1、2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,1/136,第一章,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對象, 研究方法, 研究橋梁,函數(shù)與極限,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,2/136,第一章,第一節(jié),函 數(shù),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,3/136,設(shè)有兩個(gè)變量 x 和 y ，一個(gè)非空數(shù)集 D, 如果 按照某個(gè)對應(yīng)法則 f，對于 D 中的每個(gè)數(shù) x，都有唯 一確定的實(shí)數(shù) y 與之對應(yīng)，則稱 y 是定義在 D 上的 x 的函數(shù)，記作 其中 x 叫做自變量，y 叫做因變量； 定義域: D,定義域,一、函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義,值域:,自變量,因變量,202

2、0/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,4/136,函數(shù)的表示方法:,解析法,、圖象法,、列表法,如, 絕對值函數(shù),定義域,值 域,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,5/136,2. 函數(shù)的基本性質(zhì),設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,(1) 有界性,使,稱,使,稱,為有界函數(shù).,在 I 上有界.,稱 為有上界,稱 為有下界,若不存在這樣的正整數(shù) M ,則稱 f ( x ) 無界.,f (x)在(a, b)有界 f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界.,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,6/136,(2) 單調(diào)性,時(shí),稱,為 I 上的,稱,為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,單調(diào)減

3、函數(shù) .,當(dāng),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,7/136,(3) 奇偶性,且有,若,則稱 f (x) 為偶函數(shù);,若,則稱 f (x) 為奇函數(shù).,說明: 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng),必有,例如,偶函數(shù),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,8/136,又如,奇函數(shù),再如,奇函數(shù),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,9/136,(4) 周期性,且,則稱,為周期函數(shù) ,若,稱 l 為周期,( 一般指最小正周期 ).,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,

4、10/136,3. 三種特殊的函數(shù),(1) 分段函數(shù),注意：分段點(diǎn),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,11/136,(2) 反函數(shù),習(xí)慣上,的反函數(shù)記成,其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對稱 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,12/136,如 ,對數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù),反三角函數(shù),定義域,值域,補(bǔ),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,13/136,(3) 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù),稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) ,u 稱為中間變量.,注意: 構(gòu)

5、成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .,可定義復(fù)合,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,14/136,兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).,例如,可定義復(fù)合函數(shù):,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,15/136,另外，已知一個(gè)復(fù)合函數(shù)，,將其“分解”,例如，,可以看成是由,復(fù)合而成.,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,16/136,4. 初等函數(shù),六大基本初等函數(shù) ( P-6),常量函數(shù)：,2.冪函數(shù)：,3.指數(shù)函數(shù)：,4.對數(shù)函數(shù)：,5.三角函數(shù)：,6.反三角函數(shù)：,為常數(shù),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息

6、技術(shù)學(xué)院,17/136,初等函數(shù),由六大基本初等函數(shù),否則稱為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .,可表為,故不為初等函數(shù).,取整函數(shù),當(dāng),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,18/136,第一章,第二節(jié),函數(shù)的極限,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,19/136,數(shù)列,通項(xiàng) an,一 、數(shù)列的極限,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,20/136,定義:,自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作,或,稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)) .,若數(shù)列,及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :,當(dāng) n N 時(shí),總有,記作,此

7、時(shí)也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .,幾何解釋 :,即,或,則稱該數(shù)列,的極限為 a ,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,21/136,例1. 已知,證明數(shù)列,的極限為1.,證:,欲使,即,只要,因此 , 取,則當(dāng),時(shí), 就有,故,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,22/136,收斂數(shù)列的性質(zhì),證: 用反證法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,從而,同理, 因,故存在 N2 ,使當(dāng) n N2 時(shí), 有,1. 收斂數(shù)列的極限唯一.,使當(dāng) n N1 時(shí),假設(shè),從而,矛盾.,因此收斂數(shù)列的極限必唯一.,則當(dāng) n N 時(shí),故假設(shè)不真 !,滿足的不等式,2020/7/31,

8、南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,23/136,例2. 證明數(shù)列,是發(fā)散的.,證: 用反證法.,假設(shè)數(shù)列,收斂 ,則有唯一極限 a 存在 .,取,則存在 N ,但因,交替取值 1 與1 ,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在,長度為 1 的開區(qū)間,使當(dāng) n N 時(shí) , 有,因此該數(shù)列發(fā)散 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,24/136,2. 收斂數(shù)列一定有界.,證: 設(shè),取,則,當(dāng),時(shí),從而有,取,則有,由此證明收斂數(shù)列必有界.,說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立 .,例如,雖有界但不收斂 .,有,數(shù)列,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,25/136,二、函數(shù)的極限,定義2 . 設(shè)

