1、 洛書的數(shù)學(xué) 研究 一 焦氏 “ 洛書矩陣 ” 學(xué)說(shuō)一 焦蔚芳(美 國(guó)愛靈敦理 念書院 ) 引言 在中國(guó)及世界古代數(shù)學(xué)史中 , 洛書是中華民族 在人類文化史中最早的數(shù)學(xué)創(chuàng)作 。 關(guān)于 洛書 的起源 及其在中外數(shù) 學(xué)領(lǐng)域中的傳播和發(fā)展 , 讀者可參閱英 人 李約瑟的中國(guó)科學(xué)技術(shù)史 r , , 及國(guó)人黎凱旋的易 數(shù)淺說(shuō) 2。中國(guó)先民創(chuàng)造 洛書 已 有五千年歷史 ,但直 到現(xiàn)在 , 洛書在世界人民心目中仍蒙有一層 奧秘色 彩 , 中外數(shù)學(xué)家仍 名之謂 “ 幻方氣很少 學(xué)者用現(xiàn)代數(shù)學(xué) 觀點(diǎn) , 去研究并解釋洛書的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 。 因此 ,“ 洛書的 本質(zhì)是什么? 刀 換句話說(shuō) , “ 洛書在現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)的地

2、位 是什么? ” 就成為一個(gè)有重大意義而需要解決的數(shù)學(xué)問(wèn) 題 。 作者為解答這個(gè)問(wèn)題 , 乃于1 98 0年在美國(guó)設(shè)立愛 靈敦理念書院 , 擬定幾個(gè)有關(guān)洛書的基本命題 , 從事 研究洛書的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 , 以求判定洛書 的本質(zhì)和功 能 。 六年以來(lái) , 作者根據(jù)研究成果 , 創(chuàng)立t i 各書矩陣 ” 學(xué) 說(shuō) , 并于1 9 8 6 年四月 , 向上海及北京數(shù)學(xué)會(huì)講演這一 學(xué)說(shuō) 3 , 盛 , 并提出兩點(diǎn)建議 : (一)宣布洛 書為人類文 化史中第一個(gè)矩陣 , (二)以洛書作為中華民族原 始 文化的標(biāo)幟 。 本文是第一次向中國(guó)科學(xué)界介紹焦氏 “ 洛書矩陣 刀 學(xué)說(shuō) , 敬請(qǐng)指教和批評(píng) 。 簡(jiǎn)介洛書及

3、其 問(wèn)題 中華民族原始文化發(fā)源于黃河鄰近洛水地區(qū) , 史 稱 “ 河洛文化 刀。 河洛文化的基本內(nèi)涵是 自然數(shù) , 它 的 具體表征就是 河圖和洛書 (圖一 ) 。 河圖是由一 到十的十個(gè)自然數(shù)的環(huán)形排列 圖 , 代表中國(guó)先民對(duì)數(shù) 的性質(zhì)和運(yùn)算的初步認(rèn)識(shí) , 它示出加法和減法的運(yùn)算 , 奇數(shù)和偶數(shù)的區(qū)別 , 及數(shù)量的十進(jìn)位擴(kuò)展 , 這 代表當(dāng)時(shí) 文化的成就 。 到了洛書時(shí)代 , 中國(guó)先民對(duì)數(shù)的結(jié)構(gòu)和 變化達(dá)到更高的認(rèn)識(shí)和成就o ( (洛書 只用九個(gè)自然數(shù)排 列成一個(gè)正方形 , 構(gòu)成每行 、 每列及兩對(duì)角線上三個(gè)數(shù) 的和都是十五 。 洛書是河圖 8勺精簡(jiǎn)和升華 , 由河 圖到i 三階幻方為基礎(chǔ)

