1、理數 課標版,第四節(jié)基本不等式及其應用,1.基本不等式 (1)基本不等式成立的條件:a0,b0. (2)等號成立的條件:當且僅當a=b時等號成立. (3)其中稱為正數a,b的算術平均數,稱為正數a,b 的幾何平均數.,教材研讀,2.幾個重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR),當且僅當a=b時取等號. (2)ab(a,bR),當且僅當a=b時取等號. (3)(a,bR),當且僅當a=b時取等號. (4)+2(a,b同號),當且僅當a=b時取等號.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值,是2.(簡記:積定和最小) (

2、2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當x=y時,xy有最大值,是.(簡記:和定積最大),判斷下面結論是否正確.(請在括號中打“”或“”) (1)兩個不等式a2+b22ab與成立的條件是相同的.() (2)(a+b)24ab(a,bR).() (3)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.() (4)函數y=x+的最小值是2.() (5)x0且y0是+2的充分不必要條件.(),1.若a、bR,且ab0,則下列不等式中,恒成立的是() A.a2+b22abB.a+b2 C.+D.+2 答案D對A:當a=b=1時,滿足ab0,但a2+b2=2ab,所以A錯;對B、C:當a=b=-1時,滿足ab0,但

3、a+b0,0,顯然B、C不對; 對D:當ab0時,+2=2當且僅當=時等號成立,故選D.,2.已知f(x)=x+-2(x0),則f(x)有() A.最大值0B.最小值0C.最大值-4D.最小值-4,答案Cx0,f(x)=-2-2-2=-4,當且僅當-x=,即x= -1時取等號. f(x)有最大值-4.,3.若x0,y0且x+y=,則xy的最大值為() A.B.2C.D. 答案Dx0,y0, =x+y2,即, xy. (xy)max=.,4.若實數x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為. 答案2 解析x2+2y22=2xy=2, 當且僅當x=y時取“=”, x2+2y2的最小值為2.,5.

4、若利用總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地,則矩形場地的最大面積是. 答案25 m2 解析設矩形場地的一邊長為x m(0x10),則其鄰邊長為(10-x)m,面積S=x(10-x)=25,當且僅當x=10-x,即x=5時等號成立,所以當矩 形場地的長與寬相等,即都為5 m時面積取到最大值,最大面積為25 m2.,考點一利用基本不等式求最值 典例1(1)已知a0,b0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正數x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值; (3)已知正數x,y滿足x+2y=1,求+的最小值. 解析(1)解法一:a0,b0,4a+b=1,1=4a+b2=4, 當且僅當4a

5、=b=,即a=,b=時,等號成立. ,ab.所以ab的最大值為. 解法二:4a+b=1, ab=4ab=,考點突破,當且僅當4a=b=,即a=,b=(滿足a0,b0)時,等號成立,所以ab的最大 值為. (2)由x+3y=5xy(x0,y0), 得+=5, 則3x+4y=(3x+4y) = =(13+12)=5.,當且僅當=,即x=2y時,“=”成立, 此時由解得(滿足x0,y0). 故3x+4y的最小值為5. (3)因為正數x,y滿足x+2y=1, 所以+=(x+2y)=2+2 =4+4+2=8, 當且僅當=,即x=2y時取等號.,所以+的最小值為8.,方法技巧 (1) 利用基本不等式解決條

6、件最值問題的關鍵是構造和為定值或乘積為定值,主要有兩種思路:對條件使用基本不等式,建立相應的不等式求解.對條件變形,以進行“1”的代換,從而利用基本不等式求最值. (2)有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過添項、分離常數、平方等手段使之能運用基本不等式.常用的方法還有:拆項法、變系數法、湊因子法、換元法、整體代換法等.,1-1(2017四川樂山一中月考)設0x,則函數y=4x(3-2x)的最大值為 . 答案,解析y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2=,當且僅當2x=3-2x,即 x=時,等號成立. ,函數y=4x(3-2x)的最大值為.,1-2已知x,則函數y=4x

