1、第二章 初等模型,2.1 微積分在Matlab中的實(shí)現(xiàn) 2.2 線性代數(shù)在Matlab中的實(shí)現(xiàn) 2.3 數(shù)據(jù)擬合 2.4 汽車(chē)剎車(chē)距離 2.5 公平的席位分配 2.6 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途 2.7 雙層玻璃窗的功效 2.8 實(shí)物交換 2.9 啟帆遠(yuǎn)航,2.4 汽車(chē)剎車(chē)距離,美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：,背景與問(wèn)題,正常駕駛條件下, 車(chē)速每增10英里/小時(shí)， 后面與前車(chē)的距離應(yīng)增一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度。,實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是 “2秒準(zhǔn)則” ：,后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車(chē)速如何,判斷 “2秒準(zhǔn)則” 與 “車(chē)身”規(guī)則是否一樣；,建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)

2、則。,問(wèn)題分析,常識(shí)：剎車(chē)距離與車(chē)速有關(guān),10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車(chē)速下2秒鐘行駛29英尺( 9米),車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米),“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則不同,剎車(chē)距離,反應(yīng)時(shí)間,司機(jī)狀況,制動(dòng)系統(tǒng)靈活性,制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候 ,最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。,車(chē)速,假 設(shè) 與 建 模,1. 剎車(chē)距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離 d2 之和,2. 反應(yīng)距離 d1與車(chē)速 v成正比,3. 剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變;,F d2= m v2/2,F m,t1為反應(yīng)時(shí)間,且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比,反應(yīng)時(shí)間

3、 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒,參數(shù)估計(jì),利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k,模 型,最小二乘法 k=0.025,“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”,模 型,2.5 公平的席位分配,問(wèn)題,三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。,現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問(wèn)20席如何分配。,若增加為21席，又如何分配。,比例加慣例,對(duì)丙系公平嗎,“公平”分配方法,衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo),當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平,p1/n1 p2/n2 對(duì)A的絕對(duì)不公平度,p1=150, n1=10, p1/

4、n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!,雖二者的絕對(duì)不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì) 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小,設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是B,不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)A不公平, 對(duì)A的相對(duì)不公平度,將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量,類似地定義 rB(n1,n2),將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為

5、動(dòng)態(tài)的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定義,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,則這席應(yīng)給 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2),應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給,應(yīng)討論以下幾種情況,初始 p1/n1 p2/n2,問(wèn)：,p1/n1p2/(n2+1) 是否會(huì)出現(xiàn)？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B,當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給

6、A,該席給A,否則, 該席給B,推廣到m方分配席位,該席給Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21個(gè)席位,按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席給丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配結(jié)果,公平嗎？,Q1最大，第20席給甲系,問(wèn) 題,在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為 4450，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？,要求,不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與 錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系

7、。,思考,計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？,2.6 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途,經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。,錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理,錄像帶運(yùn)動(dòng),問(wèn)題分析,觀察,計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！,模型假設(shè),錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) v ；,計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn；,錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w；,空右輪盤(pán)半徑記作 r ；,時(shí)間 t=0 時(shí)讀數(shù) n=0 .,建模目的,建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系,（設(shè)v,k,w ,r為已知參數(shù)）,模型建立,建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法,1. 右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為r+wi, m

8、圈的總長(zhǎng)度 等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt, 所以,2. 考察右輪盤(pán)面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即,3. 考察t到t+dt錄像帶在 右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度，有,模型建立,思 考,3種建模方法得到同一結(jié)果,但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。,模型中有待定參數(shù),一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。,思 考,參數(shù)估計(jì),另一種確定參數(shù)的方法測(cè)試分析,將模型改記作,只需估計(jì) a,b,理論上，已知t=184, n=6061, 再有一組(t, n)數(shù)據(jù)即可,實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合,現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：,用最小二乘法可得,模 型 檢 驗(yàn),應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)

9、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?模 型 應(yīng) 用,回答提出的問(wèn)題：由模型算得 n = 4450 時(shí) t = 116.4分， 剩下的錄像帶能錄 184-116.4= 67.6分鐘的節(jié)目。,揭示了“t 與 n 之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律， 當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì) a,b 即可。,問(wèn)題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài),材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),建模,熱傳導(dǎo)定律,Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù),2.7 雙層玻璃窗的功效,Ta,Tb,記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1,Ta內(nèi)層玻璃

10、的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，,取k1/k2 =16,建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。,房間通過(guò)天花板、墻壁 損失的熱量更多。,雙層窗的功效不會(huì)如此之大,問(wèn)題,甲有物品X, 乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，商

11、定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。,用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0, 乙占有Y的數(shù)量為y0, 作圖：,若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y),都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),2.8 實(shí)物交換,甲的無(wú)差別曲線,分析與建模,如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1, p2對(duì)甲是無(wú)差別的，,線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，,比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。,無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：,單調(diào)

12、減(x增加, y減小),下凸(凸向原點(diǎn)),互不相交,在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的 y換取較少的 x;,在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的 x換取較少的 y。,甲的無(wú)差別曲線族記作,f(x,y)=c1,c1滿意度,（f 等滿意度曲線）,乙的無(wú)差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）,雙方的交換路徑,乙的無(wú)差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系xOy, 且反向）,甲的無(wú)差別曲線族 f=c1,雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上,因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p, (雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p,兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB,p,交換方案的進(jìn)一步確定,交換方案 交換后甲的占有量 (x,y)

13、,0 xx0, 0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn),交換路徑AB,等價(jià)交換原則,X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為,(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線CD,AB與CD的交點(diǎn)p,設(shè)X單價(jià)a, Y單價(jià)b, 則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0),帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向,簡(jiǎn)化問(wèn)題,海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向，,2.9 啟帆遠(yuǎn)航,模型分析,風(fēng)(通過(guò)帆)對(duì)船的推力w,風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假設(shè),w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2，,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假設(shè),w2與帆面平行，可忽略,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正東方向速度分量v1=vcos,航向速度v與力f=f1-p1成正比,v=k1(f1-p1),2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 當(dāng)固定時(shí)求使f1最大,f1=wcos(-2)-cos/2,= k1(f1-p1)