9、函數(shù),大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若,則稱常數(shù),時(shí)的極限,幾何解釋:,記作,直線 y = A 為曲線,的水平漸近線,A 為函數(shù),1.,時(shí)函數(shù)的極限,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,26/136,例3. 證明,證:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,27/136,直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .,兩種特殊情況 :,當(dāng),時(shí), 有,當(dāng),時(shí), 有,幾何意義 :,例如，,都有水平漸近線,都有水平漸近線,又如，,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,28/136,定義3 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),的某去心鄰域內(nèi)有定義

10、 ,當(dāng),時(shí), 有,則稱常數(shù) A 為函數(shù),當(dāng),時(shí)的極限,或,即,當(dāng),時(shí), 有,若,記作,幾何解釋:,2.,時(shí)函數(shù)極限的定義,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,29/136,例4. 證明,證:,故,對任意的,當(dāng),時(shí) ,因此,總有,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,30/136,例5. 證明,證:,欲使,取,則當(dāng),時(shí) , 必有,因此,只要,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,31/136,3. 左極限與右極限,左極限 :,當(dāng),時(shí), 有,右極限 :,當(dāng),時(shí), 有,定理,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,32/136,例6. 設(shè)函數(shù),討論,時(shí),的極限

11、是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因?yàn)?顯然,所以,不存在 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,33/136,4. 函數(shù)極限的性質(zhì),極限值唯一 局部有界 保號性,定理 . 若,且 A 0 ,則存在,( A 0 ),若在,的某去心鄰域內(nèi),且,則,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,34/136,三、無窮小量與無窮大量,當(dāng),1、 無窮小量,定義5 . 若,時(shí) , 函數(shù),則稱函數(shù),例如 :,函數(shù),當(dāng),時(shí)為無窮小;,函數(shù),時(shí)為無窮小;,函數(shù),當(dāng),為,時(shí)的無窮小 .,時(shí)為無窮小.,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,35/136,說明:,除 0 以外任何很小的

12、常數(shù)都不是無窮小 !,因?yàn)?當(dāng),時(shí),顯然 C 只能是 0 !,C,C,時(shí) , 函數(shù),(或 ),則稱函數(shù),為,定義1. 若,(或 ),則,時(shí)的無窮小 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,36/136,其中 為,時(shí)的無窮小量 .,定理 6 . ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 ),證:,當(dāng),時(shí),有,對自變量的其它變化過程類似可證 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,37/136,2、 無窮大量,定義6 . 若任給 M 0 ,一切滿足不等式,的 x , 總有,則稱函數(shù),當(dāng),時(shí)為無窮大,使對,若在定義中將 式改為,則記作,(正數(shù) X ) ,記作,總存在,2020/7/31,南

13、京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,38/136,注意:,1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).,2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !,例如, 函數(shù),當(dāng),但,不是無窮大 !,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,39/136,例7 . 證明,證: 任給正數(shù) M ,要使,即,只要取,則對滿足,的一切 x , 有,所以,若,則直線,為曲線,的鉛直漸近線 .,漸近線,說明:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,40/136,3、無窮小與無窮大的關(guān)系,若,為無窮大,為無窮小 ;,若,為無窮小, 且,則,為無窮大.,則,據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為

14、無窮小來討論.,在自變量的同一變化過程中,說明:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,41/136,例8. 求,解:,利用性質(zhì) 2 可知,4、 無窮小量性質(zhì),1. 有限個(gè)無窮小的和、差、積，以及常數(shù)與無窮小的 乘積，還是無窮小 .,2 . 有界變量與無窮小的乘積，還是無窮小 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,42/136,1、 極限的四則運(yùn)算法則,則有,定理 7 . 若,四、 函數(shù)極限的運(yùn)算,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,43/136,若,且 B0 , 則有,為無窮小,(詳見P44),證: 因,有,其中,設(shè),無窮小,有界,因此,由極限與無窮小關(guān)系

15、定理 , 得,為無窮小,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,44/136,推論 1 .,( C 為常數(shù) ),推論 2 .,( n 為正整數(shù) ),例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式,則,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,45/136,x = 3 時(shí)分母為 0 !,例9.,例10 . 求,解:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,46/136,例11 . 求,解: x = 1 時(shí),分母 = 0 , 分子0 ,但因,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,47/136,例12 . 求,解:,時(shí),分子,分子分母同除以,則,分母,原式,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大

