1、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),主講：周利東 太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 2011-10-20,教學(xué)內(nèi)容,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題 任意周期激勵(lì)的響應(yīng) 非周期激勵(lì)的響應(yīng),線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng) 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng),彈簧質(zhì)量系統(tǒng),設(shè),外力幅值,外力的激勵(lì)頻率,振動(dòng)微分方程：,x 為復(fù)數(shù)變量，分別與,實(shí)部和虛部分別與,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng),受力分析，以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圖示的坐標(biāo)系,和,相對(duì)應(yīng),和,

2、相對(duì)應(yīng),參考文獻(xiàn)振動(dòng)力學(xué)(劉延柱)P31 振動(dòng)力學(xué)(倪振華)P79,振動(dòng)微分方程：,顯含時(shí)間 t 非齊次微分方程,非齊次微分方程通解,齊次微分方程通解,非齊次微分方程特解,阻尼自由振動(dòng) 逐漸衰減 暫態(tài)響應(yīng),持續(xù)等幅振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 本節(jié)內(nèi)容,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng),振動(dòng)微分方程：,設(shè)：,代入，有：,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù),振動(dòng)微分方程：,引入：,振幅放大因子,相位差,則：,：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅,靜變形,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng),代入，有：,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅,若：,則：,無(wú)阻尼情況：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng),（1）線性系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響

3、應(yīng)是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡(jiǎn)諧振動(dòng),（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m, k, c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的方式（即初始條件）無(wú)關(guān),結(jié)論：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng),幅頻特性,相頻特性,線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng) 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,以s為橫坐標(biāo)畫(huà)出 曲線,幅頻特性曲線,簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：,（1）當(dāng)s1（ ）,激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低,結(jié)論：響應(yīng)的振幅 A 與靜位移 B 相當(dāng),單自由度系統(tǒng)受迫振

4、動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,（2）當(dāng)s1（ ）,激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很高,結(jié)論：響應(yīng)的振幅 很小,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,（3）在以上兩個(gè)領(lǐng)域 s1，s1,結(jié)論：系統(tǒng)即使按無(wú)阻尼情況考慮也是可以的,對(duì)應(yīng)于不同 值,曲線較為密集，說(shuō)明阻尼的影響不顯著,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,結(jié)論：共振 振幅無(wú)窮大,（4）當(dāng),對(duì)應(yīng)于較小 值， 迅速增大,當(dāng),但共振對(duì)于來(lái)自阻尼的影響很敏感，在 s=1 附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,（5）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)， 并不出現(xiàn)在s=1處

5、，而且稍偏左,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,（6）當(dāng),振幅無(wú)極值,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,記：,品質(zhì)因子,在共振峰的兩側(cè)取與 對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn) ，,帶寬,Q與 有關(guān)系 ：,阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,相頻特性曲線,（1）當(dāng)s1（ ）,以s為橫坐標(biāo)畫(huà)出 曲線,相位差,位移與激振力在相位上幾乎相同,（2）當(dāng)s1（ ）,位移與激振力反相,（3）當(dāng),共振時(shí)的相位差為 ，與阻尼無(wú)關(guān),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,有阻尼單自由度系統(tǒng),外部作用力規(guī)律：,假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：,從

6、左到右：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng) 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,在系統(tǒng)受到激勵(lì)開(kāi)始振動(dòng)的初始階段，其自由振動(dòng)伴隨受迫振動(dòng)同時(shí)發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加,顯含 t，非齊次微分方程,非齊次微分方程 通解,齊次微分方程 通解,非齊次微分方程 特解,阻尼自由振動(dòng) 逐漸衰減 暫態(tài)響應(yīng),持續(xù)等幅振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng),回顧：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,先考慮無(wú)阻尼的情況,假定正弦激勵(lì),通解：,齊次通解,非齊次特

7、解,初始條件決定,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動(dòng),強(qiáng)迫響應(yīng),特點(diǎn)：以系統(tǒng)固有頻率為振動(dòng)頻率,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動(dòng),強(qiáng)迫響應(yīng),如果是零初始條件,自由伴隨振動(dòng),強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,零初始條件,(2) s 1,(1) s 1,穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，自由伴隨振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán),自由伴隨振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán),受迫振動(dòng)響應(yīng)成為自由振動(dòng)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng),受迫振動(dòng)響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫

8、振動(dòng)的過(guò)渡階段,由于系統(tǒng)是線性的，也可利用疊加定理求解,通解：,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動(dòng),強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,即使在零初始條件下，也有自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)相伴發(fā)生,實(shí)際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)逐漸衰減，進(jìn)而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,解：,的全解：,如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動(dòng),必須成立：,初始條件：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,解：,的全解：,正確？,全解：,由,求一階導(dǎo)數(shù)：,由,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,全解：,因此：,的全解：,相同,不同,單自

