1、高考專題突破三 高考中的數(shù)列問題,考點自測,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,考點自測,1.(2017蘇州月考)數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列bn中連續(xù)的三項，則數(shù)列bn的公比為_.,答案,解析,設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)， 由 a1a7，得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，,2,2.已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，a55，s515，則數(shù)列 的 前100項和為_.,答案,解析,設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.,ana1(n1)dn.,a55，s515，,3.(2016南通、淮安模擬)在等比數(shù)列an中，a21，公比q1.若a1， 4a3，7

2、a5成等差數(shù)列，則a6的值是_.,答案,解析,因為an為等比數(shù)列，且a21，所以a1 ，a3q，a5q3，,由a1，4a3，7a5成等差數(shù)列得8q 7q3，,解得q21(舍去)或q2 ，故a6a2q4 .,4.(2015課標(biāo)全國)設(shè)sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1snsn1， 則sn_.,答案,解析,由題意，得s1a11，又由an1snsn1，得sn1snsnsn1，,因為sn0，所以 1，,所以 1(n1)n，所以sn .,5.已知數(shù)列an的前n項和為sn，對任意nn*都有sn ，若1sk9 (kn*)，則k的值為_.,答案,解析,4,由題意，sn ，,當(dāng)n2時，sn1 ，,兩式相

3、減，得an ， an是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列， an(2)n1， 由1sk9，得4(2)k28， 又kn*，k4.,an2an1，,又a11，,題型分類深度剖析,題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題 例1(2016蘇州暑假測試)已知等差數(shù)列an的公差為2，其前n項和snpn22n，nn*. (1)求實數(shù)p的值及數(shù)列an的通項公式；,解答,snna1 na1n(n1)n2(a11)n， 又snpn22n，nn*， 所以p1，a112，即a13， 所以an32(n1)2n1.,(2)在等比數(shù)列bn中，b3a1，b4a24，若bn的前n項和為tn.求證： 數(shù)列tn 為等比數(shù)列.,證明,因為b

4、3a13，b4a249，所以q3. 所以bnb3qn333n33n2，所以b1 .,所以數(shù)列tn 是以 為首項，3為公比的等比數(shù)列.,等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略 (1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序. (2)注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，a1030，a2050. (1)求數(shù)列an的通項公式；,

5、解答,設(shè)數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d，,由a1030，a2050，得方程組,解得 所以an12(n1)22n10.,(2)令bn ，證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；,證明,由(1)，得bn2an1022n101022n4n，,所以bn是首項為4，公比為4的等比數(shù)列.,(3)求數(shù)列nbn的前n項和tn.,解答,由nbnn4n，得tn14242n4n， 4tn142(n1)4nn4n1， ，得3tn4424nn4n1,題型二數(shù)列的通項與求和 例2已知數(shù)列an的前n項和為sn，在數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且ansnn. (1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；,證明,a

6、nsnn， an1sn1n1. ，得an1anan11，,2an1an1，2(an11)an1，,an1是等比數(shù)列.,首項c1a11，又a1a11.,又cnan1，,cn是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列.,(2)求數(shù)列bn的通項公式.,解答,ancn11( )n. 當(dāng)n2時，bnanan1,又b1a1 ，代入上式也符合，,bn( )n.,(1)一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時要從證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息. (2)根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的有錯位相減法，分組求和法，裂項求和法等.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2已知an是等差數(shù)列，其前n項和為sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，

7、a4b421，s4b430. (1)求數(shù)列an和bn的通項公式；,解答,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q. 由a1b12，得a423d，b42q3，s486d. 由條件a4b421，s4b430，,所以ann1，bn2n，nn*.,(2)記cnanbn，nn*，求數(shù)列cn的前n項和.,解答,由題意知cn(n1)2n. 記tnc1c2c3cn. 則tn22322423n2n1(n1)2n， 2tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1， 所以tn22(22232n)(n1)2n1， 即tnn2n1，nn*.,題型三數(shù)列與其他知識的交匯 命題點1數(shù)列與函數(shù)的交匯 例3已知二

8、次函數(shù)f(x)ax2bx的圖象過點(4n,0)，且f(0)2n，nn*，數(shù)列an滿足 ，且a14. (1)求數(shù)列an的通項公式；,解答,f(x)2axb，由題意知b2n，16n2a4nb0， a ，,則f(x) 2nx，nn*.,數(shù)列an滿足,又f(x)x2n，,由疊加法可得 2462(n1)n2n，,化簡可得an (n2)，,當(dāng)n1時，a14也符合，,an (nn*).,(2)記bn ，求數(shù)列bn的前n項和tn.,解答,tnb1b2bn,命題點2數(shù)列與不等式的交匯 例4數(shù)列an滿足a11，an12an(nn*)，sn為其前n項和.數(shù)列bn為等差數(shù)列，且滿足b1a1，b4s3. (1)求數(shù)列a

