1、3.4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用1了解數(shù)學(xué)建模的基本步驟，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本思想(難點(diǎn))2了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)模型的意義，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理函數(shù)模型及其應(yīng)用閱讀教材P98至P100，完成下列問(wèn)題1常見(jiàn)的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：f (x)kxb(k，b為常數(shù)，k0)；(2)反比例函數(shù)模型：f (x)b(k，b為常數(shù)，k0)；(3)二次函數(shù)模型：f (x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)；(4)指數(shù)函數(shù)模型：f (x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b0，b1)；(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f (x)mlogaxn(m，n，a為常數(shù)，m0，a0，a1)

2、；(6)冪函數(shù)模型：f (x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n1)(7)分段函數(shù)模型2用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，初步選擇模型；(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中1某商店每月利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為2%，若12月份的利潤(rùn)是當(dāng)年1月份利潤(rùn)的k倍，則k_.【解析】設(shè)1月份利潤(rùn)為x，則12月份的利潤(rùn)yx(12%)11kx，k1.0211.【答案】1.02112在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購(gòu)買(mǎi)量y

3、t與單價(jià)x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，如果購(gòu)買(mǎi)1 000 t，每噸為800元；購(gòu)買(mǎi)2 000 t，每噸為700元，一客戶購(gòu)買(mǎi)400 t，單價(jià)應(yīng)該是_元【解析】依題意，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，由x800，y1 000及x700，y2 000，可得k10，b9 000，即y10x9 000，將y400代入得x860(元)【答案】860小組合作型利用已知函數(shù)模型解實(shí)際問(wèn)題1.一次、二次函數(shù)模型通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間講座開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散，分析結(jié)果和

4、實(shí)驗(yàn)表明，用f (x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(f (x)值越大，表示接受的能力越強(qiáng))，x表示提出和講授概念的時(shí)間(單位：min)，可有以下的公式：f (x)(1)開(kāi)始后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長(zhǎng)時(shí)間？(2)開(kāi)講后5 min與開(kāi)講后20 min比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？(3)一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13 min時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題？【精彩點(diǎn)撥】精讀題目，理解題意及分段函數(shù)的意義進(jìn)行求解【自主解答】(1)當(dāng)0x10時(shí)，f (x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.故f (x)在(0,10上單調(diào)遞增，最

5、大值為f (10)0.1(3)259.959；當(dāng)16x30時(shí)，f (x)單調(diào)遞減，f (x)31610759.因此，開(kāi)講后10 min，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力(值為59)，并維持6 min.(2)f (5)0.1(513)259.959.96.453.5，f (20)3201074753.5f (5)因此，開(kāi)講后5 min學(xué)生的接受能力比開(kāi)講后20 min強(qiáng)一些(3)當(dāng)0x10時(shí)，令f (x)55，則0.1(x13)24.9，(x13)249.所以x20或x6，但0x10，故x6.當(dāng)16x30時(shí)，令f (x)55，則3x10755.所以x17.因此，學(xué)生達(dá)到(或超過(guò))55的接受能力的時(shí)間為17

6、61113(min)，所以老師來(lái)不及在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題再練一題1某公司試銷(xiāo)一種新產(chǎn)品，規(guī)定試銷(xiāo)時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本單價(jià)500元/件，又不高于800元/件經(jīng)試銷(xiāo)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元/件)近似滿足一次函數(shù)ykxb的關(guān)系(圖象如圖343所示)(1)根據(jù)圖象，求一次函數(shù)ykxb的表達(dá)式；(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)銷(xiāo)售總價(jià)成本總價(jià))為S元，求該公司可獲得的最大毛利潤(rùn)，并求出此時(shí)相應(yīng)的銷(xiāo)售單價(jià)圖343【解】(1)由題圖可知所求函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(600,400)，(700,300)，得解得所以yx1 000(500x800)(2)由(1)可知Sxy500y

7、(x1 000)(x500)x21 500x500 000(x750)262 500(500x800)，故當(dāng)x750時(shí)，Smax62 500.即銷(xiāo)售單價(jià)為750元/件時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤(rùn)為62 500元2利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v5log2，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位；(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？ 【精彩點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)知v求Q，直接求得；第(2)問(wèn)知Q求v，也是直接代入【自主解答】(1)由題知，當(dāng)

8、燕子靜止時(shí)，它的速度v0，代入題中給出的公式可得：05log2，解得Q10.即燕子靜止時(shí)的耗氧量是10個(gè)單位(2)將耗氧量Q80代入題中給出的公式得：v5log25log2815(m/s)即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度為15 m/s.再練一題2某學(xué)校為了預(yù)防甲型H1N1流感，對(duì)教室采用藥熏消毒已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為yta(a為常數(shù))，如圖344所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：圖344(1)從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)；(

