1、1.1.2余弦定理(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題知識(shí)點(diǎn)一余弦定理的推導(dǎo)思考1根據(jù)勾股定理，若ABC中，C90，則c2a2b2a2b22abcos C試驗(yàn)證式對(duì)等邊三角形還成立嗎？你有什么猜想？思考2在c2a2b22abcos C中，abcos C能解釋為哪兩個(gè)向量的數(shù)量積？你能由此證明思考1的猜想嗎？梳理余弦定理的發(fā)現(xiàn)是基于已知兩邊及其夾角求第三邊的需要因?yàn)閮蛇吋捌鋳A角恰好是確定平面向量一組基底的條件，所以能把第三邊用基底表示進(jìn)而求出模長(zhǎng)另外，也可通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理或建立坐標(biāo)系利用兩點(diǎn)間的距離公式

2、證明余弦定理知識(shí)點(diǎn)二余弦定理的呈現(xiàn)形式1a2_，b2_，c2_.2cos _；cos _；cos _.知識(shí)點(diǎn)三適宜用余弦定理解決的兩類基本的解三角形問題思考1觀察知識(shí)點(diǎn)二第1條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量？你認(rèn)為可用來解哪類三角形？思考2觀察知識(shí)點(diǎn)二第2條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量？你認(rèn)為可用來解哪類三角形？梳理余弦定理適合解決的問題：(1)已知兩邊及其夾角，解三角形；(2)已知三邊，解三角形類型一余弦定理的證明例1已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c.反思與感悟所謂證明，就是在新舊知識(shí)間架起一座橋梁橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個(gè)公式，要觀察公式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系已

3、經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，看有沒有相似的地方跟蹤訓(xùn)練1例1涉及線段長(zhǎng)度，能不能用解析幾何的兩點(diǎn)間距離公式來研究這個(gè)問題？類型二用余弦定理解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角例2如圖，在ABC中，已知a5，b4，C120，求c.反思與感悟已知三角形兩邊及其夾角時(shí)，應(yīng)先從余弦定理入手求出第三邊，再利用正弦定理求其余的角跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.命題角度2已知三邊例3在ABC中，已知a3，b2，c，求此三角形各個(gè)角的大小及其面積(精確到0.1)反思與感悟已知三邊求三角，可利用余弦定理的變形cos A，cos B，cos C求一個(gè)角，求其余角時(shí)，可用余弦定理也可用正弦定理跟蹤訓(xùn)練3在ABC

4、中，sin Asin Bsin C245，判斷三角形的形狀1一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和3，它們夾角的余弦值是，則三角形的另一邊長(zhǎng)為()A52 B2 C16 D42在ABC中，a7，b4，c，則ABC的最小角為()A. B. C. D.3如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為()A. B. C. D.4在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則ABC是()A等邊三角形B直角三角形，且有一個(gè)角是30C等腰直角三角形D等腰三角形，且有一個(gè)角是301利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形(2)已知三邊求三角形的任意一角2余弦定理與

5、勾股定理的關(guān)系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角(2)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角(3)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1當(dāng)abc時(shí)，C60，a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2，即式仍成立，據(jù)此猜想，對(duì)一般ABC，都有c2a2b22abcos C.思考2abcos C|C|C|cos，.a2b22abcos C222()22c2.猜想得證知識(shí)點(diǎn)二1b2c22bcco

6、s Ac2a22cacos Ba2b22abcos C2ABC知識(shí)點(diǎn)三思考1每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量，兩邊及其夾角故如果已知三角形的兩邊及其夾角，可用余弦定理解三角形思考2每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量，即三角形的三條邊，故如果已知三角形的三邊，也可用余弦定理解三角形題型探究類型一例1解如圖，設(shè)Ca，Cb，Ac，由ACC，知cab，則|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22|a|b|cos C.所以c2a2b22abcos C.跟蹤訓(xùn)練1解如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A，即a2b2c22bccos A.同理可證b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.類型二命題角度1例2解由余弦定理，得c2a2b22abcos 120，因此c .跟蹤訓(xùn)練2A30命題角度2例3解如圖，由余弦定理，得cos C，因此C120.再由正弦定理，得sin A0.596 0，因此A36.6或A143.