16、學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,48/136,一般有如下結(jié)果：,為非負(fù)常數(shù) ),( 如P-14 例11 ),( 如P-14 例12 ),( 如P-14 例13 ),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,49/136,定理 . 設(shè),且 x 滿足,時(shí),又,則有,說明: 若定理中,則類似可得,2、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,50/136,都是無窮小,引例 .,但,可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 .,3、 無窮小量的比較,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,51/136,定義.,若,則稱 是比 高階的無窮小,若,若,若,若,或,記作,則稱 是比

17、低階的無窮小;,則稱 是 的同階無窮小;,則稱 是關(guān)于 的 k 階無窮小;,則稱 是 的等價(jià)無窮小,記作,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,52/136,例如 , 當(dāng),時(shí),又如 ，,故,時(shí),是關(guān)于 x 的二階無窮小,且,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,53/136,定理8 . 設(shè),且,存在 , 則,證:,例如,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,54/136,設(shè)對同一變化過程 , , 為無窮小 ,說明:,無窮小的性質(zhì),(1) 和差取大規(guī)則:,由等價(jià),可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.,若 = o() ,(2) 和差代替規(guī)則:,例如,例如,2020/7/3

18、1,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,55/136,(3) 因式代替規(guī)則:,界, 則,例如,例13. 求,解:,原式,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,56/136,常用等價(jià)無窮小 :,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,57/136,例14. 求,解:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,58/136,小結(jié),1. 極限運(yùn)算法則,(1) 無窮?。ù螅┬再|(zhì),(2) 極限四則運(yùn)算法則,(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則,注意使用條件,2. 求函數(shù)極限的方法,(1) 分式函數(shù)極限求法,時(shí), 用代入法,( 分母不為 0 ),時(shí), 對,型 , 約去公因子,時(shí) , 分子分母同除最

19、高次冪,(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法,(3) 等價(jià)無窮小替換定理,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,59/136,二、 兩個(gè)重要極限,一、極限存在定理,第三節(jié),極限存在定理及,兩個(gè)重要極限,第一章,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,60/136,一、 極限存在定理,1. 夾逼定理,定理1.,且,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,61/136,2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限,( 證明略 ),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,62/136,圓扇形AOB的面積,二、 兩個(gè)重要極限,證: 當(dāng),即,亦即,時(shí)，,顯然有,AOB 的面積,AOD的面積,故有,注

20、,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,63/136,當(dāng),時(shí),注,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,64/136,例2. 求,解:,例3. 求,解: 令,則,因此,原式,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,65/136,例4. 求,解: 原式 =,例5. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為,證明:,證:,說明: 計(jì)算中注意利用,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,66/136,2.,說明: 此極限也可寫為,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,67/136,例6. 求,解: 令,則,說明 ：若利用,則,原式,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)

21、信息技術(shù)學(xué)院,68/136,例7. 求,解: 原式 =,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,69/136,小結(jié),1. 極限存在性定理,2. 兩個(gè)重要極限,或,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,70/136,思考與練習(xí),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,71/136,二、 函數(shù)的間斷點(diǎn),一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,第四節(jié),函數(shù)的連續(xù)性,第一章,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,72/136,可見 , 函數(shù),在點(diǎn),一、 函數(shù)連續(xù)性的定義,定義:,在,的某鄰域內(nèi)有定義 ,則稱函數(shù),(1),在點(diǎn),即,(2) 極限,(3),設(shè)函數(shù),連續(xù)必須具備下列條件:

22、,存在 ;,且,有定義 ,存在 ;,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,73/136,continue,若,在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) ,則稱它在該區(qū)間上,連續(xù) ,或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) .,例如,在,上連續(xù) .,( 有理整函數(shù) ),又如, 有理分式函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù).,在閉區(qū)間,上的連續(xù)函數(shù)的集合記作,只要,都有,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,74/136,對自變量的增量,有函數(shù)的增量,左連續(xù),右連續(xù),當(dāng),時(shí), 有,函數(shù),在點(diǎn),連續(xù)有下列等價(jià)命題:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,75/136,例. 證明函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,證:,即,這說明

23、,在,內(nèi)連續(xù) .,同樣可證: 函數(shù),在,內(nèi)連續(xù) .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,76/136,在,在,二、 函數(shù)的間斷點(diǎn),(1) 函數(shù),(2) 函數(shù),不存在;,(3) 函數(shù),存在 ,但,不連續(xù) :,設(shè),在點(diǎn),的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形,這樣的點(diǎn),之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn),雖有定義 , 但,雖有定義 , 且,稱為間斷點(diǎn) .,在,無定義 ;,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,77/136,間斷點(diǎn)分類:,第一類間斷點(diǎn):,及,均存在 ,若,稱,若,稱,第二類間斷點(diǎn):,及,中至少一個(gè)不存在 ,稱,若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱,若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .,為跳

