1、3.1導數(shù)的概念及運算,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎知識自主學習,1.導數(shù)與導函數(shù)的概念,知識梳理,(1)一般地，函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是 我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作 ，即f(x0) .,(2)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù).記作f(x)或y.,函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點p(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即k .,2.導數(shù)的幾何意義,3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,f(x0),0,x

2、1,cos x,sin x,ex,axln a,若f(x)，g(x)存在，則有 (1)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(x)；,4.導數(shù)的運算法則,5.復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yx ，即y對x的導數(shù)等于 的導數(shù)與 的導數(shù)的乘積.,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),yuux,y對u,u對x,1.奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù).,3.af(x)bg(x)af(x)bg(x). 4.函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大

3、小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)f(x0)是函數(shù)yf(x)在xx0附近的平均變化率.() (2)f(x0)與f(x0)表示的意義相同.() (3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.() (4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.() (5)函數(shù)f(x)sin(x)的導數(shù)是f(x)cos x.(),1.(教材改編)若f(x)xex，則f(1)等于 a.0 b.e c.2e d.e2,考點自測,答案,解析,f(x)exxex，f(1)2e.,2.如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導

4、函數(shù)的圖象，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是,答案,解析,由yf(x)的圖象知yf(x)在(0，)上單調(diào)遞減， 說明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0,)上也單調(diào)遞減,故可排除a，c. 又由圖象知yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線的斜率相同，故可排除b.故選d.,3.某質(zhì)點的位移函數(shù)是s(t)2t3 gt2(g10 m/s2)，則當t2 s時，它的加速度是 a.14 m/s2 b.4 m/s2 c.10 m/s2 d.4 m/s2,答案,解析,由v(t)s(t)6t2gt， a(t)v(t)12tg， 當t2時，a(2)v(2)12

5、21014.,f(x)cos xsin x.,答案,解析,5.曲線y5ex3在點(0，2)處的切線方程是 .,答案,解析,5xy20,因為y|x05e05， 所以曲線在點(0，2)處的切線方程為y(2)5(x0)， 即5xy20.,題型分類深度剖析,題型一導數(shù)的計算,例1求下列函數(shù)的導數(shù). (1)yx2sin x；,解答,y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.,解答,解答,解答,(5)yln(2x5).,解答,令u2x5，則yln u，,思維升華,(1)求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到

6、函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量. (2)復合函數(shù)求導時，先確定復合關系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元.,跟蹤訓練1(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，則x0等于 a.e2 b.1c.ln 2 d.e,答案,解析,f(x)2 016ln xx 2 017ln x，,故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017， 則ln x00，解得x01.,(2)若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于 a.1 b.2c.2 d.0,答案,解析,f(x)4ax32bx， f(x)為奇函數(shù)且f(1)2， f(1

7、)2.,題型二導數(shù)的幾何意義 命題點1求切線方程,例2(1)(2016全國丙卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)在點(1，3)處的切線方程是 .,答案,解析,2xy10,設x0，則x0，f(x)ln x3x，,又f(x)為偶函數(shù)，f(x)ln x3x，f(x) 3，f(1)2，,切線方程為y2x1，即2xy10.,(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為 a.xy10 b.xy10 c.xy10 d.xy10,答案,解析,點(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設切點為(x0，y0).,解得x

8、01，y00. 切點為(1,0)，f(1)1ln 11. 直線l的方程為yx1，即xy10.故選b.,命題點2求參數(shù)的值 例3(1)(2016泉州模擬)函數(shù)yex的切線方程為ymx，則m .,答案,解析,e,設切點坐標為p(x0，y0)，由yex，,得,從而切線方程為,又切線過定點(0,0)，從而,解得x01，則me.,幾何畫板展示,(2)已知f(x)ln x，g(x) x2mx (m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m等于 a.1 b.3 c.4 d.2,答案,解析,f(x) ，直線l的斜率kf(1)1.,又f(1)0，切線l的方程為y

