1、6.2 等差數(shù)列,高考數(shù)學(xué),考點(diǎn)一等差數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示,定義的表達(dá)式為an+1-an=d(nN*). 2.如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng),且A= . 3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d和an=am+(n-m)d. 4.等差數(shù)列的公差公式為d=和d=.,知識清單,(1)Sn=; (2)Sn=na1+; (3)Sn=n2+n; (4)n為奇數(shù),Sn=n(為中間項(xiàng)).,5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1

2、.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)m,n,p,qN*,若m+n=p+q,則am,an,ap,aq的關(guān)系為am+an=ap+aq,特 別地,a1+an=a2+an-1=. (2)an=an+b(a,b是常數(shù))是an成等差數(shù)列的充要條件,(n,an)是直線上一群孤立的點(diǎn). (3)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))是an成等差數(shù)列的 充要條件. (4)等差數(shù)列的單調(diào)性 d0an為遞增數(shù)列,Sn有最小值. d0an為遞減數(shù)列,Sn有最大值.,d=0an為常數(shù)列. (5)若an和bn均是等差數(shù)列,則man+kbn仍為等差數(shù)列,m,k為常數(shù). (6)等差數(shù)列中依次k項(xiàng)的和成等差數(shù)列,即Sk,S2k

3、-Sk,S3k-S2k,成等差數(shù)列,公差為k2d. (7)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的非零等差數(shù)列an,有 S2n=n(a1+a2n)=n(a2+a2n-1)=n(an+an+1)(an與an+1為中間的兩項(xiàng)), S偶-S奇=nd,=. (8)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1的非零等差數(shù)列an,有 S2n-1=(2n-1)an(an為中間項(xiàng)), S奇-S偶=an,=.,2.等差數(shù)列的幾個重要結(jié)論 (1)等差數(shù)列an中,若an=m,am=n(mn),則am+n=0. (2)等差數(shù)列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),則Sm+n=-(m+n). (3)等差數(shù)列an中,若Sn=Sm(mn),則Sm+n=0. (4)若an與

4、bn均為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn,則=.,等差數(shù)列中的“基本量法”的解題策略 在等差數(shù)列中,把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程,解方程組求出首項(xiàng)和公差的方法稱為基本量法. 在等差數(shù)列an中,一般參與運(yùn)算的量為a1,d,n,an,Sn,若已知其中三個,則可求出其余兩個,即“知三求二”. 例1(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷三,14)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2=4,S10=110,則該數(shù)列的公差是, 的最小值是.,方法技巧,解題導(dǎo)引 用基本量法得數(shù)列的公差由通項(xiàng)公式與求和公式,把表示成關(guān)于n的函數(shù)由函數(shù)性質(zhì)得最小值,解析設(shè)數(shù)列an的公差為d,則有解得a1=d=2,故an=2n

5、, Sn=n2+n. 從而=,故當(dāng)n=3時,有最小值.,答案2;,評析本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,利用“基本量法”求相關(guān)量,考查對勾函數(shù)的性質(zhì)和學(xué)生的運(yùn)算求解能力.,等差數(shù)列性質(zhì)的解題策略 在等差數(shù)列an中,經(jīng)常用到的性質(zhì): 1.若m+n=p+q(m,n,p,qN*),則am+an=ap+aq,反之也成立. 2.若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則an=. 3.若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也成等差數(shù)列. 例2(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷一,13)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,2a8-3=a10,則S11的值是 ;若a1=8,則|Sn+10-Sn|的最小值是 .,解題導(dǎo)引 利用等差數(shù)列的性質(zhì)得a6的值由等差數(shù)列性質(zhì)S2n-1=(2n-1)an得S11的值 利用基本量法求an的表達(dá)式求和得Sn+10-Sn的表達(dá)式結(jié)論,解析設(shè)數(shù)列an的公差為d.由2a8-3=a10得a8-3=a10-a8=2d,所以a6=3,故S11=(a1+a11)=11a6=33. 由題可知,所以d=-1,因此an=9-n, 所以Sn+10-Sn=an+1+an+2+an+10=9-(n+1)+9-(n+10)