1、第八節(jié)常用模擬低通濾波器的設計,1,PPT學習交流,一、為何要設計模擬低通濾波器,首先將要設計的數(shù)字濾波器的指標，轉變成模擬低通原型濾波器的指標后，設計“模擬低通原型”濾波器。 模擬濾波器的設計(逼近)不屬于本課程的范圍，但由于沒學過,在此介紹常用的二種模擬低通濾波器的設計。 1、Butterworth巴特渥斯濾波器 2、Chebyshev切比雪夫濾波器 它們都有嚴格的設計公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設計，它們?yōu)V波器各有特點。,2,PPT學習交流,典型模擬濾波器的特點,1、Butterworth巴特渥斯濾波器 它具有單調下降的幅頻特性；即最平幅度。 2、Chebyshev切比雪夫濾波器 在通帶或阻

2、帶等波紋，可提高選擇性。 3.Bessel貝塞爾濾波器 在通帶內有較好的線性相位特性。 4.Ellipse橢圓濾波器 其選擇性相對前三種是最好的。,3,PPT學習交流,二、模擬濾波器設計思想,根據(jù)模擬濾波器設計要求，求出相應的模擬系統(tǒng)函數(shù). 使其逼近某個理想濾波器的特性。(濾波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群時延特性)，在此我們采用幅度平方函數(shù)特性來設計。,4,PPT學習交流,三、根據(jù)幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)1、求濾波器的幅度平方函數(shù),設 計 模 擬 濾 波 器 經(jīng) 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 數(shù) 其中:Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 假 設p1, z1為Ha(s) 的一

3、個零點和一個極點，則-p1, -z1必為Ha(-s)的一個零點和極點，Ha(s)、Ha(-s)的零極點成象限對稱分布。所以必然有如下形式：,-z1 -p1,z1 p1,5,PPT學習交流,2、根據(jù)幅度平方函數(shù)設計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的步驟,我 們 知 道， 實 際 濾 波 器 都 是 穩(wěn) 定 的， 因 此 其 極 點 一 定 位 于S 平 面 左 半 平 面， 這 樣 可 根 據(jù) 幅 度 平 方 函 數(shù) 通 過 如 下 步 驟 分 配 零、 極 點 來 設 計 出 模 擬 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 。 (1)由 來 確 定 象 限 對 稱的 S 平 面 函 數(shù)。 (2)將 因 式 分 解

4、， 得 到 各 零 點 和 極 點。 (3) 按 照 與Ha(s) 的 低 頻 特 性 或 高 頻 特 性 的 對 比 就 可 確 定 出 增 益 常 數(shù)。,6,PPT學習交流,(1)由 來 確 定 象 限 對 稱的 S 平 面 函 數(shù)。,將 代入 中即得到s平面函數(shù)。,7,PPT學習交流,(2)將 因 式 分 解， 得 到 各 零 點 和 極 點。,將左半平面的極點歸于Ha(s)。 如無特殊要求，可取 的對稱零點的任一半作為 Ha(s) 的零點。 如要求是最小相位延時濾波器，則應取左半平面零點作為Ha(s) 的零點。且 軸上的零點或極點都是偶次的，其中一半屬于Ha(s) 。,8,PPT學習交

5、流,(3) 按 照 與Ha(s) 的 低 頻 特 性 或 高 頻 特 性 , 確 定 出 增 益 常 數(shù)。,由 的條件，代入可求得增益常數(shù)。,9,PPT學習交流,例子,根據(jù)以下幅度平方函數(shù) 確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).,10,PPT學習交流,四、Butterworth巴特渥斯低通濾波器1、幅度平方函數(shù),Butterworth 低 通 濾 波 器 具 有 通 帶 最 平 幅 度逼近 特 性， 是 一 全 極 點 型 濾 波 器，且極點均勻分布上c的圓上，并且與虛軸對稱。 其最主要特點：在通帶內，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調下降。其幅 度 平 方 函 數(shù)為 其 中N 為 整 數(shù)， 表 示 濾 波

6、器 的 階 次，c 定 義 為 截 止 頻 率， 為 振 幅 響 應 衰 減 到 - 3dB 處 的 頻 率。,11,PPT學習交流,2、Butterworth濾波器的極點分布,由 可知Butterworth的零點全部在S=處，它是全極點型濾波器，且分布在半徑為c 的圓上,呈象限對稱分布。 為了得到穩(wěn)定的濾波器，s左半平面的極點必須分配給Ha(s)，s右半平面的極點分配給Ha(-s)。 取其分布在左平面的極點, 設計出巴特沃斯低通濾波器.,12,PPT學習交流,3、Butterworth的幅度響應及極點分布,其中左半平面構成Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 極點不會落在S平面上的虛軸上,

