1、54數(shù)列求和知識梳理1基本數(shù)列求和公式法(1)等差數(shù)列求和公式：Snna1d.(2)等比數(shù)列求和公式：Sn2非基本數(shù)列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分組求和法；(3)并項求和法；(4)錯位相減法；(5)裂項相消法 常見的裂項公式：；()3常用求和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)122232n2；(4)132333n32.診斷自測1概念辨析(1)已知等差數(shù)列an的公差為d，則有.()(2)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(3)求Sna2a23a3nan時只要把上式等號兩邊

2、同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得()(4)若數(shù)列a1，a2a1，anan1是(n1，nN*)首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列an的通項公式是an.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5 P47T4)數(shù)列an中，an，若an的前n項和為，則項數(shù)n為()A2014 B2015 C2016 D2017答案D解析an，Sn1，又前n項和為，所以n2017.故選D.(2)(必修A5 P38T8)一個球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時，經(jīng)過的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(1

3、29)答案A解析第10次著地時，經(jīng)過的路程為1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)故選A.3小題熱身(1)數(shù)列an的通項公式為anncos，其前n項和為Sn，則S2018等于()A1010 B2018 C505 D1010答案A解析易知a1cos0，a22cos2，a30，a44，.所以數(shù)列an的所有奇數(shù)項為0，前2016項中所有偶數(shù)項(共1008項)依次為2,4，6,8，2014,2016.故S20160(24)(68)(20142016)1008.a20170，a20182018cos2018，S2018S2016a201810082

4、0181010.故選A.(2)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.答案解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差數(shù)列，且公差為1，而1，1(n1)(1)n，Sn.題型1錯位相減法求和已知數(shù)列an的前n項和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.利用anSnSn1(n2)、方程思想、錯位相減法解(1)由題意知，當(dāng)n2時，anSnSn16n5.當(dāng)n1時，a1S111，所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)

5、知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.方法技巧利用錯位相減法的一般類型及思路1適用的數(shù)列類型：anbn，其中數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q1的等比數(shù)列2思路：設(shè)Sna1b1a2b2anbn，(*)則qSna1b2a2b3an1bnanbn1，(*)(*)(*)得：(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就轉(zhuǎn)化為根據(jù)公式可求的和如典例提醒：用錯位相減法求和時容易出現(xiàn)以下兩點錯誤：(1)兩式相減時最后一項因為沒有

6、對應(yīng)項而忘記變號(2)對相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識模糊，錯把中間的n1項和當(dāng)作n項和沖關(guān)針對訓(xùn)練已知首項都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項和Sn.解(1)因為anbn1an1bn2bn1bn0(bn0，nN*)，所以2，即cn1cn2.所以數(shù)列cn是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故cn2n1.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是數(shù)列an的前n項和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，相減得2Sn12(31

7、323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.題型2裂項相消法求和Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和利用遞推公式，anSnSn1(n2)求通項，裂項相消求和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，所以an1an2.又由a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tn

8、b1b2bn.條件探究將典例中的條件變?yōu)椋阂阎炔顢?shù)列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和解(1)因為S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tnb1b2bn.結(jié)論探究條件探究中的條件不變，求解(2)變?yōu)椋毫頱n(1)n1，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解bn(1)n1(1)n1(1)n1.當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn1.所以Tn.方法技巧幾種常見的裂項相消及解題

9、策略1常見的裂項方法(其中n為正整數(shù))數(shù)列裂項方法 (k為非零常數(shù))() (a0，a1)logaloga(n1)loganan為等差數(shù)列，公差為d(d0)，2.利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使前后相等沖關(guān)針對訓(xùn)練已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12，且滿足Snan1n1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnlog3(an1)，設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn.解(1)Snan1n1(nN*)，當(dāng)n1時，2a22，解得a28，當(dāng)n2時，Sn1ann，兩式相減，并化簡

10、，得an13an2，即an113(an1)，n1時，a213(a11)9，所以an1是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)證明：由bnlog3(an1)log33nn，得，Tn100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440 B330 C220 D110答案A解析設(shè)1(12)(122n1)(122t)2m(其中m，n，tN,0tn)，則有Nt1，因為N100，所以n13.由等比數(shù)列的前n項和公式可得2n1n22t112m.因為n13，所以2nn2，所以2n12nn2，即2n1n22n，因為2t110，所以2m2n1n22n，故m

11、n1，因為2t112n11，所以2m2n2n3，故mn1.所以mn1，從而有n2t13，因為n13，所以t3.當(dāng)t3時，N95，不合題意；當(dāng)t4時，N440，滿足題意，故所求N的最小值為440.故選A.2(2017湖北月考)已知等差數(shù)列an的公差和首項都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，則()A2 B3 C5 D7答案B解析等差數(shù)列an中，a2，a4，a8成等比數(shù)列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，d2a1d，d0，da1，3.故選B.3(2017東城區(qū)期末)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a33，S410，則_.答案解析設(shè)公差為d，則ann.前n項和Sn12n，2，22

