1、1,第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 一,矩陣的初等變換,第四章 線性方程組和非線性方程組的迭代法,第一節(jié) 引言,是一個(gè)向量序列,定義:,與第二章單個(gè)方程的想法類似,我們按某種方式構(gòu)造一個(gè)序列, 使這個(gè)序列 收斂到精確解. 由于方程組的解是一個(gè)向量,所以現(xiàn)在要構(gòu)造的是一個(gè)向量序 列,而且還涉及向量序列的收斂問題.,則稱向量序列收斂,記為,2,定義: 是一個(gè)向量, 是一個(gè)實(shí)值函數(shù),記為 如果這個(gè)函數(shù)滿足下列三條:,范數(shù)是絕對(duì)值概念的一種推廣,則稱 為 的范數(shù),上述三個(gè)條件又稱范數(shù)公理.,三種常用的向量范數(shù):,3,定理:,定義:A是n階方陣, 是A的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù),記為,則稱 為 的范數(shù).,三

2、種常用的矩陣范數(shù):,如果滿足下列范數(shù)公理,稱列范數(shù),稱行范數(shù),4,定義: A是n階方陣, x是n維列向量，如果滿足 則稱這種矩陣范數(shù)和向量范數(shù)是相容的。這樣的矩陣范 數(shù)稱為矩陣的自然范數(shù)。,上述三種常用的矩陣范數(shù)都是自然范數(shù)。,定義: A是n階方陣，A的特征值為：,稱為A的譜半徑。,定理：對(duì)任意方陣A必有,5,第二節(jié) 迭代法的基本概念和收斂條件,線性方程組的迭代法的基本思想與第二章單個(gè)方程的迭代法類似 首先將f (x) = Ax b = 0轉(zhuǎn)化為等價(jià)的方程組 x = Bx+d，這里B是 一個(gè)常數(shù)矩陣，稱為迭代矩陣，x是一個(gè)常向量。 對(duì)于給定的初始向量 ，由迭代格式：,定義1(初等變換),就可以

3、構(gòu)造出一個(gè)向量序列 使之收斂于方程組的精確解。,線性方程組迭代法的收斂定理： 定理:對(duì)于方程組x=Bx+d,如果 則有以下結(jié)論: 該方程組有唯一解; 對(duì)于任意給定的初始向量 ,由上述迭代格式 構(gòu)造的向量序列 收斂于方程的精確解 ; 有誤差估計(jì)式:,6,注意：這個(gè)定理的條件是收斂的充分條件,不是充要條件. 與單個(gè)方程的結(jié)論類似 越小,收斂越快.,矩陣的等價(jià),定理:由上述迭代格式構(gòu)造的序列收斂的 同理, 越小,收斂越快.,充要條件,7,第三節(jié) 解線性方程組的迭代法,取初值:,行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類,一 Jacobi迭代法 先看一個(gè)例子:,8,由此可得到Jacobi迭代法:,行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)

4、類,Jacobi迭代法的一般形式,在實(shí)際計(jì)算時(shí)常常采用其分量形式:,9,二,初等矩陣 定義4(初等矩陣),由上述迭代矩陣的結(jié)構(gòu)可以看出,對(duì)于Jacobi 迭代的收斂問題有比較簡(jiǎn)單的判別法: 如果方程組的系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)的,則Jacobi 迭代法對(duì)于任意的初始向量都是收斂的. 這個(gè)條件等價(jià)于,10,取初值:,行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類,二 Gauss-Seidel迭代法 把Jacobi迭代稍做改進(jìn)得:,Gauss-Seidel迭代法是充分利用了有效信息,以改善 計(jì)算效果,Jacobi 迭代需要兩套儲(chǔ)存單元, 而G-S迭代只需一套儲(chǔ)存單元.,11,行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類,G-S迭代法的一

5、般形式,其分量形式:,12,對(duì)于G-S 迭代的收斂問題也有比較簡(jiǎn)單的判別法: 如果方程組的系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)的,則 G-S 迭代法對(duì)于任意的初始向量都是收斂的.,如果方程組的系數(shù)矩陣正定, 則 G-S 迭代法對(duì)于任意的初始向量都是收斂的.,注意:上述條件都是收斂的充分條件,13,行最簡(jiǎn)形,標(biāo)準(zhǔn)形,等價(jià)類,三 松弛迭代法,這是在G-S迭代基礎(chǔ)上的一種加速方法,它分為迭代和加速兩個(gè)過程 迭代: 加速:,14,第四節(jié) 解非線性方程組的迭代法,一 一般迭代法 與單個(gè)非線性方程迭代法類似,先化為等價(jià)的方程組,15,由此就可以建立一個(gè)迭代格式:,一般迭代法的收斂條件與單個(gè)方程迭代法的收斂條件很類似

6、,稱為迭代向量函數(shù),16,Th1,定理 設(shè)D是n 維空間的一個(gè)連通區(qū)域,若迭代向量函數(shù)g(x) 滿足: (1) (2)g(x)的所有一階偏導(dǎo)數(shù)在D上連續(xù),且一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的范數(shù)小于1,即:,則對(duì)于任意給定的D中的初始向量,該迭代法都收斂于方程組的 精確解.且范數(shù)越小收斂越快.,17,Th5及推論,二 Seidel迭代法 Seidel迭代法是一般迭代法的一種改進(jìn),其迭代格式為:,一般地,18,利用初等變換求逆矩陣,第五節(jié) 矩陣的條件數(shù)和病態(tài)方程 組的處理,19,例,由此可見方程組的系數(shù)矩陣或常數(shù)向量有很小的誤差時(shí), 有可能引起解的很大誤差,因此需要討論它們之間的關(guān)系. 設(shè)理論方程為Ax=b,若A是精確的,b有一個(gè)偏差 方程成為,20,利用初等變換求A-1B,若b是精確的,A有一個(gè)偏差 方程成為,定義:A是n階方陣,正實(shí)數(shù) 稱為A的條件數(shù),記為cond(A) 當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),稱這個(gè)方程組病態(tài),否則稱良態(tài). 條件數(shù)與范數(shù)有關(guān),但只有量的關(guān)系,沒有質(zhì)的關(guān)系. 對(duì)于病態(tài)方程組的處理: 加大字長(zhǎng),減少舍入誤差; 改善算法.,21,利用初等變換求CA-1