1、9.8曲線與方程最新考綱考情考向分析1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系2.了解解析幾何的基本思想，利用坐標(biāo)法研究曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.以考查曲線的軌跡、軌跡方程為主題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，題目為中檔題，有時(shí)也會(huì)在選擇、填空題中出現(xiàn).1曲線與方程的定義一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：那么，這個(gè)方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線2求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟知識(shí)拓展1“曲線C是方程f(x，y)0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f

2、(x，y)0的解”的充分不必要條件2曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系(1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線()(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2y2.()(4)方程y與xy2表示同一曲線()(5)ykx與xy表示同一直線()(6)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的()題組二教材改編

3、2已知點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()A雙曲線 B橢圓C圓 D拋物線答案D解析由已知|MF|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線3曲線C：xy2上任一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為_答案2解析在曲線xy2上任取一點(diǎn)(x0，y0)，則x0y02，該點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為|x0|y0|x0y0|2.題組三易錯(cuò)自糾4(2017廣州調(diào)研)方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()A兩條直線 B兩條射線C兩條線段 D一條直線和一條射線答案D解析原方程可化為或10，即2x3y10(x3)或x4，

4、故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線5已知M(1,0)，N(1,0)，|PM|PN|2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線左支C一條射線 D雙曲線右支答案C解析由于|PM|PN|MN|，所以D不正確，應(yīng)為以N為端點(diǎn)，沿x軸正向的一條射線6已知M(2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_答案x2y24(x2)解析連接OP，則|OP|2，P點(diǎn)的軌跡是去掉M，N兩點(diǎn)的圓，方程為x2y24(x2).題型一定義法求軌跡方程典例 (2018棗莊模擬)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程

5、解由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2)思維升華 應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解跟蹤訓(xùn)練 已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖?/p>

6、標(biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線解如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|O1O2|4，得O1(2,0)，O2(2,0)設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|r1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程解(1)由題意，得c，e，因此a3，b2a2c24，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)若兩切線的斜率均存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程是yk

7、(xx0)y0，則由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切線的斜率分別為k1，k2，于是有k1k21，即1，即xy13(x03)若兩切線中有一條斜率不存在，則易得或或或經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足xy13.因此，動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)的軌跡方程是x2y213.題型三相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程典例 (2017合肥質(zhì)檢)如圖所示，拋物線E：y22px(p0)與圓O：x2y28相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.過(guò)劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)作圓O的切線交拋物

8、線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)M.(1)求p的值；(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程解(1)由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知拋物線E：y22x.設(shè)C，D，y10，y20，切線l1的斜率為k，則切線l1：yy1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的方程為yx，同理l2的方程為yx.聯(lián)立解得易知CD的方程為x0xy0y8，其中x0，y0滿足xy8，x02,2，由得x0y22y0y160，則代入可得M(x，y)滿足可得代入xy8，并化簡(jiǎn)，得y21，考慮到x02,2，知x4，2

9、，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y21，x4，2思維升華 “相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程跟蹤訓(xùn)練 (2018安陽(yáng)調(diào)研)如圖，動(dòng)圓C1：x2y2t2，1t3與橢圓C2：y21相交于A，B，C，D四點(diǎn)點(diǎn)A1，A2分別為C2的左、右頂點(diǎn)，求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程解由橢圓C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，由曲線的對(duì)稱性，得B(x0，y0)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，直線AA1的方程為y(x

10、3)直線A2B的方程為y(x3)由相乘得y2(x29)又點(diǎn)A(x0，y0)在橢圓C2上，故y1.將代入得y21(x3，y0)因此點(diǎn)M的軌跡方程為y21(x3，y0)分類討論思想在曲線方程中的應(yīng)用典例 (12分)已知拋物線y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，2)，橢圓1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求拋物線與橢圓的方程；(2)若P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，(0)，試求Q的軌跡思想方法指導(dǎo) (1)由含參數(shù)的方程討論曲線類型時(shí)，關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，一般情況下，根據(jù)x2，y2的系數(shù)與0的關(guān)系及兩者之間的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論(2)等價(jià)變換是解題的關(guān)鍵：即必須分三種情

