1、克萊姆法則,矩陣及其運(yùn)算,如果線性方程組,的系數(shù)行列式D不等于零， 則方程組有唯一解,行列式的應(yīng)用Crammer法則,（1）,證明,例1 用Cramer法則求解線性方程組,解 系數(shù)行列式為,所以,小結(jié)：Crammer法則的使用有極大的局限性 （1） Crammer法則只能用于求解方程個(gè)數(shù)與未知數(shù) 個(gè)數(shù)相等的線性方程組； （2） Crammer法則只能求得系數(shù)行列式不為零時(shí)的 線性方程組的唯一解； 即如果方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù) 行列式等于零，則Crammer法則失效。 （3）計(jì)算量大，要計(jì)算 n+1 個(gè) n 階行列式的值。 如何解決這些問題呢？留待第七章解決。,齊次線性方程組,常數(shù)項(xiàng)

2、全為零的線性方程組，稱為齊次線性方程組。,這樣的方程組一定有解，至少有零解,根據(jù)Crammer法則，當(dāng)系數(shù)行列式D0時(shí)，齊次線性 方程組只有唯一的零解；否則，當(dāng)系數(shù)行列式 D=0 時(shí)， 齊次線性方程組有非零解（無窮多個(gè)）。,例2 當(dāng)k為何值時(shí)，下面的方程組只有零解？,解 因?yàn)橄禂?shù)方程組的行列式為,所以當(dāng) k5且 k1時(shí)，原方程組只有零解,例3 當(dāng)、為何值時(shí)，下面的方程組有非零解？,解 因?yàn)橄禂?shù)方程組的行列式為,所以當(dāng) =1 或 =0 時(shí)，原方程組有非零解,用加減消元法求解二元一次方程組,得,得, 矩陣的引入,可見，在求解方程組的過程中，只有方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，未知量只是進(jìn)行同類項(xiàng)的合

3、并。 在日常生活中，我們也經(jīng)常關(guān)心一些數(shù)表：如價(jià)格表、股票行情表、財(cái)務(wù)報(bào)表等等，這些重要的“矩形數(shù)表”，在數(shù)學(xué)學(xué)科中，則可用矩陣來表示。,矩陣的定義（見書P233定義1）,矩陣的一般形式如下：, 矩陣的概念,稱為方程組的增廣矩陣,稱為方程組的系數(shù)矩陣,設(shè)有線性方程組,線性方程組與矩陣之間可建立一一對應(yīng)的關(guān)系,行矩陣（行向量）只有一行的矩陣。,等,列矩陣（列向量）只有一列的矩陣。,等,幾種特殊形式的矩陣,等,零矩陣 所有元素都為零的矩陣，簡記作 。,方陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如：,等,二階方陣,三階方陣,n階方陣,如,等,對角形矩陣主對角線上的元素不全為零，其它的 元素都為0的方陣，簡記作 。,

4、單位矩陣主對角線上的元素都是1的對角形矩陣， 簡記作 。如：,等,上三角形矩陣主對角線下方元素全為零、上方的 元素不全為0的方陣。如：,等,下三角形矩陣主對角線上方的元素全為零，下方 的元素不全為0的方陣。,同型矩陣：有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)的 兩個(gè)矩陣，稱為同型矩陣。,如：,只有矩陣 與矩陣 同型,注意：同型是相等的必要條件。,相等矩陣：若 兩矩陣同型且對應(yīng)位置上 的元素相等，則稱 相等，記 作 。,如：,關(guān) 系 式, 矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì),（1）交換律 A+B = B+A,（2）結(jié)合律 （A+B）+C = A+（B+C）,矩陣的加法（見P234定義2）,矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律：,注意：只有同型

5、矩陣才能相加。,例,矩陣的減法,數(shù)乘矩陣（見教材P235定義3）,如：,注意：數(shù)乘矩陣時(shí)， 矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)K。,等,數(shù)量矩陣,數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律：,設(shè) ， ，求滿足 方程 的 。,課堂練習(xí),矩陣的乘法（見教材P235定義4）,設(shè),則,其中,左矩陣 右矩陣 A的列數(shù) B的行數(shù),例如：,無意義！,AB存在，BA無意義，,例題：計(jì)算下列各題,（1）,（2）,AB與BA不同型,（3）,（4）,（5）,（6）,（2）當(dāng)AB=BA時(shí)，稱A、B為可交換矩陣，或 稱A、B可交換。此時(shí)，A、B必為同階方陣。,小 結(jié),（8）,（7）,矩陣的乘法運(yùn)算 不滿足消去律,矩陣相乘的運(yùn)算規(guī)律：,一般地：,或,若

6、 A 是方陣，則乘積,有意義，記作,稱為 A 的 k 次冪。,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,性質(zhì),線性方程組的矩陣表示法（2）,若記：,則方程組（1）可記為：,矩陣A的轉(zhuǎn)置（見教材P237定義5）,或,如,矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律：,驗(yàn)證（4）式：,答案,反對稱矩陣：如果 ，則稱矩陣A為反對稱矩陣。,對稱矩陣：如果 ，則稱矩陣A為對稱矩陣。,方陣的行列式,1、方陣的行列式,如,則,數(shù)表,數(shù)值,2、方陣的行列式的性質(zhì),矩陣運(yùn)算的應(yīng)用,1、兩個(gè)商店（用行表示），三種商品（用列表示）在 一月和二月的銷售量分別表示為矩陣A和B，如要考察 二月比一月的銷售量增加了多少，應(yīng)如何計(jì)算？結(jié)果如 何？如要計(jì)算兩個(gè)月的銷售量之和，應(yīng)如何計(jì)算？結(jié)果 如何？,2、毗鄰的甲乙兩城計(jì)劃建造兩類住宅，計(jì)劃數(shù)量如 矩陣A，兩類住宅對三種構(gòu)件的需求數(shù)量如矩陣B，制 造各種構(gòu)件需要三種原料的數(shù)量如矩陣C，試用適當(dāng)?shù)?矩陣運(yùn)算求（1）建造每類住宅所需各種原料的數(shù)量； （2）甲、乙兩城對三種構(gòu)件的需求數(shù)量；（3）甲、乙 兩城對三種原料的需求數(shù)量。,答案,證明 設(shè)A1j、A2j、Anj為方程組的系數(shù)矩陣第j列 元素的代數(shù)余子式，依次用A1j、A2j、Anj乘以方 程組的第一、第二、第n個(gè)方程，然后相加，則 可