9、由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,全解：,如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動(dòng),初始條件：, 0,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,若激勵(lì)頻率與固有頻率十分接近 （但并不等于）,令：, 小量,考慮零初始條件，有：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,代入：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,1,可看作頻率為 但振幅按 規(guī)律緩慢變化的振動(dòng),這種在接近共振時(shí)發(fā)生的特殊振動(dòng)現(xiàn)象稱為”拍”,拍的周期：,圖形包絡(luò)線：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,當(dāng),隨 t 增大，振幅無(wú)限增大，無(wú)阻尼系統(tǒng)共振的情形,響應(yīng)曲線,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡

10、階段,討論有阻尼系統(tǒng)在過(guò)渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng),初始條件響應(yīng),自由伴隨振動(dòng),強(qiáng)迫響應(yīng),利用前述相同的方法，有：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,初始條件響應(yīng),經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)時(shí)間后，作為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動(dòng)都將消失，只剩穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng),自由伴隨振動(dòng),強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動(dòng),強(qiáng)迫響應(yīng),對(duì)于零初始條件：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段,表示出零初始條件下， 時(shí)系統(tǒng)在過(guò)渡階段的振動(dòng)情況。,（a）激振力 （b）自由伴隨振動(dòng) （c）穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) （d）過(guò)渡階段的強(qiáng)迫振動(dòng),線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特

11、性 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng) 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng) 特點(diǎn)：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例,坐標(biāo)：,動(dòng)力學(xué)方程：,基座位移規(guī)律 ：,x1 相對(duì)基座位移,受力分析（某瞬時(shí)t）,D：基座位移振幅,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),以物體與支座靜止時(shí)的平衡位置為原點(diǎn),動(dòng)力學(xué)方程：,回顧：,令：,有：,其中：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),幅頻曲線,相頻曲線,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),有阻尼的單自由度承受支撐運(yùn)動(dòng),支撐運(yùn)動(dòng)：,系統(tǒng)固

12、有頻率從左到右：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),若以絕對(duì)位移 x 為坐標(biāo),其中：,則有：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),代入：,無(wú)阻尼情況：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),幅頻曲線,可看出：,當(dāng) 時(shí)，,振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅D,當(dāng) 時(shí)，,振幅恒小于D,增加阻尼反而使振幅增大,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),例：,汽車的拖車在波形道路上行駛,已知拖車的質(zhì)量滿載時(shí)為 m1=1000 kg,空載時(shí)為 m2=250 kg,懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m,阻尼

13、比在滿載時(shí)為,車速為 v =100 km/h,路面呈正弦波形，可表示為,求： 拖車在滿載和空載時(shí)的振幅比,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),參考文獻(xiàn)振動(dòng)力學(xué)(倪振華)P107,解：,汽車行駛的路程可表示為：,路面的激勵(lì)頻率：,l =5 m,因此：,得：,c、k 為常數(shù)，因此 與 成反比,因此得到空載時(shí)的阻尼比為：,滿載和空載時(shí)的頻率比：,因?yàn)橛校?單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),滿載時(shí)頻率比,記：滿載時(shí)振幅 B1，空載時(shí)振幅 B2,有：,滿載時(shí)阻尼比,空載時(shí)阻尼比,空載時(shí)頻率比,因此滿載和空載時(shí)的振幅比：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)

14、,支承運(yùn)動(dòng)小結(jié),相對(duì)位移,基座位移規(guī)律 ：,絕對(duì)位移,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵(lì)來(lái)源。旋轉(zhuǎn)機(jī)械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為,x：機(jī)器離開(kāi)平衡位置的垂直位移,則偏心質(zhì)量的垂直位移：,由達(dá)朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動(dòng)力學(xué)方程：,簡(jiǎn)化圖形,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),參考文獻(xiàn)振動(dòng)力學(xué)(倪振華)P99,me ：不平衡量,：不平衡量引起的離心慣性力,設(shè)：,得：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),B 又寫(xiě)為 ：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫

15、振動(dòng),例：偏心質(zhì)量系統(tǒng),共振時(shí)測(cè)得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動(dòng)測(cè)得阻尼系數(shù)為,假定,求： （1）偏心距 e，,（2）若要使系統(tǒng)共振時(shí)振幅為0.01 m，系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),解:（1）,共振時(shí)測(cè)得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動(dòng)測(cè)得阻尼系數(shù)為,共振時(shí)最大振幅,（2）若要使系統(tǒng)共振時(shí)振幅為0.01 m,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng),偏心質(zhì)量小結(jié),解1：,解2：,線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動(dòng)的過(guò)渡階段 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的

16、受迫振動(dòng) 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng),機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,工程中常用機(jī)械阻抗來(lái)分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性,機(jī)械阻抗定義為簡(jiǎn)諧激振時(shí)復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比,動(dòng)力學(xué)方程：,：輸入,：輸出,代入，得：,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù),根據(jù)定義，位移阻抗：,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)， 也稱為導(dǎo)納,輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納，相應(yīng) 、 、 分別有位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,位移阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動(dòng)力特性（m，k，c），它們都是復(fù)數(shù),現(xiàn)已有多種專門(mén)測(cè)試機(jī)械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率，相對(duì)阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動(dòng)力特征,單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫(xiě)為：,模及