1、第二章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：一元線性回歸模型,線性回歸模型的特征,歷史淵源： 皮爾遜（Karl Pearson）搜集了一千多個家庭成員身高的記錄，發(fā)現(xiàn)身體高的父親一組，兒子們身高平均低于他們父親的身高，身體矮的父親一組，兒子們平均身高高于他們父親的身高，這樣，兒子的高矮趨向所有人的平均身高，即“回歸到普通人”。,在同族中抽取n對父-子的身高, 即有n對數(shù)據(jù): (X1,Y1), (X2,Y2), , (Xn,Yn). Yk a + bXk , 1kn. Yk a + bXk , 1kn -男人平均身高. 由上式得 Yk - a + bXk - a +(b-1) + b(Xk -) c+ b

2、(Xk -) (注意=(1-b)+b ,c= a +(b-1) ,0b1),2.1 回歸分析概述 一、回歸分析基本概念 1. 變量之間的相互關系 2. 相關分析與回歸分析,兩個變量總體相關系數(shù)公式 兩個變量的樣本 相關系數(shù)公式,回歸分析是研究一個變量關于另一個變量的依賴關系的計算方法和理論。目的在于通過后者的已知或者設定值，去顧及或預測前者的均值。分為解釋變量（自變量）和被解釋變量（因變量）。 回歸分析包含的內(nèi)容： （1）根據(jù)樣本進行模型參數(shù)估計，得回歸方程； （2）對回歸方程、參數(shù)估計值的顯著性檢驗； （3）利用回歸方程進行分析、評價、預測。,表2.1.1 某社區(qū)家庭每月可支配收入與消費支出

3、統(tǒng)計表 每月家庭可支配收入X 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 每月家庭消費Y 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2

4、860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 2002 共計 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 2145

5、0 21285 15510,支出隨收入變化的簡單散點圖如下：,回歸的現(xiàn)代解釋,研究某一變量（被解釋變量）與另一個或多個變量（解釋變量）間的因果關系。用解釋變量的已知值來估計和預測因變量的總體平均值。,由于客觀經(jīng)濟現(xiàn)象的復雜性 隨機誤差項主要包括以下因素的影響 未知因素的影響； 殘缺數(shù)據(jù)的影響； 眾多細小因素的影響 變量觀測值的觀測誤差的影響； 模型關系的設定誤差的影響； 變量內(nèi)在隨機因素的影響。,樣本回歸函數(shù) 總體回歸函數(shù)現(xiàn)實中未知，需通過抽樣，得到總體樣本，通過樣本信息估計總體回歸函數(shù) 其中e被稱為樣本殘差。,2.2 一元線性回歸模型的基本假設,1.對模型設定的假設 假設1：回歸模型是正確設

6、定的 2.對解釋變量的假設 假設2：解釋變量是確定的變量，不是隨機變量,解 釋變量之間互不相關。 假設3：解釋變量X在所抽取的樣本中具有變異性，而且隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一個非零的有限常數(shù),3.對隨機干擾項的假設假設4：隨機誤差項 具有給定X的條件下的0均值、同方差以及不序列相關性。即 在如此假設條件下，可以推出,假設5：隨機誤差項與解釋變量之間不相關， 即 假設6：隨機誤差項服從0均值、同方差的正 態(tài)分布。即,2.3一元線性回歸模型的參數(shù)估計,一、普通最小二乘原理 OLS(ordinary least square) 給定一元線性回歸模型 設由獲得的樣本觀測值 去估

7、計計量經(jīng)濟模型中的未知參數(shù)，,結(jié)果為 其能夠很好的擬合樣本數(shù)據(jù)。 為別解釋變量的估計值，它是由參數(shù)估計量和解釋變量的觀測之計算得到的。那么，被解釋變量的估計值與觀測值應該在總體上最為接近。,根據(jù)被解釋變量的估計值于觀測值應該在 總體上最接近的原則，給出判斷標準是二者 之差的平方和最小，即 由于,是待估參數(shù)的二次非負函數(shù)，因此其極小值 總存在。 易得,解得： 其中 若再記 則有,二、最大似然法（ML,Maximum Likelihood）,考慮在一組分布中使得樣本出現(xiàn)的可能性最 大的分布為我們所求。 對于 則對隨機抽取的樣本在獲得參數(shù)估計值時， 應服從如下的正態(tài)分布,則其概率密度為 聯(lián)合密度（似

8、然函數(shù)） 或?qū)?shù)似然函數(shù) 極大化上式,則解得模型的參數(shù)估計量為 可見其與用最小二乘估計方法獲得的估計量相同，因此有相同的性質(zhì)。關于方差的最大或然估計為滿足下式的量 可得,三、參數(shù)估計的矩法（MM）,矩估計（Method of Moment）思想:由 使用相應的樣本矩條件可寫成 整理后可得與正規(guī)方程組（2.3.2）相同的組式，故矩估計法與普通最小二乘法及極大似然法有相同的結(jié)果。,四、最小二乘估計的統(tǒng)計性質(zhì),衡量估計好壞的準則 1.線性性，線性是指參數(shù)估計量是被解釋變量的線性函數(shù)，可以從參數(shù)估計表達式直接看出。 2.無偏性，指參數(shù)估計量的均值等于模型參數(shù)值。即,3.有效性：所有無偏估計量中具有最小

9、方差； 4.漸近無偏性，隨著樣本容量增加，估計量均值收斂于總體真值； 5.一致性：隨著樣本容量的增加，估計量依概率收斂于總體真值； 6.漸進有效性：隨著樣本容量的增加，估計量在所有一致估計量中是否具有最小的方差。 在經(jīng)典線性回歸假設下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量，也就是具有所有有限樣本性質(zhì)。,證明：,由 對 進一步推導有 同樣可證明,五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方 差的估計,1.參數(shù)估計量 和 的概率分布 在隨機干擾正態(tài)分布的假定下，有 2. 隨機干擾項 的方差 的估計 記 為第 個樣本觀測點的殘差，則隨機 誤差項方差的最小二乘、極大似然和MM估計量分別為,2.4 一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗,一、擬合優(yōu)度檢驗 檢驗模型對樣本觀測值的擬合程度。 1. 總離差平方和的分解,則有拒絕域 關于擬合優(yōu)度和