7、13,PPT學習交流,4、Butterworth濾波器階數(shù)N與幅度響應的關系,當N增大時，濾波器的特性曲線變得陡峭，則更接近理想矩形幅度特性。,14,PPT學習交流,5、3dB帶寬,15,PPT學習交流,6、Butterworth濾波器的特點（總結）,(1)當=0時， 即=0處無衰減。 (2)當=c時，,在止帶內的逼近是單調變化的，不管N為多少，所有幅頻特性曲線都經(jīng)過-3dB點，或說衰減3dB,這就是3dB不變性。,或,通帶最大衰減,16,PPT學習交流,(3) 在c的通帶內：,前(2N-1)階導數(shù)為零，因而Butterworth又稱最平幅度特性濾波器。 隨著由0變到c ，|Ha(j)|2單調

8、減小，N越大，減小越慢，也就是通帶內特性越平坦。,有最大平坦的幅度特性，即N階Butterworth低通濾波器在=0處：,17,PPT學習交流,(4) 在c，即在過渡帶及阻帶中，|Ha(j)|2 也隨增加而單調減小，但是/c 1，故比通帶內衰減的速度要快得多，N越大，衰減速度越大。 當=s ，即頻率為阻帶截止頻率時，衰減為：,(5)濾波器的特性完全由其階數(shù)N決定。N越大，則通帶內在更大范圍內更接近于1，在止帶內迅速地接近于零，因而幅頻特性更接近于理想的矩形頻率特性。,2為阻帶最小衰減。,18,PPT學習交流,7、歸一化的Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù),在一般設計中，都先把c 設為1ra

9、d/s，這樣使頻率得到歸一化。歸一化的Butterworth濾波器的極點分布以及相應系數(shù)都有現(xiàn)成表可查。 即若令,19,PPT學習交流,8、Butterworth濾波器設計步驟,(1) 根 據(jù) 設 計 規(guī) 定， 確 定c 和N。 (2) 由 確 定Ha(s)Ha(-s) 的 極 點。 (3) Sk 的 前N個值(k=1,2,.,N) ， 即 Re(Sk)0部 分 的極點，構成Ha(s). (4)常 數(shù)K0 可 由A() 和Ha(s) 的 低 頻 或 高 頻 特 性 對 比 確 定。,20,PPT學習交流,9、例子,導出Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設c=1rad/s，N =3。

10、解：方法一：根據(jù)幅度平方函數(shù)：,21,PPT學習交流,方法二,方法二：由于c=1rad/s,查表得,22,PPT學習交流,10、Butterworth濾波器的階數(shù)N 設計公式,23,PPT學習交流,(1)已知c 、 s和As求Butterworth DF階數(shù)N,24,PPT學習交流,（2）已知c 、 s和=p的衰減Ap 求Butterworth DF階數(shù)N,25,PPT學習交流,（3）已知p 、 s和=p的衰減Ap 和As 求Butterworth DF階數(shù)N,26,PPT學習交流,例子1,試設計一個模擬低通Butterworth濾波器,取N=3階，根據(jù)N=3，查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)：,27,P

11、PT學習交流,例子2,設低通DF的3dB帶寬頻率wc=0.2, 止帶頻率ws=0.4,在 w=ws處的止帶衰減20lg|H(ejws)|=-15dB,試用脈沖響應不變法（沖激不變法）設計一個Butterworth低通DF。(設采樣頻率fs=20kHz） 解：設計分為4步。 （1）將數(shù)字濾波器的設計指標轉變?yōu)槟M濾波器的設計指標。 因為：fs=20kHz,則采樣間隔為T=1/fs=1/20kHz,28,PPT學習交流,對于沖激不變法，頻率變換是線性的。,29,PPT學習交流,(2)設計Ha(s) 將上述設計指標代入 求出N階數(shù),30,PPT學習交流,x(n),0.534,-0.533,1.241

