1、數(shù)學(xué)和思維發(fā)展的關(guān)系，人的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，顯示出多方面性。 但是，邏輯性、精密、深入、聰明的思維是每個(gè)人都想達(dá)到的最高境界之一。 數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育之所以如此受到重視，不是因?yàn)槠鋸V泛的用途，而是因?yàn)閺膽?yīng)用的角度看數(shù)學(xué)也不能完全看清楚。 上次我們除了說明了數(shù)學(xué)可以提供觀察世界的一般觀念和方法外，實(shí)際上數(shù)學(xué)在人的其他發(fā)展，特別是人的思想發(fā)展中有著不可或缺的作用和價(jià)值，數(shù)學(xué)為人的更完美的發(fā)展提供了良好的訓(xùn)練。 數(shù)學(xué)和思維發(fā)展的關(guān)系，多把數(shù)學(xué)形容為思維體操。 培根說哲理使人深沉，詩歌使人聰明，演算使人精密。 其實(shí)數(shù)學(xué)不僅要使人精密，數(shù)學(xué)也同樣要使人深刻，使人聰明的哲學(xué)，詩歌不要求

2、每個(gè)人做數(shù)學(xué)，1、歸納和完全歸納，思維的一種形態(tài)是歸納。 那么，歸納性質(zhì)的特征是什么呢？ 歸納就是通過觀察分析有限數(shù)量的同類對(duì)象，推測(cè)一個(gè)共性或者規(guī)律，證明其共性確實(shí)是正確的一個(gè)思維方法。 在“同類客體”有限的情況下，逐一驗(yàn)證客體可以得出結(jié)論(正確還是錯(cuò)誤)，但是，“同類客體”不貧窮，或者實(shí)際上無限有日子，我們本來的思維方法就沒有說服力。 因此，必須處理無限的思維方法。 即必須尋找數(shù)學(xué)要求的完全歸納法，確保其精準(zhǔn)性。 1、歸納法和完全歸納法，是我們熟知的完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法。 讓我們看幾個(gè)例子。 1、歸納和完全歸納，1、歸納和完全歸納，1、歸納和完全歸納，這表示考察一組對(duì)象的性質(zhì)和規(guī)則時(shí)，可能

3、有錯(cuò)誤。 究其原因，“有限多”是無法應(yīng)對(duì)“無限多”的思維方法的。 因?yàn)椴荒菢幼龅脑捜菀装l(fā)生問題。 這個(gè)方法通常是不完全的歸納。 1、歸納和完全歸納，數(shù)學(xué)對(duì)歸納的完全性要求很嚴(yán)格，其意義不僅對(duì)所有自然科學(xué)都很重要，對(duì)人文社科也很重要。 借鑒數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，可以大幅度提高社會(huì)科學(xué)學(xué)科的科學(xué)性。 舉例證據(jù)的方法沒有完全總結(jié)，顯然不能接受。 目前，許多社會(huì)科學(xué)學(xué)科如此解釋命題，科學(xué)性明顯受到質(zhì)疑。 社會(huì)科學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)科2、邏輯思維的代表：演繹、歸納具有完全性時(shí)，其方法可以說屬于邏輯范疇。 邏輯思維的代表性之一是演繹性思考。 演義思維最初來自幾何學(xué)，其影響的廣泛性特別重視演繹科學(xué)的地位。 實(shí)際上，某學(xué)科是

4、否成熟是以它是否形成演繹體系(公理體系)為指標(biāo)的。 數(shù)學(xué)的這一特征與很強(qiáng)的邏輯性和抽象性密切相關(guān)。 2、邏輯思維的代表：演繹、抽象：強(qiáng)抽象弱抽象。任何四邊形、凸四邊形、梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、強(qiáng)抽象、弱抽象、2、邏輯思維的代表：演繹、例子17世紀(jì)：冪函數(shù)(多項(xiàng)式)的代名詞。 18世紀(jì)：公式(初等函數(shù))。 歐拉給出了y=f(x )的表達(dá)。 初等函數(shù)非初等函數(shù)(級(jí)數(shù)，積分表示)解析式(一套)的分段函數(shù)(假函數(shù)，柯西引入了“對(duì)應(yīng)”這個(gè)術(shù)語，但解析式) Dirichlet函數(shù)： Dirichlet函數(shù)從公式中突破了解析式的制約，而且還有2，邏輯思維的代表：演繹，這個(gè)表示式這也反映了認(rèn)識(shí)論中的基本內(nèi)涵。 主觀判斷主觀事物要小心，不要把主觀臆測(cè)與主觀設(shè)想混淆。 科學(xué)需要主觀的構(gòu)想。2、邏輯思維的代表：演繹、Dirichlet函數(shù)對(duì)應(yīng)規(guī)則(所謂對(duì)應(yīng)是什么秩序?qū)?x，y ) (新概念)集合函數(shù)(泛函數(shù))廣義函數(shù)(函數(shù))上述過程實(shí)際上是演繹性思維的弱抽象的例子Weiestrauss是到處連續(xù)但不可缺少的例子這個(gè)例子驚動(dòng)了數(shù)學(xué)家：直觀地告訴我們這個(gè)函數(shù)不能存在.2，直觀地欺騙了我們.邏輯思維的代表：演繹，函數(shù)關(guān)聯(lián)函數(shù)不可缺少的函數(shù)到處都是連續(xù)的. 強(qiáng)抽象過程。 抽象性依然很強(qiáng)。 數(shù)學(xué)的抽象方法很多，學(xué)習(xí)和實(shí)踐需要逐漸加深理解，你要理解和云同步，抽