4、, 幻 方的發(fā)展 越來(lái)階數(shù)越高 , 幻方的結(jié)構(gòu)亦越來(lái)越幻 。 現(xiàn)代 數(shù)學(xué)文獻(xiàn)內(nèi) , 仍在研究幻方形成的理論和方法 ,的。 黝圃 洛書九宮 :洛書幻 方 一一一 一 十十十十 o自o 司卜o州o州o - o o o 一一一一一一 ! ! ! : 申 ! 奮奮叫卜 刁卜刁 月卜j j j;刊刊 洛書存在的基本問(wèn)題是如何與現(xiàn)代數(shù)學(xué)掛鉤 。 中外傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家雖然一致接受洛書的數(shù)學(xué)模式 , 但 卻從未奠定 洛書 的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則和應(yīng)用 。 到了現(xiàn) 代 , 中外數(shù)學(xué)家更一致承認(rèn)洛書為幻方 , 默認(rèn)它的存 在缺少數(shù)學(xué)的推理基礎(chǔ) 。 如果我們不能用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理 論解釋洛書 的數(shù) 學(xué)內(nèi)涵 , 并建立它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域

5、中的地位 , 則洛書將永被視作大眾或游戲數(shù)學(xué) , 拘束 在幻方的框框內(nèi) , 步入中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的命運(yùn) , 成為 數(shù)學(xué)史中的陳跡 , 不能 與現(xiàn)代數(shù)學(xué)共生存而進(jìn)步了 。 有關(guān)洛書基本命題 洛書定義之研究 研究 o 洛書形成之研 究 中國(guó)先民如何創(chuàng)造 洛書 , 因無(wú)歷史記載 , 自屬一 奧秘問(wèn)題 。 作者 本諸數(shù)學(xué)問(wèn)題必可用數(shù)學(xué)方法解決的 原則 , 探討洛書 的形成乃數(shù)學(xué)操作的必然結(jié)果 。 自 然界事物的產(chǎn)生是由概率決定的 , 作者設(shè)想洛書 的 形成是由九個(gè)基本自然數(shù)的掃咧和組合的概率 所 致 。 作者創(chuàng)造了洛書形成的概率表和概率曲線圖 , 示出 洛書 本體的形成乃是最大概率的結(jié)果 。 洛 書目

6、的之研究 洛書作為一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)體或模型 , 必有其物理意 義及應(yīng)用 。 作者定義洛書為矩陣 , 它就成為建立線性 系統(tǒng)的一個(gè)基礎(chǔ) , 但這超出本文所能討論的范圍 。 作 者現(xiàn)只提出一個(gè)基本問(wèn)題 : 中國(guó)先民創(chuàng)作洛書的原 始目的是什么?換句話說(shuō) : 洛書的幾何意義是什么? 作者的回答是 : 洛書就是應(yīng)用 由一到九的自然數(shù) , 作 為對(duì)宇宙空間幾何結(jié)構(gòu)由 。到 3 6 。 度的數(shù)學(xué)解釋 。 當(dāng) 將洛書作為三階矩陣時(shí) , 其中三個(gè)三先數(shù)就表三個(gè) 三維向量 , 洛書就張成一個(gè)向量空間 , 而洛書的行 列式值就是所成幾何形體的體積 。 作者根據(jù)這些矩 陣 的基本定理 , 奠定了洛書矩陣學(xué)說(shuō)的基本意義 :

7、三維 向量空間由o到360度的幾何結(jié)構(gòu)變化 , 就是 洛書 由自然洛書到洛書本體的結(jié)構(gòu)變化 。 這就是洛書 的內(nèi)涵 , 這就是洛書的奧秘 。 洛書對(duì)人類文化的 最大貢獻(xiàn) , 就是它只用九個(gè)基本 自然數(shù)的代數(shù)運(yùn)算方 法 , 示出空間幾何結(jié)構(gòu)由o到36 0度的變化 。 直到今 日 , 現(xiàn)代數(shù)學(xué)尚未能達(dá)到此一成就! 洛 書轉(zhuǎn)變機(jī)構(gòu)流程之研 究 作者將洛書的各種可能排列作為一個(gè)數(shù)學(xué)中的 集 ,再 根據(jù)群論中的對(duì)稱操作 , 定出應(yīng)用 洛書的不同 形式轉(zhuǎn)變 , 示出空間幾何結(jié)構(gòu)由0到3 6 0 度的轉(zhuǎn)變機(jī) 構(gòu)流程 。 吾人由這種轉(zhuǎn)變機(jī)構(gòu)流程 , 可以領(lǐng)會(huì)出 洛 書內(nèi)涵中的數(shù)學(xué) 、 科學(xué)與哲學(xué)意義 。 焦氏