9、n，bn的通項公式；,由題意知，an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， ana12n12n1. sn2n1. 設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則b1a11，b413d7， d2，bn1(n1)22n1.,解答,(2)設(shè)cn ，數(shù)列cn的前n項和為tn，證明：,log2a2n2log222n12n1，,數(shù)列tn是一個遞增數(shù)列，tnt1 .,證明,命題點3數(shù)列應(yīng)用題 例5(2016南京模擬)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計以后每年年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資

10、金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元. (1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；,解答,由題意，得 a12 000(150%)d3 000d， a2a1(150%)d a1d4 500 ， an1an(150%)d d.,(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).,解答,由(1)，得an an1d ( an2d)d,整理，得an( )n1(3 000d)2d( )n11,( )n1(3 0003d)2d.,由題意，得am4 000，,即( )m1(3 0003d)2d4 000.,故

11、該企業(yè)每年上繳資金d的值為 時，經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元.,數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略 (1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題 已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題； 已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形.另外，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問題的解決.,思維升華,(2)數(shù)列與不等式的交匯問題 函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)

12、于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式； 放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到； 比較方法：作差或者作商比較. (3)數(shù)列應(yīng)用題 根據(jù)題意，確定數(shù)列模型； 準(zhǔn)確求解模型； 問題作答，不要忽視問題的實際意義.,跟蹤訓(xùn)練3設(shè)nn*，xn是曲線yx2n21在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo). (1)求數(shù)列xn的通項公式；,解答,y(x2n21)(2n2)x2n1， 曲線yx2n21在點(1,2)處的切線斜率為2n2， 從而切線方程為y2(2n2)(x1). 令y0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo),證明,由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知,當(dāng)n1時，t1 .,綜上可得，對任意

13、nn*，均有tn .,課時作業(yè),1.(2016全國甲卷)等差數(shù)列an中，a3a44，a5a76. (1)求an的通項公式；,解答,設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意有2a15d4，a15d3.,解得a11，d .,所以an的通項公式為an .,1,2,3,4,5,(2)設(shè)bnan，求數(shù)列bn的前10項和，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，2.62.,解答,由(1)知，bn .,當(dāng)n1,2,3時，1 2，bn1；,當(dāng)n4,5時，2 3，bn2；,所以數(shù)列bn的前10項和為1322334224.,當(dāng)n6,7,8時，3 4，bn3；,當(dāng)n9,10時，4 5，bn4.,1,2,3,4,5,2.(20

14、16山東)已知數(shù)列an的前n項和sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1. (1)求數(shù)列bn的通項公式；,解答,由題意知，當(dāng)n2時，ansnsn16n5， 當(dāng)n1時，a1s111，所以an6n5. 設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由 即 可解得b14，d3，所以bn3n1.,1,2,3,4,5,(2)令cn ，求數(shù)列cn的前n項和tn.,解答,由(1)知，cn 3(n1)2n1. 又tnc1c2cn， 得tn3222323(n1)2n1， 2tn3223324(n1)2n2. 兩式作差，得tn322223242n1(n1)2n2,3n2n2，所以tn3n2n2.,1,2,3,4,5,3.設(shè)數(shù)列a

15、n的前n項和為sn，nn*.已知a11，a2 ，a3 ，且當(dāng)n2時，4sn25sn8sn1sn1. (1)求a4的值；,解答,當(dāng)n2時，4s45s28s3s1，,解得：a4 .,1,2,3,4,5,(2)證明： 為等比數(shù)列；,證明,因為4sn25sn8sn1sn1(n2)， 所以4sn24sn1snsn14sn14sn(n2)， 即4an2an4an1 (n2)， 所以n1也滿足此式，,當(dāng)n1時，4a3a14 164a2，,所以4an2an4an1 (nn*)，,所以數(shù)列an1 an是以a2 a11為首項，公比為 的等比數(shù)列.,1,2,3,4,5,(3)求數(shù)列an的通項公式.,解答,由(2)知

16、：數(shù)列an1 an是以a2 a11為首項，公比為 的等比數(shù)列，,所以an1 an( )n1.,所以數(shù)列 是以 2為首項，公差為4的等差數(shù)列，,所以 2(n1)44n2，,即an(4n2)( )n(2n1)( )n1，,所以數(shù)列an的通項公式是an(2n1)( )n1.,1,2,3,4,5,4.(2016常州期末)已知等差數(shù)列an的公差d為整數(shù)，且akk22，a2k(k2)2，其中k為常數(shù)且kn*. (1)求k及an；,解答,由題意得,，得d4 .,因為kn*且d為整數(shù)，所以k1或k2. 當(dāng)k1時，d6，代入，解得a13，所以an6n3. 當(dāng)k2時，d5，代入，解得a11，所以an5n4.,1,2,3,4,5,(2)設(shè)a11，an的前n項和為sn，等比數(shù)列bn的首項為1，公比為q(q0)，前n項和為tn.若存在正整數(shù)m，使得 t3，求q.,解答,因為a11，所以an6n3，從而sn3n2.,由 t3，得 1qq2，,整理得q2q1 0.,因為14(1 )0，所以m2 .,因為mn*，所以m1或m2.,當(dāng)m1時，q (舍去)或q .,當(dāng)m2時，q0或q1(均舍去