12、,1.599,y(n),0.534,1.241,-0.533,1.001,0.306,y(n),x(n),并聯(lián)型,級聯(lián)型,31,PPT學習交流,例子3,試用雙線性變換法設計Butterworth低通DF。 已知低通DF的3dB帶寬頻率，止帶起始頻率，在處的止帶衰減 解：（1）將DF的設計指標轉換為模擬濾波器的設計指標。 對雙線性變換法 根據(jù)3dB帶寬頻率,32,PPT學習交流,1.試設計一個模擬低通Butterworth（BW）型濾波器，要求截止頻率fp=5kHz,通帶最大衰減Ap=3dB,阻帶起始頻率fs=10kHz,阻帶衰減As=30dB。,作業(yè),33,PPT學習交流,五、切貝雪夫低通濾波

13、器Chebyshev1、引入原因,Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標，則在通帶內肯定會有富裕量，也就是會超過指標的要求，因而并不經(jīng)濟。 更有效的方法是將指標的精度要求均勻地分布在通帶內，或均勻分布在阻帶內，或同時均勻在通帶與阻帶內，這時就可設計出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。,34,PPT學習交流,2、Chebyshev濾波器的種類,在一個頻帶中，通帶或阻帶具有這種等紋特性可分為： （1）Chebyshev I型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內是單調的； （2）Chebyshev

14、 II型：在通帶中是單調的，在阻帶內是等波紋的； 由應用的要求，決定采用哪種型式的Chebyshev濾波器,35,PPT學習交流,（1）Chebyshev I型幅頻特性和零極點圖（N=3）,N=3Chebyshev I型 ，下面我們僅講此類型,36,PPT學習交流,（2）Chebyshev II型幅頻特性和零極點圖（N=3）,N=3Chebyshev II型，其設計思想同Chebyshev I型，在此課程中我們就不作介紹。,37,PPT學習交流,3、Chebyshev I型幅度平方函數(shù),Chebyshev I型模擬濾波器的振幅平方函數(shù)為：,38,PPT學習交流,4、CN(x):N階Chebys

15、hev多項式(1)函數(shù),Chebyshev 多項式：,39,PPT學習交流,（2）Chebyshev多項式圖形,0,1,-1,1,-1,x,C4(x),C5(x),CN(x),40,PPT學習交流,5、通帶等波紋振蕩,41,PPT學習交流,6、確定通帶內波紋值,42,PPT學習交流,7、確定階數(shù)N（1）N階特性,階數(shù)N等于通帶內最大和最小值個數(shù)的總和。 可由幅頻特性中看出N階數(shù)。且當： N=奇數(shù)，則=0處有一最大值， N=偶數(shù)，則=0處有一最小值。,N=3和N=5,N=4和N=6,43,PPT學習交流,（2）N階公式,由止帶起始點s處的關系求出Chebyshev的階數(shù)。,44,PPT學習交流,

16、8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)(1)求極點-1,45,PPT學習交流,8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)(1)求極點-2,46,PPT學習交流,8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)(1)求極點-3,ChebyshevI型濾波器的極點，是一組分布在以bc為長軸，以ac處為短軸的橢園上的點。,47,PPT學習交流,9、Chebyshev I型濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù),若N=偶數(shù)時，當s=0時，即=0。,式中，k為歸一化系數(shù)。 若N=奇數(shù)時，當s=0時，即=0。,48,PPT學習交流,則歸一化后的Chebyshev濾波器系統(tǒng)函數(shù)為,49,PPT學習交流,10、Chebyshev DF設計步驟, 首 先 要

17、 先 確 定，N 和c 。 計 算a，b。 確 定 Ha(s)Ha(-s)的 極 點。 取Re(Si)0 的 極 點， 得 到Ha(s)。 k 可 由 A() 和Ha(s) 低 頻 或 高 頻 特 性 對 比 確 定。,50,PPT學習交流,例1,設N=4，確定Chebyshev I型，極點位置。 解：N=4，則有8個極點，我們要求在S左半平面上為穩(wěn)定系統(tǒng)的四個極點。,j,51,PPT學習交流,看出：對于N=4，只須求出一點，即可求出其它共軛。 畫極點：過小園交點畫垂直線；過大園交點畫水平線。,由上可知，大半平面上：,第1極點：,第2極點：,第3極點：,第4極點：,52,PPT學習交流,(2)等間隔角 均分，各點是虛軸對稱的，且一定不落在虛軸上，N為奇數(shù)時，有落在實軸上的點；N為偶數(shù)時，實軸上也沒有。 (3)幅度平方函數(shù)的極點(在橢