8、 “ 洛書 矩陣 ” 學(xué)說(shuō) 焦 氏 “ 洛 書定義 刀: 洛書的廣意定義是 :“ 洛書是 用由一到九的自然數(shù)作元所構(gòu)成的三階矩陣 刀。 只需將 洛書 的幻方式與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的矩陣式等同掛鉤 , 就可 奠定洛書為人類文化史中第一個(gè)矩陣 。 疆 、 粼 旦 上旦旦1l si6 ) 焦氏 “ 洛書分類 ”: 按照洛書內(nèi)構(gòu)成元的排列組 合特質(zhì) , 洛書可區(qū)分為四類: 1 . 洛書 本體 : 洛書 中每行 、 每列及兩對(duì)角線的三元 和都必需相等 。 按照矩陣及其轉(zhuǎn)置式的垂直和水平對(duì)稱 , 洛 書 本體共有 8式(圖四) 。 8 8 8 8 83 3 34 4 4 工工工巨巨旦旦 6 6 6 6 6 7 7

9、7 藝藝 1 1畫1亙l 旦互工l !創(chuàng)21旦 . 1 國(guó)i區(qū)1顫亞l 生l互旦川旦互l生 l旦 生蘭士 生!l全 上 2蘭 一n山一寸 .一 一o一 一一口 u叮 .一 q曰l一ol曰o一 刁土 一一一 一l 一 曰o 一 ou工 一 連 人 一 no一 二一一只只一 ou 一 莊 上 一 一 連 一 一no一 只 一 一一 r 一 o口一j 住l一o盯o一 ,止 一1一 曰n 一ol 一0 自一片了一 八o一 一一 八o一 竹j 9 二 圖酉洛 書本體八式 么 略書 妙 : 洛書 ” 中每行及每列的三元和都必需 相等 。澎書, 變稱由 洛書 本體的向五分別移置為其 他八數(shù)而得 , 共有 6

10、4式( 圖石) _ 薛1隆11戳醚 戳驥ji戳隆 圖五 、 洛書變體(共 6 4 式) 3 . 自然 洛書 : 系由九個(gè)自然數(shù)按照自然順序排列組 成 ,為洛 書 的基本形式 ,共有 7 2式 。 亙履恒習(xí)國(guó)二 到到引1 魚 到蘭l l竺竺l旦漁二!竺 4 . 雜休洛書:此為下余不規(guī)則排列及幻性最低的洛書 。 第一表 . 洛 書本體中八個(gè)三元數(shù)的 形成 二二兀 和 三 元 數(shù) 組合 數(shù) 三元 三 元 數(shù) 組合 數(shù) 。87 萬(wàn) 9 8 61 6 1 2 1 82 4 加4 2 4 24 8 54 4 214 陽(yáng)了了 目ot 了 一丫 58 8 ou8 8tj 664 卜舀 53 3 4 co卜舟

11、了0 6 66 曰0 64 八0 6 甘n 4 0口 2 4 3 4 2 2 9 7 濟(jì)9 79 7 9 78 6哪腸腸泌 一0 42 5 3 ,1311 3 一 12 8 8 886 8 種了片才 6669 99 8 99 898 9 匕 和 一2 3 2 42 22 12 01 9 6 2 8 4 6 ,j司.j z 10 11 3 4 13523 4 13 61腸235 13 7 14 6 2 3 6 6 阿 才 8 9 8 丫 6 月j , 土一1 加4 2 1只8 1 47156 2 4 63 45 14 8157238 2 3 2 4邪2 62 7韶腸2 9 3 73 9 ,.二j

