集合語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換，這標(biāo)志著一個(gè)學(xué)生的理解能力的高低其三者關(guān)系如下圖：四、如何理解空集？1中含有什么在集合中含有什么樣的元素？什么也沒(méi)有空集的定義就是：不含任何元素的集合由集合的一般定義，集合中要有“指定的元素（對(duì)象）”，空集既然也是集合，指定對(duì)象哪里去了呢？里邊沒(méi)有元素它還叫集合嗎？由此可見(jiàn)，在這個(gè)地方存在矛盾，因此空集的定義不應(yīng)包含在一般情況中，而是專(zhuān)門(mén)作了特殊規(guī)定正

7、如一些其他同類(lèi)問(wèn)題一樣，我們也規(guī)定存在一個(gè)沒(méi)有元素的集合它不同于其他普遍意義下的集合，是單為運(yùn)算的簡(jiǎn)化、統(tǒng)一和表達(dá)的需要而引進(jìn)的特殊記號(hào)只要有集合的地方，就會(huì)有它的應(yīng)用，和其他集合不同，它不含有任何元素你說(shuō)0是空集嗎？不對(duì)，它不是空集，它的內(nèi)部已經(jīng)有元素0了2和是什么關(guān)系是不含任何元素的集合是只含有一個(gè)元素的單元素集雖然中沒(méi)有元素，但作為集合來(lái)說(shuō)，是含有一個(gè)元素的，所以其次，在后面的學(xué)習(xí)中將規(guī)定：“空集是任何集合的子集”，所以上面已經(jīng)指出，是非空集合，根據(jù)“空集是任何非空集合的真子集”，又可得出由此可見(jiàn)，這里有一個(gè)有趣的現(xiàn)象，在與之間，我們可用四個(gè)符號(hào)、中的任意一個(gè)把它們連結(jié)起來(lái)，但不能用等號(hào)連結(jié)五、列舉法、描述法的優(yōu)劣及使用要求本小節(jié)列舉法和描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，有如下的規(guī)定：符號(hào)，1應(yīng)用x1，x2，xnxAP（x）意義或讀法諸元素x1，x2，xn構(gòu)成集使命題P