1、第四章 范數(shù)理論,一、向量范數(shù),二、矩陣范數(shù)與算子范數(shù),三、范數(shù)的應用,主要內(nèi)容,第一節(jié) 向量范數(shù),主要內(nèi)容： 1向量范數(shù)的定義及幾種常見的向量范數(shù) 2向量范數(shù)的等價性,如果函數(shù),則稱 為向量x的范數(shù)。,滿足：,1）正定性,且,2）齊次性,3）三角不等式,對應一個實值函數(shù),范數(shù)的性質(zhì)：,對于向量空間 上的任意向量 ,一、向量范數(shù)的定義,性質(zhì)（1）利用范數(shù)的齊次性即可證明。 下面證明（2）。根據(jù)三角不等式，有,對任意的,，可以利用范數(shù)定義向量間的距離如下：,實例1 在向量空間C n中, 向量的長度是一種向量范數(shù)，稱為2-范數(shù)或歐氏范數(shù)。,證明 易驗證條件(i)和(ii)成立，現(xiàn)驗證條件(iii)

2、也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。,兩邊開方即得證。,證明 范數(shù)定義中的條件(i)顯然成立， 現(xiàn)驗證條件(ii)和(iii)也成立,實例2 在向量空間C n中, 向量分量的最大模是一種向量范數(shù)，稱為 -范數(shù)。,反例：設,若令,顯然，它滿足范數(shù)定義中的正定性，但不滿足齊次性，因此它不是 中的范數(shù)。,定理,1范數(shù)，,2范數(shù)(或Euclid范數(shù)),范數(shù)(或最大值范數(shù))。,它們均構(gòu)成范數(shù)。,說明：在同一個向量空間，可以定義多種向量范數(shù)，而對于同一個向量，不同定義的范數(shù)，其大小可能不同。,引理3.1.2（ 不等式）,p-范數(shù)或 范數(shù),利用上面的兩個引理可以證明：在向量空間Cn中，

3、有下面的范數(shù)：,說明：在p范數(shù)中，若取p1時,它不是范數(shù)； 1-范數(shù)，2-范數(shù)是p分別取1，2時的p范數(shù),而對于p范數(shù)與范數(shù)有下面的關系,定理 在向量空間C n中, 向量范數(shù)滿足,證明 當X=0時，結(jié)論顯然成立。設,則,因為,故,所以,說明：,我們也可以通過已知的范數(shù)構(gòu)造新的向量范數(shù).,例,例 設A是n階正定實對稱矩陣，在向量空間Rn中, 定義向量函數(shù)為,試證上述函數(shù)是向量范數(shù)，稱為向量的加權(quán)范數(shù)或橢圓范數(shù)。,所以 是向量范數(shù)。,證明 因為A是正定對稱矩陣，故存在可逆矩陣P，使得,從而,的連續(xù)函數(shù)。,定理:設 是 上的向量范數(shù),則 是,證明,范數(shù)等價性,對于兩個向量范數(shù) ，如果存在常數(shù)和,則稱

4、范數(shù) 等價,定理 向量空間 中的任意兩個向量范數(shù)等價。,使得,容易證明：向量范數(shù)的等價具有自反性、對稱性和傳遞性.,首先任一向量范數(shù)是 上的一個連續(xù)函數(shù),證明,定義Dn是Cn的單位球面(有界閉集),說明：我們證明 上的任一范數(shù)都與2-范數(shù)等價，再利用范數(shù)等價的傳遞性即可。,因為,故它在Dn上取到最大值m和最小值M,是連續(xù)函數(shù)，,再利用范數(shù)等價的傳遞性可知： 上的任意兩個范數(shù)都等價。,向量范數(shù)的等價性表明：按不同向量范數(shù)定義的向量的收斂性 具有一致性。,第二節(jié) 矩陣范數(shù),主要內(nèi)容： 1矩陣范數(shù)的定義、性質(zhì) 2算子范數(shù)（由向量誘導的矩陣范數(shù)） 3幾種常用的矩陣范數(shù),定義,滿足：,（1）正定性,且,

5、（2）齊次性,（3）三角不等式,(4)相容性,矩陣范數(shù)的性質(zhì)：,對于兩個矩陣范數(shù) ，如果存在常數(shù)和,則稱范數(shù) 等價,使得,矩陣范數(shù)同向量范數(shù)具有類似的性質(zhì)，比如等價性：,在 上常用的矩陣范數(shù)有：,定理1 矩陣Frobenius范數(shù)是酉不變的。,成立,即設,則對任意酉矩陣,定理2 設 是 上的矩陣范數(shù)， 則在 上存在與 相容的向量范數(shù),證明：任取一非零向量,定義向量X的范數(shù)為,即矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容,容易驗證 是 上的向量范數(shù)，并且,對于 的矩陣范數(shù)與 上的同類向量范數(shù)，如果有,則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。,算子范數(shù),即由向量范數(shù)構(gòu)造矩陣范數(shù),為了書寫簡明，均不注明范數(shù)屬于哪個空間，由范數(shù)

6、中的矩陣(或向量)加以區(qū)別）,則 是矩陣A的范數(shù)并且與 相容。,首先由定義可知,即,再證明定義的第二個等號成立。記,再證明(D1)式中的最大值可以達到。,由 是C n 的連續(xù)函數(shù)，D n 是C n中的有界閉集，,知 在D n上取到最大值。,則,正定性:,齊次性:,三角不等式和相容性：,設,則存在,使,于是,由,我們稱由(D1)式所定義矩陣范數(shù)為由向量范數(shù)誘導的矩陣范數(shù)，也稱矩陣的算子范數(shù)。,對,從而,說明：由向量導出的矩陣范數(shù)是相容范數(shù),存在向量,滿足,根據(jù)常用的向量1-范數(shù)，2-范數(shù)及 -范數(shù)得到相應的矩陣算子范數(shù),列和范數(shù),譜范數(shù),行和范數(shù),譜范數(shù)使用起來不方便，但它卻有一些特殊的性質(zhì)，在