12、2.4(2018河南質(zhì)檢)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60，解得q2或q3，又因為q0，所以q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.(2)設(shè)

13、數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述兩式相減，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18，得Tn4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項和為4n1. 重點保分 兩級優(yōu)選練A級一、選擇題1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S210，S555，則an100an98()A8n6 B4n1 C8n3 D4n3答案A解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1d，由S210，S555，可得得所以ana1(

14、n1)d4n1，則an100an982an18n6.故選A.2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差是()A1 B2 C4 D6答案B解析由1得a1d1，所以d2.故選B.3若兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別是Sn，Tn，已知，則()A. B. C7 D.答案D解析.故選D.4已知函數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100等于()A0 B100 C100 D102答案B解析由題意，得a1a2a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)100.故選B.5已知數(shù)列an滿足an1，且a

15、1，則該數(shù)列的前2018項的和等于()A1512 B1513 C1513.5 D2018答案C解析因為a1，又an1，所以a21，從而a3，a41，即得an故數(shù)列的前2018項的和S201810091513.5.故選C.6在數(shù)列an中，已知對任意nN*，a1a2a3an3n1，則aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)答案B解析因為a1a2an3n1，所以a1a2an13n11(n2)則n2時，an23n1.當(dāng)n1時，a1312，適合上式，所以an23n1(nN*)則數(shù)列a是首項為4，公比為9的等比數(shù)列故選B.7設(shè)直線nx(n1)y(nN*)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形

16、面積為Sn，則S1S2S2017的值為()A. B. C. D.答案D解析直線與x軸交于，與y軸交于，Sn.原式1.故選D.8已知an為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和若a3a5a1，且a4與a7的等差中項為，則S5等于()A35 B33 C31 D29答案C解析設(shè)等比數(shù)列an的公比是q，所以a3a5aq6a1，得a1q6，即a7.又a4a72，解得a42，所以q3，所以q，a116，故S531.故選C.9已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則下列說法中一定成立的是()A若a30，則a20170，則a20180，則S20170 D若a40，則S20180答案C解析等比數(shù)列an的公比q0.對于A，若a

17、30，則a1q20，所以a10，所以a2017a1q20160，所以A不成立；對于B，若a40，則a1q30，所以a1q0，所以a2018a1q20170，所以B不成立；對于C，若a30，則a10，所以當(dāng)q1時，S20170，當(dāng)q1時，S20170(1q與1q2017同號)，所以C一定成立，易知D不一定成立故選C.10在數(shù)列an中，an0，a1，如果an1是1與的等比中項，那么a1的值是()A. B. C. D.答案C解析由題意，可得a(2an1anan11)(2an1anan11)0an1an111，(n1)n1an，a11.故選C.二、填空題11Sn111111_.答案解析an(10n1)

18、，(101)(1021)(10n1)(1010210n)n.12數(shù)列an滿足：a1，且an1(nN*)，則_.答案2017解析由題意可知1，又1，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以1，所以nn，則20182017.13設(shè)f(x)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值為_答案3解析6(5)1，f(5)，f(4)，f(5)，f(6)共有11112項由f(5)，f(6)；f(4)，f(5)；f(0)，f(1)共有6對，且該數(shù)列為等差數(shù)列又f(0)f(1)，f(5)f(4)f(6)63.14已知數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，其前n項和為S

19、n，若an1且S310，則S2016_.答案6720解析當(dāng)a1為奇數(shù)時，a2，此時若a2為奇數(shù)，則a3，S3a110，解得a15，此時數(shù)列an為5,3,2,5,3,2，.當(dāng)a1為奇數(shù)時，a2，此時若a2為偶數(shù)，則a33a211，S3a13a1110，解得a13，此時數(shù)列an為3,2,5,3,2,5，.當(dāng)a1為偶數(shù)時，a23a11，此時a2為奇數(shù)，則a3，S3a13a11a1110，解得a12，此時數(shù)列an為2,5,3,2,5,3，.上述三種情況中，數(shù)列an均為周期數(shù)列67232016，S2016672S36720.B級三、解答題15已知Sn是數(shù)列an的前n項和，且滿足Sn2ann4.(1)證明

20、：Snn2為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的前n項和Tn.解(1)證明：由題意知Sn2(SnSn1)n4(n2)，即Sn2Sn1n4，所以Snn22Sn1(n1)2，又易知a13，所以S1124，所以Snn2是首項為4，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.16已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a2Snn4，a21，a3，a7恰為等比數(shù)列bn的前3項(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)若cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)因為a2Snn4，所以a2Sn1n14(n2)，兩式相減得aa2an1，所以aa2an1(an1)2，所以an1an1.又a(a21)a7，所以(a21)2(a21)(a25)，解得a23，又a2a114，所以a1