1、立體幾何F 知識要點一、 空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.棱柱 棱柱的概念：有兩個面互相平行，其余每相鄰兩個面的交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱兩個互相平行的面叫棱柱的底面（簡稱底）；其余各面叫棱柱的側(cè)面；兩側(cè)面的公共邊叫棱柱的側(cè)棱；兩底面所在平面的公垂線段叫棱柱的高（公垂線段長也簡稱高）2棱錐 棱錐的概念：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這樣的多面體叫棱錐其中有公共頂點的三角形叫棱錐的側(cè)面；多邊形叫棱錐的底面或底；各側(cè)面的公共頂點，叫棱錐的頂點，頂點到底面所在平面的垂線段，叫棱錐的高（垂線段的長也簡稱高） 棱錐的表示：棱錐用頂點和底面各頂點的字母，或用頂點和底面一條對

2、角線端點的字母來表示如圖棱錐可表示為，或3.圓柱4.圓錐5.棱臺和圓臺6.球（二）空間幾何體的三視圖和直觀圖斜二測法（三）空間幾何體的表面積和體積二、點、直線、平面之間的位置關(guān)系（一）空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1、平面平面的畫法及表示方法（1） 公理一：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在平面內(nèi)。（2） 公理二：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。（3）公理三：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。2、兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面（1）公理四（平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（2）空間中如果兩個角的兩個邊分

3、別平行，那么這兩個角相等或互補。（3）異面直線所成角（4）兩條直線垂直3、 直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、相交、平行（直線在平面外）4、 平面與平面的位置關(guān)系：相交、平行典型例題：1在空間四邊形的邊、上分別取點，如果與相交于一點，那么 （ ）一定在直線上 一定在直線上可能在直線上，也可能在直線上既不在直線上，也不在直線上2有下列命題：空間四點中有三點共線，則這四點必共面；空間四點中，其中任何三點不共線，則這四點不共面；用斜二測畫法可得梯形的直觀圖仍為梯形；垂直于同一直線的兩直線平行兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形其中正確的命題是 3下列四個命題：（1）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線

4、（2）和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條（3）和兩條異面直線都相交的兩條直線必異面（4）若與是異面直線，與是異面直線，則與也異面其中真命題個數(shù)為 （ ）3 2 1 04在正方體中，、分別是棱和的中點，為上底面的中心，則直線與所成的角為（ ）APABCDbca300 450 600 例1已知不共面的三條直線、相交于點，求證：與是異面直線（二）直線與平面平行1直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；符號表示為:，（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；符號表示為: ，（3）直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進(jìn)行兩次分類符號表示為: （3）線面平行的判定定理：如果不在一個平

5、面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行推理模式：（4）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：2平面與平面的位置關(guān)系（1）平行平面：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面互相平行（2）圖形表示：畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行的（3）平行平面的判定定理： 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行推理模式：，平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行推理模式

6、：（4）平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行推理模式：（5）面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面推理模式：典型例題：1.已知直線、和平面，那么的一個必要不充分的條件是（ ）， ， 且 、與成等角 2.、表示平面，、表示直線，則的一個充分條件是 （ ），且 ，且A1AB1BC1CD1DGEF，且 ，且3.方體ABCDA1B1C1D1中(1)求證：平面A1BD平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1平面FBD4. 如下圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1、BC1

7、上分別有兩點E、F，且B1E=C1F求證：EF平面ABCD 5.已知正四棱錐PABCD的底面邊長及側(cè)棱長均為13，M、N分別是PA、BD上的點，且PMMA=BNND=58.（1）求證：直線MN平面PBC；（2）求直線MN與平面ABCD所成的角.（三）直線與平面垂直1 線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面交點叫做垂足直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a2直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面3 直線和平面垂直的性質(zhì)定理

8、:如果兩條直線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行4 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直說明：（1）定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式： 5三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 注意：三垂線指PA，PO，AO都垂直內(nèi)的直線a 其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用6 兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面7兩平面垂直

9、的判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直推理模式：，8兩平面垂直的性質(zhì)定理： 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面 推理模式： 9.向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法： 證明直線與平面垂直的方法：直線的方向向量與平面的法向量平行； 證明平面與平面垂直的方法：兩平面的法向量垂直典型例題：1.如圖，已知是圓的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的任一點，求證：平面平面2.在三棱錐SABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在ABC的AB邊的高CD上，點MSC，截面MAB和底面ABC所成的二面角MABC等于NSC，求證：SC截面MAB.3.在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時，BD平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時，求證：