7、理論推導中非常重要。,定理3,設,則,對于矩陣譜范數(shù)有下面的性質(zhì)：,（2）2-范數(shù)是酉不變的,例：設,計算,因為,第三節(jié) 范數(shù)的應用,主要內(nèi)容： 1、范數(shù)在特征值估計方面的應用- 矩陣譜半徑矩陣范數(shù)間的關系 2、范數(shù)在擾動分析方面的應用,譜半徑定義,記,設1, 2, , n是屬于A的所有特征值,稱,為A的譜半徑。,證明,設1, 2, , n是屬于A的所有特征值,因此,性質(zhì)1 對于任意n階矩陣A，成立,性質(zhì)2,(1)對于任意n階矩陣A，成立,(2)當A是正規(guī)矩陣時，,證明,(1)設是屬于A的特征值,而矩陣AHA與AAH的特征值相同,則（1）成立。,解: 因為,則,從而,A的常見范數(shù),例：求矩陣A

8、的譜半徑及矩陣的范數(shù),從而有,則,說明：此結(jié)論具有一般性。,定理1 對于矩陣A的任一矩陣范數(shù)總有,故,兩邊取范數(shù),由于,證明 設 是A的特征值 ,X是A的屬于的一個特征向量，又設 是與矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù)。,從而,定理2 設 ，則對 ，必存在一個矩陣范數(shù)，使,證明 由Jordan分解定理，存在可逆矩陣P，使得,令,則易驗證,對給定的矩陣 ，規(guī)定,于是,容易驗證 是 上的矩陣范數(shù)，且有,范數(shù)的應用-矩陣的非奇異性條件,定理3,則I-A可逆，且,設,說明：,（1）根據(jù)范數(shù) 的大小來判斷,是否為非奇,異矩陣；,（2）若矩陣A的范數(shù) 很小，由于 是它元素的連續(xù)函數(shù)，,而 的逆矩陣為I，,所以矩陣A接

9、近于零矩陣，,證明（1）用反證法 ： 即假設I - A不可逆,則線性方程組（I-A）X=0有非零解X0，因此,矛盾；,所以I - A可逆。,取范數(shù)得：,范數(shù)的應用近似逆矩陣的誤差,則,設,條件數(shù)定義,稱cond(A)為矩陣A的條件數(shù)。反映了近似逆矩陣誤差的一個量；條件數(shù)越大，近似逆矩陣相對誤差越大。,結(jié)論,第四節(jié) 特征值的估計與表示,特征值是矩陣的重要參數(shù)之一，矩陣的特征值可以用復平面上的點來表示，當矩陣的階數(shù)比較高時，計算它的特征值一般比較困難，而對它的特征值給出一個范圍就是特征值的估計問題。,而實際上，對于許多的應用問題，只要粗略地估計特征值的大小或者分布范圍就夠了，因此從矩陣的元素出發(fā)，

10、用比較簡便的運算給出矩陣特征值的所在范圍，將有十分重要的意義。,主要內(nèi)容： 1矩陣特征值的有關不等式 2特征值所在的區(qū)域蓋爾圓,定理1 設 為 的特征值，則有,等號成立的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣。,Schur不等式,證明：,由Schur定理，,存在酉矩陣U，使,對（1）式兩端取共軛轉(zhuǎn)置并兩式相乘得：,因為R為對角元為A的特征值的上三角矩陣，所以,矩陣特征值實部與虛部界的不等式,引理：設 滿足,則,證明：設,則有,定理2 設,則A的任,一特征值 滿足：,證明：設A的屬于 的單位特征向量為x,即,上式兩端左乘以xH可得,再取共軛轉(zhuǎn)置得.,由引理知：,推論：,（1）Hermite矩陣的特征值都是實

11、數(shù)；,（2）反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù)。,例：設矩陣,估計A的特征值的界,因為,所以，由,則A的任一特征值 滿足：,關于實矩陣特征值虛部的界，還有更精確的估計式,定理：設,則A的任一特征值 滿足：,在上面的例子中，可進一步地有,特征值的包含區(qū)域-蓋爾圓,定義 設,記,稱復平面,上的圓域,為矩陣A的第,i個蓋爾圓,稱Ri為蓋爾圓Gi的半徑。,蓋爾圓定理1：矩陣 的全體特征值都在它的n個蓋爾圓構(gòu) 成的并集之中.,證明：設A的屬于 的單位特征向量為x,記,則有,由于,則,即,從而有,也就是,因此 在A的蓋爾圓構(gòu)成的并集之中.,注意到:A與AT的特征值相同,因此A的全體特征值也都在AT的 n個蓋爾圓構(gòu)成的并集之中,稱AT的蓋爾圓為A的列蓋爾圓.,例:估計A的特征值的分布范圍,A的4個蓋爾圓為:,故A的特征值都在 之中.,連通部分:在矩陣A的蓋爾圓中,相交在一起的蓋爾圓構(gòu)成的最大連通區(qū)域稱為一個連通部分.(孤立的一個蓋爾圓也是一個連通部分).,蓋爾圓定理2:若矩陣A的某一連通部分由A