1、第四章 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),1. 傳遞函數(shù)的概念,傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立起來的一種數(shù)學(xué)模型，是經(jīng)典控制論中對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行研究、分析與綜合的重要數(shù)學(xué)工具。,因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。,定義：初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,即 ，,特別地，當(dāng)xi(t)=(t)，亦即Xi(s)=1時(shí)，G(s)=Xo(s),2. 傳遞函數(shù)的性質(zhì), 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的固有特性，與輸入量的大小及性質(zhì)無關(guān)； 傳遞函數(shù)以簡明的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型組成，只要?jiǎng)討B(tài)性能相似，就可以用相似的傳遞函數(shù)； 傳遞函數(shù)可以有量綱，也可以無量綱

2、； 傳遞函數(shù)是s的有理分式；,一般地,傳遞函數(shù)的表達(dá)式為,3. 典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù), 比例環(huán)節(jié),系統(tǒng)總是由各種元件組成，不管這些元件的屬性如何，只要其動(dòng)態(tài)性能相似，就可以用相同的傳遞函數(shù)來表達(dá)。如果把系統(tǒng)的元件按其運(yùn)動(dòng)方程的形式來分類，就得到各種不同的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)。,這樣，就可以把一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分解為由簡單的環(huán)節(jié)組成，從而方便地建立整個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,凡輸出量xo(t)與輸入量xi(t)成比例，不失真也不延時(shí)的環(huán)節(jié)，又稱P調(diào)節(jié)器。,比例環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)方程為 xo(t)=kxi(t)，所以比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為,k為比例環(huán)節(jié)的增益或稱為放大系數(shù),例1,解,求一對(duì)齒輪傳動(dòng)的傳遞函數(shù),最基本的運(yùn)算放大器,z1,z

3、2,ni(t),no(t),G(s)=k,例2,i1=i2,k 運(yùn)算放大器的閉環(huán)增益, 微分環(huán)節(jié),例3,求圖示微分電路的G(s),解,凡輸出量xo(t)與輸入量xi(t)的一階導(dǎo)數(shù)成比例的環(huán)節(jié)，又稱為D調(diào)節(jié)器。,運(yùn)動(dòng)方程為,因此傳遞函數(shù)為：,微分環(huán)節(jié)不能單獨(dú)存在。,G(s)=TS, 積分環(huán)節(jié),凡輸出量xo(t)與輸入量xi(t)的一次積分成比例的環(huán)節(jié)，又稱為I調(diào)節(jié)器。,運(yùn)動(dòng)方程為,因此傳遞函數(shù)為：,例4,右圖為一齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。n(t)為輸入轉(zhuǎn)速， xo(t)為線位移。求該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳遞函數(shù)。,解：,根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系有,但如以vo(t)表示齒條的移動(dòng)速度，則,G(s)=T/S,1、電阻元件,U(

4、s)=RI(s) ZR=R,2、電感元件,u(t)=Ri(t),3.電容元件,ZC(s) = 1/sC,ZL=Ls,例5,下圖是一個(gè)由運(yùn)算放大器組成的積分器，求G(s)。,解：,取拉氏變換, 慣性環(huán)節(jié),凡能用一階線性微分方程來描述的環(huán)節(jié)，又稱為一階環(huán)節(jié)。,運(yùn)動(dòng)方程為,因此傳遞函數(shù)為：,K慣性環(huán)節(jié)的增益；T慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù),例6,求右圖電路的G(s)。,解：,如果Rcs 1，則G(s)=1/Rcs=1/Ts,例7,下圖是運(yùn)算放大器組成的慣性環(huán)節(jié)，求該環(huán)節(jié)的K和T。,解：,Z=R2Zc=R21/cs = R2 / (R2cs+1), 二階環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié),凡能用二階線性微分方程來描述的環(huán)節(jié)都稱為二

5、階環(huán)節(jié)。,運(yùn)動(dòng)方程為,兩邊取拉氏變換得,環(huán)節(jié)的固有頻率,環(huán)節(jié)的阻尼比,其中，,如果01，二階環(huán)節(jié)稱為振蕩環(huán)節(jié),例7,圖示是由質(zhì)量m、阻尼c、彈簧k組成的動(dòng)力系統(tǒng).,求G(s),依動(dòng)力平衡原理有,上例中，如果輸入量為外力f (t),則系統(tǒng)的固有頻率和阻尼系數(shù)為多少, 延時(shí)環(huán)節(jié),凡輸出量滯后于輸入量一個(gè)時(shí)間，但不失真地反映輸入量的環(huán)節(jié)。,運(yùn)動(dòng)方程為,xo (t) = xi (t-),注意延時(shí)環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別, 比例環(huán)節(jié),xo(t)=kxi(t), 微分環(huán)節(jié),G(s)=TS, 積分環(huán)節(jié),G(s)=T/S, 慣性環(huán)節(jié), 二階環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié),xo (t) = xi (t-), 延時(shí)環(huán)節(jié),小節(jié),求右圖

