1、5.3.2角與距離,-2-,利用空間向量求空間角(多維探究) 題型1求異面直線所成的角 例1如圖,四邊形ABCD為菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一側的兩點,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)證明:平面AEC平面AFC; (2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.,-3-,(1)證明 連接BD,設BDAC=G,連接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨設GB=1.,從而EG2+FG2=EF2,所以EGFG. 又ACFG=G,可得EG平面AFC. 因為EG平面AEC, 所以平面AEC平面AFC.,-4-,-5-,解題心得由于異面直線所成的角的范圍

2、是 ,利用向量的數量積所求的兩個向量的夾角有可能是鈍角,為此取向量夾角余弦值的絕對值作為異面直線的夾角的余弦值,即若AB,CD為異面直線,所成的角為,則cos = .,-6-,對點訓練1(2017江蘇無錫一模,15)如圖,已知正四棱錐P-ABCD,PA=AB=2,點M,N分別在PA,BD上,且 . (1)求異面直線MN與PC所成角的大小; (2)求二面角N-PC-B的余弦值.,-7-,解 (1)設AC與BD的交點為O,以點O為坐標原點,建立空間直角坐標系Oxyz, 則A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).,=30, 故異面直線MN與PC所成角為30.,

3、-8-,-9-,題型2求線面角 例2如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點. (1)證明MN平面PAB; (2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.,-10-,取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TNBC, TN= BC=2. 又ADBC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形, 于是MNAT. 因為AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.,(2)解 取BC的中點E,連接AE.由AB=AC得AEBC,從而AEAD,-11-,-12-,解題心得求線面角可以用幾何法,即

4、“先找,后證,再求”,也可以通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.,-13-,對點訓練2(2017山西太原三模,理19)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側面ACC1A1底面ABC,A1AC=60,AC=2AA1=4,點D,E分別是AA1,BC的中點. (1)證明:DE平面A1B1C; (2)若AB=2,BAC=60,求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值.,-14-,(1)證明 取AC的中點F,連接DF,EF,E是BC的中點, EFAB. ABC-A1B1C1是三棱柱, ABA1B1,EFA1B1,EF平面A1B1C. D

5、是AA1的中點,DFA1C,DF平面A1B1C.又EFDF=F, 平面DEF平面A1B1C,DE平面A1B1C. (2)解 過點A1作A1OAC,垂足為O,連接OB, 側面ACC1A1底面ABC, A1O平面ABC, A1OOB,A1OOC. A1AC=60,AA1=2,AB=2,OAB=60, 由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OAABcosBAC=3,-15-,OB= ,AOB=90, OBAC. 分別以OB,OC,OA1為x軸、y軸、z軸,建立如圖的空間直角坐標系Oxyz,設m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一個法向量,-16-,-17-,題型3求二面角 例3(2017全國

6、,理18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)證明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.,(1)證明 由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.,-18-,(2)解 在平面PAD內作PFAD,垂足為F. 由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.,建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.,-19-,-20-,解題心得如圖,設平面,的法向量分別為n1,n2,二面角的平面角為(

7、0),則|cos |=|cos|= .結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.,-21-,對點訓練3(2017全國,理19)如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E是PD的中點. (1)證明:直線CE平面PAB; (2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值.,-22-,(1)證明 取PA的中點F,連接EF,BF. 因為E是PD的中點,所以EFAD,EF= AD. 由BAD=ABC=90得BCAD, 又BC= AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF, 又BF平

8、面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.,-23-,因為BM與底面ABCD所成的角為45, 而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,-24-,-25-,空間點到面的距離 例4如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的菱形,BAD=60,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,DE=2,M為線段BF的中點. (1)求M到平面DEC的距離及三棱錐M-CDE的體積; (2)求證:DM平面ACE.,-26-,(1)解 設ACBD=O,以O為原點,OB為x軸,OC為y軸,過O作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,-27-,解題心得求空間的距離用找公垂線的方法比較難下手,用向量代數的方法則簡捷,高效.,(2)異面直線間的距離可以通過在兩條直線上任意各取一點A,B,求向量 在公垂線的方向向量n上的投影來解決;直線到與其平行的平面的距離、平行平面間的距離都可轉化為點到平面的距離.,-28-,對點訓練4A1B1,A1D1的中點. (1)在圖中作一個平面,使得BD,且平面AEF;(不必給出證明過程,只要求作出與直棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面) (2)若AB=AA1=2,BAD=6