1、第60講不等式的證明考綱要求考情分析命題趨勢1.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明2會用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形：2，會用向量遞歸方法討論排序不等式3了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題4了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法2017全國卷，232015全國卷，242015湖南卷，16(3)不等式的證明是對必修5中“不等式”的補充和深化，其中以考查綜合法、分析法、放縮法等為主另外應(yīng)用基本不等式、柯西不等式求函數(shù)的最值也是高考考查的一個方向分值：510分1比較法作差比較法與作商比較法的基本原理：(1)作差法：

2、ab0_ab_.(2)作商法：_1_ab(a0，b0)2綜合法與分析法(1)綜合法：證明不等式時，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過_推理論證_而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2)分析法：證明命題時，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的_充分條件_，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立這是一種_執(zhí)果索因_的思考和證明方法3反證法先假設(shè)要證的命題_不成立_，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的_推理_，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)_矛盾_

3、的結(jié)論，以說明假設(shè)_不正確_，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法4放縮法證明不等式時，通過把所證不等式的一邊適當?shù)豞放大_或_縮小_以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法5數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟：(1)證明當_nn0_時命題成立；(2)假設(shè)當_nk_(kN*，且kn0)時命題成立，證明_nk1_時命題也成立綜合(1)(2)可知，結(jié)論對于任意nn0，且n0，nN*都成立6柯西不等式(1)代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當adbc時等號成立(2)向量形式：設(shè)，是兩個向量

4、，則|，當且僅當是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立(3)三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3R，則.(4)一般形式：設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當且僅當bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立7排序不等式設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實數(shù)，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.當且僅當a1a2an或b1b2bn時，反序和等于順序和1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(

5、1)用反證法證明命題“a，b，c全為0”時假設(shè)為“a，b，c全不為0”. ()(2)若實數(shù)x，y適合不等式xy1，xy2，則x0，y0.()(3)不等式|xa|xb|c恒成立的充要條件是|ab|c.()(4)不等式|xa|xb|c恒成立的充要條件是|ab|c.()2若a0，b0，a，b的等差中項是，且a，b，則的最小值為(D)A2B3C4D5解析為a，b的等差中項，ab21.ab111，ab.114.的最小值為5.故選D.3設(shè)a0，b0，若是3a與3b的等比中項，則的最小值為(B)A8B4C1D解析因為3a3b3，所以ab1.(ab)2224，當且僅當，即ab時“”成立故選B.4若直線3x4y

6、2，則x2y2的最小值為_，最小值點為_.解析畫出直線3x4y2的圖象，再畫以原點為圓心的圓，要使圓和直線有交點，則最小半徑為直線與圓相切時，r，切點為直線3x4y2與4x3y0的交點因此，當x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點為.5定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不等的實數(shù)x1，x2都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為“函數(shù)”，以下函數(shù)中為“函數(shù)”的序號為_.yx31；y3x2sin x2cos x；yy解析由排序不等式原理可知x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)或f(x)是R上的增函數(shù)易知是R上的減函數(shù)；是R上的

7、偶函數(shù)；對于，y32sin0；對于，根據(jù)其圖象可以判定為增函數(shù)一比較法證明不等式比較法證明不等式的步驟 (1)作差(商)；(2)變形；(3)判斷差的符號(商與1的大小關(guān)系)；(4)下結(jié)論其中“變形”是關(guān)鍵，作差比較法中通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負【例1】 已知a，b，x，y(0，)，且，xy.求證：.證明方法一，且a，b(0，)，ba0.又xy0，bxay. 0，即.方法二x，y，a，b(0，)，要證，只需證明x(yb)y(xa)，即證xbya.而由0，得ba0.又xy0，xbya顯然成立故原不等式成立二分析法和綜合法證明不等式分析法和綜合法證

8、明不等式的技巧證明不等式，主要從目標式的結(jié)構(gòu)特征，綜合已知條件，借助相關(guān)定理公式探索思路，如果這種特征不足以明確解題方法時，就應(yīng)從目標式開始通過“倒推”分析法，尋找目標式成立的充分條件直至與已知條件吻合，然后從已知條件出發(fā)綜合寫出證明過程【例2】 (2017全國卷)已知a0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.三柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式應(yīng)用的常見

9、類型及解題策略(1)求表達式的最值依據(jù)已知條件，利用柯西不等式求最值，注意等號成立的條件(2)證明不等式注意所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，尋找柯西不等式的條件，然后證明【例3】 (1)已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，求證：1a2.(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值證明(1)由柯西不等式得(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由已知可得2b23c26d25a2，bcd3a，5a2(3a)2，即1a2，當且僅當，即2b3c6d時，等號成立(2)因為6x2y3z，所以x2y2z2，當且僅當x，即x，y，z時，x2y2z2有最小值.1設(shè)

10、abc0，則2a210ac25c2的最小值是(D)A1B2C3D4解析2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，當且僅當a5c0，ab1，a(ab)1時等號成立，如取a，b，c滿足條件故選D.2若P(x0，y0，z0)，則P與3的大小關(guān)系為_P0,1y0,1z0，3，即P0時，解集為，則6，2，無解；當aa2bab2.證明(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因為a，b都是正數(shù)，所以ab0.又因為ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.2已知a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.

11、證明因為b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc，同理，b2(a2c2)2ab2c，c2(a2b2)2abc2，相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，從而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正數(shù)，得abc0，因此abc.3已知a，b，c(0，)，求證：23.證明欲證23，只需證ab2abc3，即證c23，a，b，c(0，)，c2c33，c23成立，故原不等式成立4設(shè)a，b為正實數(shù)，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值解析(1)由22，得ab，當ab時取等號故a2b22ab1，當ab時取等號所以a2b2的最小值是1.(2)由(ab)24(ab)3，得24ab，即24ab，從而ab2.又a，b為正實數(shù)，所以ab2，所以ab2，所以ab1.5已知函數(shù)f(x)|x|2x1|，記f(x)1的解集為M.(1)求M；(2)已知aM，比較a2a1與的大小解析(1)f(x)|x|2x1|由f(x)1，得或或解得0x2，故Mx|0x2(2)由(1)知0a2，因為a2a1，當0a1時，0，所以a2a1；當a1時，0