6、油缸-阻尼-彈簧系統(tǒng)的傳遞函數(shù).其中，p為輸入，xo為輸出。,解,求下圖的傳遞函數(shù),ZL=Ls,Z=R/1/cs,1. 復(fù)合環(huán)節(jié)概念,單一典型環(huán)節(jié)組合,2. 復(fù)合環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),復(fù)合環(huán)節(jié)，如PI調(diào)節(jié)器、PD調(diào)節(jié)器, PD調(diào)節(jié)器,G(s)=Ts+K,T時(shí)間常數(shù)，K比例系數(shù),根據(jù)傳遞函數(shù)判斷是何種調(diào)節(jié)器，并求出相應(yīng)的參數(shù)。,例1,下圖是由放大電路組成的PD調(diào)節(jié)器，求G(s),解,例2,例3,解,比例積分環(huán)節(jié)組成的調(diào)節(jié)器。, PI 調(diào)節(jié)器,T時(shí)間常數(shù)，K比例系數(shù),下圖是由放大電路組成的PI調(diào)節(jié)器，求G(s),一般來說，采用調(diào)節(jié)器的控制系統(tǒng)，既能獲得較高的靜態(tài)精度，又具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。,Zm=(R1+

7、1/cs)R2,請(qǐng)先行練習(xí),比例、積分、微分環(huán)節(jié)組成的調(diào)節(jié)器。, PI D調(diào)節(jié)器,例4,下圖是由放大電路組成的PID調(diào)節(jié)器，求G(s),PID控制的重要性,比例-積分-微分控制規(guī)律是工業(yè)上最常用的控制規(guī)律。人們一般根據(jù)比例-積分-微分的英文縮寫，將其簡稱為PID控制。即使在更為先進(jìn)的控制規(guī)律廣泛應(yīng)用的今天，各種形式的PID控制仍然在所有控制回路中占85%以上。,1. 傳遞函數(shù)框圖的概念,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，即用來表達(dá)環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)的方塊圖。下圖表示一個(gè)框圖單元。目的是為了說明一個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用。,2. 繪制框圖的要點(diǎn),方框內(nèi)只允許填寫傳遞函數(shù)G(s)； 框圖中的全部變量 都是取了拉氏變換后

8、的變量，要求大寫； 變量一般置于箭頭的上方，箭頭的指向表示信號(hào)的流向； 框圖的聯(lián)接是按信號(hào)流向進(jìn)行的，有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接三種。,G(s),Xi(s),Xo(s),3. 框圖的聯(lián)接,串聯(lián),設(shè),X1(s)=Xi(s)G1(s), Xo(s)=X1(s) G2(s),則用框圖表示如下,G1(s),Xi(s),Xo(s),G2(s),X1(s),對(duì)于串聯(lián)的傳遞函數(shù),Xo(s)=X1(s) G2(s) = G1(s) G2(s) Xi(s),G(s)= G1(s) G2(s),如一個(gè)系統(tǒng)由n各環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,并聯(lián),設(shè),X1(s)=Xi(s)G1(s), X2(s)=Xi(s)G2(

9、s), Xo(s)=X1(s) X2(s),則用框圖表示如下,Xo(s) = X1(s) X2(s) = Xi(s)G1(s) Xi(s)G2(s) = G1(s) G2(s) Xi(s),對(duì)于并聯(lián)的傳遞函數(shù),G(s)= G1(s) G2(s),G1(s),Xi(s),Xo(s),G2(s),X1(s),X2(s),如一個(gè)系統(tǒng)由n各環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。若把并聯(lián)處都看成相加，則,反饋聯(lián)接,反饋聯(lián)接框圖如下圖所示,E(s) = Xi(s) B(s) Xo(s)= G(s) E(s) B(s)= H(s) Xo(s),由圖可知,所以對(duì)于該閉環(huán)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：,“

10、-”表示正反饋，“+”表示負(fù)反饋,控制系統(tǒng)中主要采用負(fù)反饋，則,G(s),Xi(s),Xo(s),H(s),E(s),+,B(s),A,單位負(fù)反饋,G(s),Xi(s),Xo(s),H(s),E(s),+,B(s),如果在點(diǎn)處將反饋回路切斷，則得到以E(s)為輸入，B(s)為輸出的傳遞函數(shù)Gk(s)，稱之為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。,Gk(s) = H(s)G(s),Gb(s),Xi(s),Xo(s),A,4. 框圖的變換與化簡,框圖的變換,分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),G(s),X1(s),X2(s),X3(s),相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則,G(s),X1(s),

11、X2(s),X3(s),+,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),+,G(s),G(s),X1(s),X2(s),X3(s),+,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),+,作上述變換后，原來的輸入和輸出都不變，變換前后的系統(tǒng)框圖應(yīng)等效。,框圖的化簡,規(guī)則,為了計(jì)算和研究方便，常要把框圖化簡。,框圖化簡，主要是依據(jù)基本的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接進(jìn)行。但若有回路交叉，必須先進(jìn)行移位，消除交叉。,框圖的化簡與中間變量無關(guān) 當(dāng)有多個(gè)輸入量的線性系統(tǒng)時(shí)，可按疊加原理進(jìn)行化簡 當(dāng)進(jìn)行相加點(diǎn)移位時(shí)，必須保證各分支點(diǎn)處原來的信號(hào)值不變 當(dāng)進(jìn)行分支點(diǎn)移位時(shí)，必須保證各相加點(diǎn)處原來的反饋信號(hào)值不變,例1,G1,G2,G3,H2,H1,Xi(s),Xo(s),+,-,+,+,+,-,化簡框圖，求Gb(s),G1,G2,G3,H1,Xi(s),Xo(s),+,-,+,+,+,-,G1 G2,G3,H1,Xi(s),Xo(s),+,-,+,+,+,-,G3,Xi(s),Xo(s),+,-,+,-,Xi(s),Xo(s),+,-,+,-,+,-,Xi(s