7、-2+的最大值為. 答案1,解析x0, y=4x-2+=-+3-2+3=1,當且僅當5-4x=,即x=1時,等號成立, 故ymax=1.,1-3設0x1,a,b為正常數,則+的最小值為. 答案(a+b)2 解析+=x+(1-x)=a2+b2+a2+b2+ 2=(a+b)2,當且僅當x=時取等號,+的最小值為(a+b)2.,考點二基本不等式的實際應用 典例2(1)(2014福建,13,4分)要制作一個容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是() A.80元B.120元C.160元D.240元 (2)某公司租

8、地建倉庫,每月土地占用費y1(單位:萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2(單位:萬元)與倉庫到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站千米處.,答案(1)C(2)5 解析(1)設底面相鄰兩邊的邊長分別為x m,y m,總造價為T元,則xy1=4 xy=4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202=80+204=160(當且 僅當x=y時取等號). 故該容器的最低總造價是160元. (2)由已知可得y1=,y2=0.8x,其中x(單位:千米)為倉庫與車站

9、之間的距 離,則費用之和y=y1+y2=+0.8x2=8,當且僅當0.8x=,即x=5 時,取等號.,易錯警示 對于實際問題,在審題和建模時一定不可忽略對變量范圍的準確挖掘,一般地,每個表示實際意義的代數式必須取正值,由此可得變量的范圍,然后利用基本不等式求最值.,2-1某房地產開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內建造一個長方形公園ABCD,公園由形狀為長方形的休閑區(qū)A1B1C1D1和人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米,人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示). (1)若設休閑區(qū)的長和寬的比=x(x1),求公園ABCD所占面積S關于 x的函數S(x)的解析式; (2)

10、要使公園所占面積最小,則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設計?,解析(1)設休閑區(qū)的寬為a米,則長為ax米, 由a2x=4 000,得a=. 則S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)+160=80 +4 160(x1).,(2)80+4 160802+4 160=1 600+4 160= 5 760,當且僅當2=,即x=2.5時,等號成立,此時a=40,ax=100. 所以要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬應分別設計為 100米,40米.,考點三含參問題 典例3(1)已知不等式(x+y)9對任意的正實數x,y恒成立

11、,則正 實數a的最小值為() A.2B.4C.6D.8 (2)已知正數a,b滿足+=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m對任意實數x恒 成立,則實數m的取值范圍是() A.3,+)B.(-,3 C.(-,6D.6,+),當y=x時取等號,所以(x+y)的最小值為(+1)2,于是(+1)2 9恒成立.所以a4,故選B. (2)因為a0,b0,+=1, 所以a+b=(a+b)=10+10+2=16(當且僅當a=4,b=12時取 等號), 由題意,得16-x2+4x+18-m對任意實數x恒成立,即x2-4x-2-m對任意實數x恒成立,又因為x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最

12、小值為-6,所以-6-m,即m6.,答案(1)B(2)D 解析(1)(x+y)=1+a+1+a+2=(+1)2(x,y,a0),當且僅,易錯警示 1.在應用基本不等式求最值時,要把握三個條件,即“一正各項都是正數;二定和或積為定值;三相等等號能取得”,這三個條件缺一不可.,2.若無明顯“定值”,則常用配湊的方法,使和為定值或積為定值.當多次使用基本不等式時,一定要注意每次是否能保證等號成立,并且要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯,因此在利用基本不等式處理問題時,列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗轉換是否有誤的一種方法.,3-1(2016福建四地六校聯(lián)考)已知函數f(x)=x+2的值域為(-,0 4,+),則a的值是() A.B.C.1D.2 答案C由題意可得a0,當x0時, f(x)=x+22+2,當且僅當x =時取等號;當x0時, f(x)=x+2-2+2,當且僅當x=-