1、,7.1 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 7.2 減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng) 7.3 差分形式的阻滯增長模型 7.4 按年齡分組的種群增長,第七章 差分方程模型,7.1 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型,問 題,供大于求,現(xiàn) 象,商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定,當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定,描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律,數(shù)量與價(jià)格在振蕩,蛛 網(wǎng) 模 型,xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格,消費(fèi)者的需求關(guān)系,生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系,減函數(shù),增函數(shù),f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn),一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,設(shè)x1偏離x0,x1,P0

2、是穩(wěn)定平衡點(diǎn),P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn),曲線斜率,蛛 網(wǎng) 模 型,在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線,P0穩(wěn)定,P0不穩(wěn)定,方 程 模 型,方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致, 商品數(shù)量減少1單位, 價(jià)格上漲幅度, 價(jià)格上漲1單位, (下時(shí)段)供應(yīng)的增量,考察 , 的含義, 消費(fèi)者對需求的敏感程度, 生產(chǎn)者對價(jià)格的敏感程度,小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定, 小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定,結(jié)果解釋,xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格,結(jié)果解釋,經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法,1. 使 盡量小，如 =0,以行政手段控制價(jià)格不變,2. 使 盡量小，如 =0,靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變,結(jié)果解釋,模型的推廣,生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格

3、決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。,生產(chǎn)者管理水平提高,設(shè)供應(yīng)函數(shù)為,需求函數(shù)不變,二階線性常系數(shù)差分方程,x0為平衡點(diǎn),研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件,方程通解,(c1, c2由初始條件確定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:,平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件,比原來的條件 放寬了,模型的推廣,7.2 減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng),背景,多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持,通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo),分析,體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起,飲食（吸收熱量）引起體重增加,代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少,體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m

4、2). 18.525 超重; BMI30 肥胖.,模型假設(shè),1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡增加體重1千克；,2）代謝引起的體重減少正比于體重 每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當(dāng)于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；,4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。,某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。,第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；,第二階段：每周吸收熱

5、量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo),2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。,1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。,減肥計(jì)劃,3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。,確定某甲的代謝消耗系數(shù),即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k) 第k周(末)體重,c(k) 第k周吸收熱量, 代謝消耗系數(shù)(因人而異),1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃,每周吸收20000千卡 w=100千克不變,第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡,第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體重90千克,吸收熱量為,1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃,第二階段：每周c(k)

6、保持Cm, w(k)減至75千克,1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃,基本模型,第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克,第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克。,運(yùn)動(dòng) t=24 (每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí)), 14周即可。,2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃,t每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí)),3）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案,每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變,不運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前),7.3 差分形式的阻滯增長模型,連續(xù)形式的阻滯增長模型 (Logistic模型),t, xN, x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與r大小無關(guān)),離散形式,x(t)

7、 某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量(人口),yk 某種群第k代的數(shù)量(人口),若yk=N, 則yk+1,yk+2,=N,討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？,y*=N 是平衡點(diǎn),離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,一階(非線性)差分方程,(1)的平衡點(diǎn)y*=N,討論 x* 的穩(wěn)定性,變量代換,(1)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程 x=f(x)的根,穩(wěn)定性判斷,(1)的近似線性方程,x*也是(2)的平衡點(diǎn),x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn),x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn),補(bǔ)充知識(shí),的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,平衡點(diǎn),穩(wěn)定性,另一平衡點(diǎn)為 x=0,不穩(wěn)定,的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,初值 x0=0.2,數(shù)值計(jì)算結(jié)果,b

8、3, x,b=3.3, x兩個(gè)極限點(diǎn),b=3.45, x4個(gè)極限點(diǎn),b=3.55, x8個(gè)極限點(diǎn),倍周期收斂x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論,單周期不收斂,2倍周期收斂,(*)的平衡點(diǎn),x*不穩(wěn)定，研究x1*, x2*的穩(wěn)定性,倍周期收斂,的穩(wěn)定性,倍周期收斂的進(jìn)一步討論,出現(xiàn)4個(gè)收斂子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3,平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性需研究,時(shí)有4個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn),2n倍周期收斂, n=1,2,bn 2n倍周期收斂的上界,b0=3, b1=3.449, b2=3.544, ,n, bn3.57,b3.57, 不存在任何收斂子序列,的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象,b,7.4 按年齡分組的種

9、群增長,不同年齡組的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律,假設(shè)與建模,種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記i=1,2, , n,時(shí)間離散為時(shí)段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,以雌性個(gè)體數(shù)量為對象,第i 年齡組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的繁殖率為bi,第i 年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- di,假設(shè) 與 建模,xi(k)時(shí)段k第i 年齡組的種群數(shù)量,按年齡組的分布向量,預(yù)測任意時(shí)段種群按年齡組的分布,Leslie矩陣(L矩陣),(設(shè)至少1個(gè)bi0),穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí),L矩陣存在正單特征根1，,若L矩陣存在bi, bi+10, 則,P的第1列是x*,特征向量,解釋,L對角化,穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布,