11、況討論軌跡方程(3)區(qū)分求軌跡方程與求軌跡問題規(guī)范解答解(1)因?yàn)閽佄锞€y22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，2)，所以(2)24p，解得p2.所以拋物線的方程為y24x，其焦點(diǎn)為F(1,0)，即橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，得c1.又橢圓的離心率為，所以a2，可得b2413，故橢圓的方程為1.3分(2)設(shè)Q(x，y)，其中x2,2，設(shè)P(x，y0)，因?yàn)镻為橢圓上一點(diǎn)，所以1，解得y3x2.由可得2，故2，得x22y23，x2,26分當(dāng)2，即時(shí)，得y212，點(diǎn)Q的軌跡方程為y2，x2,2，此軌跡是兩條平行于x軸的線段；8分當(dāng)2，即0，即時(shí)，得到1.此軌跡表示長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足x2,2的部分12分1(20

12、17衡水模擬)若方程x21(a是常數(shù))，則下列結(jié)論正確的是()A任意實(shí)數(shù)a方程表示橢圓B存在實(shí)數(shù)a方程表示橢圓C任意實(shí)數(shù)a方程表示雙曲線D存在實(shí)數(shù)a方程表示拋物線答案B解析當(dāng)a0且a1時(shí)，方程表示橢圓，故選B.2設(shè)點(diǎn)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|1，則點(diǎn)P的軌跡方程是()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22答案D解析如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)，連接MA，則MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.3(2018湛江模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(1,3)，若點(diǎn)C滿足12(

13、O為原點(diǎn))，其中1，2R，且121，則點(diǎn)C的軌跡是()A直線 B橢圓 C圓 D雙曲線答案A解析設(shè)C(x，y)，則(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，化簡(jiǎn)得x2y50，表示一條直線4(2017宜春質(zhì)檢)設(shè)定點(diǎn)M1(0，3)，M2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM1|PM2|a(其中a是正常數(shù))，則點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓 B線段C橢圓或線段 D不存在答案C解析a是正常數(shù)，a26，當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)“”成立當(dāng)|PM1|PM2|6時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段M1M2；當(dāng)|PM1|PM2|6時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，故選C.5已知點(diǎn)P是直線2xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(1，2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一

14、點(diǎn)，且|PM|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案D解析由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30，得2xy50.6(2018廣州模擬)如圖，斜線段AB與平面所成的角為60，B為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB30，則點(diǎn)P的軌跡是()A直線 B拋物線 C橢圓 D雙曲線的一支答案C解析本題可構(gòu)造如圖圓錐母線與中軸線夾角為30，然后用平面去截，使直線AB與平面的夾角為60，則截口為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，P的軌跡為橢圓故選C.7已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P

15、的軌跡所包圍的圖形的面積為_答案4解析設(shè)P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的軌跡為以(2,0)為圓心，2為半徑的圓即軌跡所包圍的圖形的面積等于4.8(2018梅州質(zhì)檢)在ABC中，|4，ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且|2，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_答案1(x)解析以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個(gè)切點(diǎn)，則|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2)9已知ABC的頂點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,0)，C為動(dòng)點(diǎn)，且滿足sin Bsin Asin C，則C點(diǎn)的軌跡方程為_答案1(x

16、5)解析由sin Bsin Asin C可知bac10，則|AC|BC|108|AB|，滿足橢圓定義令橢圓方程為1，則a5，c4，b3，則軌跡方程為1(x5)10.如圖，P是橢圓1(ab0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_答案1解析由于，又22，設(shè)Q(x，y)，則，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.11. (2017廣州模擬)已知點(diǎn)C(1,0)，點(diǎn)A，B是O：x2y29上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程；(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出點(diǎn)的

17、坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)連接CP，OP，由0，知ACBC，|CP|AP|BP|AB|，由垂徑定理知，|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(x2y2)(x1)2y29，化簡(jiǎn)，得x2xy24.(2)存在根據(jù)拋物線的定義，到直線x1的距離等于到點(diǎn)C(1，0)的距離的點(diǎn)都在拋物線y22px(p0)上，其中1.p2，故拋物線方程為y24x，由方程組得x23x40，解得x1或x4.由x0，故取x1，此時(shí)y2.故滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(1，2)和(1,2)12.如圖，P是圓x2y24上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)D，點(diǎn)M滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的

18、方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；(2)過(guò)點(diǎn)N(3,0)的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程解(1)設(shè)M(x，y)，則D(x,0)，由知，P(x,2y)，點(diǎn)P在圓x2y24上，x24y24，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為y21，且軌跡C為橢圓(2)設(shè)E(x，y)，由題意知l的斜率存在，設(shè)l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.四邊形OAEB為平行四邊形，(x1x2，y1y2)，又(x，y)，消去k，得x24y26x0，由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0，得k2，0x0，滿足題意14已知圓的方程為x2y24，若拋物線過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(1，0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程是_答案1(y0)解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B，O作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，O