9、x1. g(x)xm， 設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，,于是解得m2.故選d.,幾何畫板展示,命題點3導數(shù)與函數(shù)圖象的關系 例4如圖，點a(2,1)，b(3,0)，e(x,0)(x0)，過點e作ob的垂線l.記aob在直線l左側(cè)部分的面積為s，則函數(shù)sf(x)的圖象為下圖中的,答案,解析,函數(shù)的定義域為0，)，當x0,2時， 在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s大于0且越來越大， 即斜率f(x)在0,2內(nèi)大于0且越來越大， 因此，函數(shù)sf(x)的圖象是上升的且圖象是下凸的； 當x(2,3)時，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s大于0且越來越小， 即斜率f(x)在(2,3)內(nèi)大于0且

10、越來越小， 因此，函數(shù)sf(x)的圖象是上升的且圖象是上凸的； 當x3，)時，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量s為0， 即斜率f(x)在3，)內(nèi)為常數(shù)0， 此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線.,思維升華,導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面： (1)已知切點a(x0，f(x0)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：kf(x0). (2)已知斜率k，求切點a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k. (3)若求過點p(x0，y0)的切線方程，可設切點為(x1，y1)， 由 求解即可. (4)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以

11、判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.,答案,解析,設切點的橫坐標為x0，,解得x03或x02(舍去，不符合題意)， 即切點的橫坐標為3.,答案,解析,典例若存在過點o(0,0)的直線l與曲線yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.,求曲線的切線方程,現(xiàn)場糾錯系列3,錯解展示,現(xiàn)場糾錯,糾錯心得,求曲線過一點的切線方程，要考慮已知點是切點和已知點不是切點兩種情況.,幾何畫板展示,解易知點o(0,0)在曲線yx33x22x上. (1)當o(0,0)是切點時， 由y3x26x2，得y|x02， 即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y2x.,依題意44a0，得a1. (2)當o(0,0)不是切點時， 設直線

12、l與曲線yx33x22x相切于點p(x0，y0)，,返回,課時作業(yè),1.若f(x)2xf(1)x2，則f(0)等于 a.2 b.0 c.2 d.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(x)2f(1)2x， 令x1，則f(1)2f(1)2，得f(1)2， 所以f(0)2f(1)04.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s t33t28t，那么速度為零的時刻是 a.1秒末 b.1秒末和2秒末 c.4秒末 d.2秒末和4秒末,答案,解析,s(t)t26t8，由導數(shù)的定義知vs(t)，

13、 令s(t)0，得t2或4， 即2秒末和4秒末的速度為零.,3.若直線yx是曲線yx33x2px的切線，則實數(shù)p的值為,答案,解析,y3x26xp，設切點為p(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2017鄭州質(zhì)檢)已知yf(x)是可導函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導函數(shù)，則g(3)等于 a.1 b.0 c.2 d.4,答案,解析,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由題圖可知f

14、(3)1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知曲線yln x的切線過原點，則此切線的斜率為,答案,解析,設切點為(x0，ln x0)，則,因為切線過點(0,0)，所以ln x01，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖象在點(1，f(1)處的切線過點(2,7)，則a .,答案,解析,1,f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2. 所以函數(shù)在(1，f(1)處的切線方程

15、為y(a2)(13a)(x1). 將(2,7)代入切線方程，得7(a2)13a， 解得a1.,8.(2016邯鄲模擬)曲線ylog2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍成三角 形的面積等于 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.若函數(shù)f(x) x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 .,答案,解析,f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點，,2，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.已知曲線f(x)xn1(nn*)與直線x1交于點p，

16、設曲線yf(x)在點p處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值為 .,答案,解析,1,f(x)(n1)xn，kf(1)n1， 點p(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)，,則log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求曲線在點p(2,4)處的切線方程；,解答,在點p(2,4)處的切線的斜率為y|x24. 曲線在點p(2,4)處的切線方程為y44(x2)， 即4xy40.,1,2,3,4

17、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求曲線過點p(2,4)的切線方程.,解答,則切線的斜率為 .,(x01)(x02)20，解得x01或x02， 故所求的切線方程為xy20或4xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知函數(shù)f(x) x32x23x(xr)的圖象為曲線c. (1)求過曲線c上任意一點切線斜率的取值范圍；,解答,由題意得f(x)x24x3， 則f(x)(x2)211， 即過曲線c上任意一點切線斜率的取值范圍是1，).,(2)若在曲線c上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線c的切點的橫坐標的取值范圍.,解答,設曲線c的其中一條切線的斜率為k， 則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，,故由1x24x30或x24x31，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.設函數(shù)f(x)ax ，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.