1、學啟于思 思源于疑,2002年世界數學家大會在北京舉行,北京歡迎您！,勾股定理回顧與思考,八年級數學（上冊） 北師大版,華羅庚,1、在ABC中，C90，a、b、c為三角形的三邊，則,角與角之間的關系為：,議一議：,a2 + b2 = c2,邊與邊之間的關系為：,AB90,2、在ABC中， a、b、c為三角形的三邊， 如果 ，則ABC是直角三角形 。 如果 ， 則ABC是直角三角形 。,AB90,a2 + b2 = c2,如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么,勾股定理,a2 + b2 = c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.,直角三角形的判別條件,如果三角形的三邊長a

2、，b，c滿足a2 +b2=c2 ， 那么這個三角形是直角三角形.,滿足a2 +b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.,“補”,“拼”,“割”,方法一：,方法二：,方法三：,分割為四個直角三角形和一個小正方形,補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積,將幾個小塊拼成一個正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形,勾股定理的驗證,史話勾股定理的證明,一、三國時期數學家趙爽在為周髀算經作注時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明.它用幾何圖形來證明代數式之間的恒等關系,體現了以形證數、形數統一、代數和幾何的緊密結合 .,二、 傳說古希臘的畢達哥拉

3、斯用下面的兩個圖形證明了勾股定理,你能直接觀察驗證勾股定理嗎？,兩幅圖中彩色的四個直角三角形總面積呢？,提示：圖中的兩個大正方形面積相等嗎？,那么剩余的空白部分的面積呢？,美國總統伽菲爾德的證明,劉徽的“青朱出入圖”,著名畫家達芬奇的證明,美麗的勾股樹,數學思想方法是解決數學問題的靈魂正解的運用數學思想方法也是成功解題的關鍵尤其是在運用勾股定理解題時，更應注重思想方法的運用，那么你知道哪些思想方法呢？,勾股定理中的思想方法,1、已知一個直角三角形的兩邊長是3和4 ，求第三邊的長,類型之一 分類討論思想,解:當3和4 是兩條直角邊時，則利用勾股定理求得第三條邊即斜邊是 = 5 ； 當3 是直角邊

4、， 4 是斜邊時，由勾股定理求得另一條直角邊是 ,分析:已知一個直角三角形的兩邊長，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論.,拓展與應用,2、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短路線是多少？,B,A,解：臺階展開成平面圖形如圖所示，連接AB 因為B ，AC=5 ， 由勾股定理得 AB2=AC2+BC2 =144+25=169， ，所以螞蟻爬行的最短路線為 。,類型之二 轉化思想 臺階中的最值問題,3、如圖，在波平如鏡的湖面

5、上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3尺。突然，一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺，請問水深多少？,圖1（1）,解:如圖，設水深為x尺，則荷花的長為（x+3）尺，由勾股定理得：62+ x2 = （x+3）2 解得：x=4.5， 所以這個湖的水深為4.5尺,A,B,C,類型之三 方程思想,分析：由題意，我們知在圖1-1中為AB為湖水的深度，AC為荷花的長，ABC為直角三角形,類型之四 數形結合思想,例如：甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以30海里/小時的速度向北偏東35的方向航行，乙船以40海里/小時的速度另一個方向航行,2小時后，甲船達到C島，乙船到達

6、B島。若兩島相距100海里，問：乙船航行的方向是南偏東多少度？,應用勾股定理及其逆用解決有關航海問題的應用題，首先要能從實際問題中抽象出數學模型，畫出圖形，利用數形結合的思想解決問題。,解：如圖所示，在ABC中，因為AC=2 30=60海里，AB=2 40=80海里，BC=100海里， AC2+BC2=602+802=3600+6400 =10000=1002=BC2， 所以 ABC是直角三角形，且BAC=90. 由于18035 90= 55，所以乙船航行的方向是南偏東55 。,1、已知一個RtABC的兩邊長分別為3和4，則以第三邊為邊的正方形的面積是,跟蹤練習,分析：此題并沒有告訴我們已知的

7、邊長4一定是直角邊，而4有可能是斜邊，因此要分類討論解：當4為直角邊時，根據勾股定理第三邊長的平方是25；當4為斜邊時，第三邊長的平方為：42-32=7，因此正方形的面積是：25或7,25 或 7。,2、有一個圓柱，它的高等于13厘米，底面半徑等于3厘米.一只螞蟻從距底面1米的A點爬行到對角B點處去吃食物，需要爬行的最短路程是多少？(的值取3).,圓柱（錐）中的最短問題,跟蹤練習,解：將圓柱的側面展開成平面 圖形，連接AB， 因為 ， BC= ， 由勾股定理得AB2=AC2+BC2= ， 所以螞蟻爬行的最短路線為 。,3、學習過程中你還有什么困惑？,感悟與收獲,1、通過這節(jié)課的學習活動你有哪些

8、收獲？,2、通過本節(jié)課的學習，你獲得了那些數學思想和方法？,分層作業(yè),必做題 ： 1、課本第16頁復習題 3，4，5 B組1 2、獨立完成一份小結，用自己的語言梳理本章的內容。 選做題： 勾股定理不僅在數學的發(fā)展中起著重要作用，而且在現實世界中有著廣泛應用，請同學們試舉幾例，感受數學與生活的緊密相連。,結束寄語,數學使人聰明,數學使人陶醉,數學的美陶冶著你、我、他.,祝您成功,、觀察下列表格：,請你結合該表格及相關知識，求出b、c的值. 即b= ，c= .,3、勾股定理的創(chuàng)新問題往往從教材出發(fā)，充分考察同學們的認知水平和探究能力。,跟蹤練習,4、 有一塊田地的形狀和尺寸如圖所示，試求它的面積。,A,B,C,D,5,跟蹤練習,5、在一棵樹的10米高處B有兩只猴