9、2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)_小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室【解析】藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比，則設(shè)函數(shù)為ykt(k0)，將點(diǎn)代入可得k10，則y10t；將點(diǎn)代入yta，得a. 1應(yīng)用已知函數(shù)模型解題，有兩種題型：(1)直接依據(jù)題中的函數(shù)解析式解決相關(guān)問(wèn)題；(2)若函數(shù)解析式中含有參數(shù)，將題中相應(yīng)數(shù)據(jù)代入解析式，求得參數(shù)，從而確定函數(shù)解析式，并解決問(wèn)題，這時(shí)用到的是待定系數(shù)法2信息量大是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一大特點(diǎn)，當(dāng)所給條件錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)難以理清關(guān)系時(shí)，可采用列表分析的方法，有

10、些典型應(yīng)用題也可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，建立坐標(biāo)系等3有些實(shí)際問(wèn)題，可能需要多個(gè)函數(shù)模型，這時(shí)應(yīng)注意分段函數(shù)模型的使用，在寫(xiě)分段函數(shù)時(shí)必須注意區(qū)間端點(diǎn)值不能重復(fù)，也不能遺漏探究共研型利用數(shù)據(jù)擬合建立函數(shù)模型解實(shí)際應(yīng)用題探究1什么是數(shù)據(jù)擬合？【提示】數(shù)據(jù)擬合是研究變量之間相互影響、相互聯(lián)系，并給出近似的數(shù)學(xué)表達(dá)式的一種方法探究2用數(shù)據(jù)擬合法如何建立函數(shù)模型？【提示】一般是先做出散點(diǎn)圖，近而根據(jù)散點(diǎn)趨勢(shì)選擇相關(guān)模型予以擬合某人對(duì)西紅柿市場(chǎng)做了一次調(diào)查，通過(guò)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/102 kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t50110250種植成本Q150108150(1)根據(jù)

11、上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogb t.(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)這四種函數(shù)增長(zhǎng)速度的特點(diǎn)選擇適合表中數(shù)據(jù)函數(shù)模型，然后再用該模型解決問(wèn)題【自主解答】(1)做出散點(diǎn)圖，如圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，應(yīng)選取二次函數(shù)yat2btc進(jìn)行描述由題意知解得a，b，c.Qt2t.(2)由(1)知，Q(t150)2100.當(dāng)t150天時(shí)，西紅柿的種植成本是最低100元/102 kg.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過(guò)建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程，如下圖所示再練一題3有一

12、組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t12345y1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是_(填序號(hào))ylogax(a1)；yaxb(a1)；yax2b(a0)；ylogaxb(a1)【解析】通過(guò)所給數(shù)據(jù)結(jié)合散點(diǎn)圖可知y隨x增大，其增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，而中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變【答案】1用長(zhǎng)度為20的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地，使其一邊靠墻，若靠墻的一邊長(zhǎng)設(shè)為x，則長(zhǎng)方形的面積為_(kāi)【解析】因?yàn)榭繅Φ囊贿呴L(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為10，則長(zhǎng)方形的面積為yx(0x20)【答案】yx(0x20)2已知：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988

13、.02則x，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a，b為待定系數(shù))_(填序號(hào))(1)ya；(2)yabx；(3)yalogb x；(4)yabx.【解析】由表知x可以取“0”，排除(1)、(3)，對(duì)于(2)：當(dāng)x0時(shí)，ya1，a1，當(dāng)x1時(shí)，yab2.02.b可以取1，當(dāng)x2時(shí)，y123；當(dāng)x3時(shí)，y134與表中各數(shù)據(jù)相差較大，可知只有(4)正確【答案】(4)3某公司市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員的個(gè)人月收入與其每月的銷(xiāo)售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，由圖345中給出的信息可知，營(yíng)銷(xiāo)人員沒(méi)有銷(xiāo)售量時(shí)的收入是_元圖345【解析】由題意可知，收入y是銷(xiāo)售量x的一次函數(shù)，設(shè)yaxb，將(1,800)，(2,1 300)代入得a500，b300.當(dāng)銷(xiāo)售量為x0時(shí)，y300.【答案】3004一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過(guò)藥后感覺(jué)好多了，中午時(shí)亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開(kāi)始上升直到半夜亮亮才感覺(jué)身上不那么發(fā)燙了各圖能基本上反映出亮亮這一天(0時(shí)24時(shí))體溫的變化情況的是_(填序號(hào))【解析】從亮亮的體溫變化可以看出圖象應(yīng)為：早晨37 以上37 (中午)晚上37 .【答案】(3)5某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬(wàn)元，每生產(chǎn)100臺(tái)，需要增加成本(即另增加投入)0.25萬(wàn)元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，銷(xiāo)售收入函數(shù)為R(x)5x