12、j,l , 1-joj11n 乙.j 8 2 44 2 4 72 563 4 6 14916 81 6723 9 2482573473石6 為 7+8 + 9二24 , 平均值自為 (6 + 2刁 。) 令2=15 , 再者 , 每個(gè)三元數(shù)都有六個(gè)不同組合 , 例如 12 3 , 13 2 , 21 3 , 2 3 1 , 31 2 , 3 2 1是根據(jù)這種排列組合原理 , 作者創(chuàng)立了 洛書本體的形成概率表(第一表) , 示出洛書本體 的生成 , 乃是最大概率的必然結(jié)果 c 讀者用三元和為 橫軸 , 用組 合數(shù)為縱軸 , 即可譜出洛書本體生成的概 率曲線圖 。 焦氏 “ 洛書目的 ” 學(xué)說(shuō) :

13、 為了解釋洛書的目的或 其物理與幾何意義 , 作者建立了 “ 洛書矩陣 刀學(xué)說(shuō)。 中國(guó) 先民為何要?jiǎng)?chuàng)造洛書? 作者的回答是 : 洛書就是應(yīng) 用 由一到九的自然數(shù)的組合變化 , 作為對(duì)宇宙空間結(jié) 構(gòu)由 o到3 60度 的數(shù)學(xué)解釋 。 根據(jù)矩陣代數(shù)的基本性 質(zhì) , 可以歸納 出 洛書矩 陣的三個(gè)基本定理 : ( 一) 洛 書矩陣的行列式值等于矩陣中三個(gè)組成向量所構(gòu)成 的幾何形體的體積 。 (二)自然7 各書的行列式值為0 (三 )i 各書本體的行列式值為36 0 。 作者根據(jù)這三個(gè) 定理 , 奠定了t i各書矩陣 刀學(xué)說(shuō)的中心意義: 三維向量空 間由。到 3 60 度的幾何結(jié)構(gòu) 變化 , 就是 洛

14、書矩陣由 自然洛書到 洛書 本體的組合結(jié)構(gòu)變化 。 這就是 i 各 書的奧秘 ,這就是 洛書的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 。 焦氏 “ 洛書轉(zhuǎn) 變機(jī)構(gòu)流程 ”: 應(yīng)用群論中的對(duì)稱操 作原理 , 作者定出洛書 矩陣組合轉(zhuǎn)變的機(jī)構(gòu)流程 , 示 出其行列式值仁d由。到36 0的轉(zhuǎn)變 。 對(duì)稱轉(zhuǎn)變方法 多端 , 現(xiàn)只示出兩個(gè)范例 : 1 . 奇偶交換 及對(duì)置交換流程 : 1691 6 8 2 4 92 58 2 6735 7 4 3 8456 這八個(gè)三元和為巧的三元數(shù) 4 8 構(gòu)成 洛書 本體 國(guó) 夏 匡 閏習(xí)匡宜匡 匡i互 1互)i 生旦 到一囚到旦 一四到到一 到到引 l刀旦土 旦i 二l旦l旦衛(wèi) 創(chuàng)衛(wèi)1旦坦絲1

15、1 . 三元數(shù)的總數(shù) = z x (1 + 1 + 2 + 3 + 4+6 + 7 + 7 + 8) + 8 = 84 2 . 組合數(shù)的總數(shù) 二 9又8 x 7 = z x (6 + 6 、 4 12+18+ 2 4 + 30+4 2 + 48) + 4 8 = 504 3 . 洛書 本休形成的概率 = 45 / 加4 = 8/84 = 9 . 52終(本系統(tǒng)中的最大概率 ) 1 自然洛書 d = 0 2 1毛-一) 2 d = !9! 3(一)4 d 二 135 4 c( 一)7 d 二 131! 國(guó) 習(xí)互 困互匡國(guó)i巨i靡亞! 蘭互!二一今糾互二 一 引到 寫一巨!到到 衛(wèi)上紅蘭】 竺口二

16、 蘭 , 旦巴 旦 1型上匹1 567 8禱 一)9 1喊w e)92咬e e)4 d = 1 4 0 d = !12 ( ) d = 12 4 0 2 . 轉(zhuǎn)動(dòng) 及對(duì)置交換流程 : 6玲一今8 d 二 !36 0! 焦 氏 “ 洛書形成 刀學(xué)說(shuō): 洛書的形成乃是九個(gè)自 然數(shù)排列組合的必然結(jié)果 。 作者設(shè)計(jì)它的形成方法如 下 : 將九個(gè)數(shù)分別寫在九個(gè)相同的籌碼上 , 置入袋內(nèi) , 每次抽出一數(shù) , 不再放回 ,連抽三次, 即組成第一個(gè)三 元數(shù) 。 如是重復(fù) , 抽得第二及第三個(gè)三元數(shù) ,在所有三 元數(shù)中 , 三元和的最低值必為 1十2+3=6 , 最高值必 匡匡區(qū) 國(guó) 國(guó)互國(guó) 畫 夏 i區(qū)匡1

17、 生互旦一工四引一匡 _到蘭-一 蘭互 引 衛(wèi) 止 創(chuàng)衛(wèi)1 創(chuàng)創(chuàng)旦 塑2竺 旦衛(wèi)旦 1 自然洛書 刀 = 01 2 順時(shí)針向轉(zhuǎn)4 5 “ d 引4 0! 1喂一分9 刀 = 11加 4 3咬一今7 d = 3 801 (; 一 f轉(zhuǎn) 3 6 頁(yè)) 小微粒的途徑 。 所用的排布方法是這樣的 : 清洗硅 , 然 后用細(xì)電子束在硅上刻劃出一個(gè)圖樣 , 這改變了硅的 表面 ;隨后在硅表面上蒸上一層金 , 這些金就凝聚到了 電子束刻劃過(guò)的地方 。 目前 , 上述圖形中相鄰線條可達(dá)的最小間距是2 0 毫微米 , 但從理論上說(shuō)可以達(dá)到 5毫微米 。 如果相鄰 線 條間距 達(dá)到1 0毫微米 , 在 1平方厘米

18、的硅片上就能 淀積1 0萬(wàn)億個(gè)微粒 。 千葉為了說(shuō)明這一技術(shù)所具有的潛力 , 經(jīng)計(jì)算后 得到了下述結(jié)果 :如 果一個(gè)微粒代表 1比特的信息 ,則 在一枚舊便士大小的集成電路塊上足以存貯日本國(guó)家 圖書館所有 4百萬(wàn)冊(cè)書籍的內(nèi)容 。 信息存貯只是這一技術(shù)的用途之一 。 由于富士膠 卷公 司為此項(xiàng)研究提供了貸款 , 這一技術(shù)很可能首先 被用于生產(chǎn)新型膠卷 , 它將具有比感光乳劑膠片高得 多的分辨率 。 艾雷托計(jì)劃至今所設(shè)項(xiàng)目取得的進(jìn) 展使 r 而洛書亦被視作大眾或游戲數(shù) 學(xué) ,不 能建立它應(yīng)有地位 。 作者根據(jù)洛書 的結(jié)構(gòu)和 數(shù)學(xué)推理 , 主張將 “ 洛書幻方 刀的框框除掉, 建立 “ 洛書 矩陣 ” 學(xué)說(shuō) , 并奠定了洛書的數(shù)學(xué)定義 、 分類 、 形成 、 目的和轉(zhuǎn)變五項(xiàng)基本研究成果 。 “ 洛書矩陣 ” 學(xué)說(shuō)的中 心意義是 : 三維向量空間由o到36 0度的幾何結(jié)構(gòu)變 化 , 就是 “ 洛書矩陣 刀 由自然洛書到 洛書 本體的組 合結(jié)構(gòu)變化 。 “ 洛書矩陣 沙學(xué)說(shuō)的建立, 使洛書成為 自然界中線性系統(tǒng)的建立基礎(chǔ) , 發(fā)揮出聯(lián)系原因與結(jié) 果 、 作用 與反應(yīng) , 及輸入與輸出的基本功能 。 參考文獻(xiàn) 1李約瑟 :