24、躍間斷點(diǎn) .,為無窮間斷點(diǎn) .,為振蕩間斷點(diǎn) .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,78/136,為其無窮間斷點(diǎn) .,為其振蕩間斷點(diǎn) .,為可去間斷點(diǎn) .,例如:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,79/136,顯然,為其可去間斷點(diǎn) .,(4),(5),為其跳躍間斷點(diǎn) .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,80/136,內(nèi)容小結(jié),左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),左右極限都存在,第二類間斷點(diǎn),無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),左右極限至少有一個(gè)不存在,在點(diǎn),間斷的類型,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,81/136,思考與練習(xí),

25、1. 討論函數(shù),x = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn) .,間斷點(diǎn)的類型.,2. 設(shè),時(shí),提示:,為,連續(xù)函數(shù).,答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn) ,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,82/136,備用題 確定函數(shù),間斷點(diǎn)的類型.,解: 間斷點(diǎn),為無窮間斷點(diǎn);,故,為跳躍間斷點(diǎn).,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,83/136,定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù),三、初等函數(shù)的連續(xù)性,定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明),商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .,例如,例如

26、,在,上連續(xù)單調(diào)遞增，,其反函數(shù),(遞減).,(證明略),在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.,遞增,(遞減),也連續(xù)單調(diào),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,84/136,定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.,在,上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù),在,上也連續(xù)單調(diào)遞增.,證: 設(shè)函數(shù),于是,故復(fù)合函數(shù),又如,且,即,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,85/136,例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈,因此,在,上連續(xù) .,復(fù)合而成 ,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,86/136,基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù)

27、在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),例如,的連續(xù)區(qū)間為,(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)),的連續(xù)區(qū)間為,的定義域?yàn)?因此它無連續(xù)點(diǎn),而,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,87/136,例2. 求,解:,原式,例3. 求,解: 令,則,原式,說明: 當(dāng),時(shí), 有,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,88/136,例4. 求,解:,原式,說明: 若,則有,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,89/136,例5. 設(shè),解:,討論復(fù)合函數(shù),的連續(xù)性 .,故此時(shí)連續(xù);,而,故,x = 1為第一類間斷點(diǎn) .,在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) ,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,90/136,注

28、意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .,（最值定理）,定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設(shè),則,使,值和最小值.,或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,(證明略),點(diǎn) ,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,91/136,例如,無最大值和最小值,也無最大值和最小值,又如,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,92/136,推論.,由定理 1 可知有,證: 設(shè),上有界 .,定理2. ( 零點(diǎn)定理 ),至少有一點(diǎn),且,使,( 證明略 ),在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,93/136,

29、定理3. ( 介值定理 ),設(shè),且,則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn),證: 作輔助函數(shù),則,且,故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn),使,即,推論:,使,至少有,在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),必取得介于最小值與最,大值之間的任何值 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,94/136,例1. 證明方程,一個(gè)根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn),使,即,在區(qū)間,內(nèi)至少有,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,95/136,上連續(xù) , 且恒為正 ,例2. 設(shè),在,對任意的,必存在一點(diǎn),證:,使,令, 則,使,故由零點(diǎn)定理知 , 存在,即,當(dāng),時(shí),取,或, 則有,證明

30、:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,96/136,備用題,至少有一個(gè)不超過 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點(diǎn)定理 ,原命題得證 .,內(nèi)至少存在一點(diǎn),在開區(qū)間,顯然,正根 .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,97/136,二、 連續(xù)與間斷,一、 函數(shù),三、 極限,習(xí)題課,函數(shù)與極限,第一章,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,98/136,一、 函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義:,定義域,值域,圖形:,( 一般為曲線 ),設(shè),函數(shù)為特殊的映射:,其中,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,99/136,2. 函數(shù)的特性,有界性 ,單調(diào)性 ,奇

31、偶性 ,周期性,3. 反函數(shù),設(shè)函數(shù),為單射,反函數(shù)為其逆映射,4. 復(fù)合函數(shù),給定函數(shù)鏈,則復(fù)合函數(shù)為,5. 初等函數(shù),有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù),經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù),復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,100/136,例1. 設(shè)函數(shù),求,解:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,101/136,解:,利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,代入原方程得,代入上式得,設(shè),其中,求,令,即,即,令,即,畫線三式聯(lián)立,即,例2.,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,102/136,思考與練習(xí),1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么

32、?,相同,相同,相同,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,103/136,2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?,不是,是,不是,提示: (2),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,104/136,3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?,以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,105/136,4. 設(shè),求,及其定義域 .,5. 已知, 求,6. 設(shè),求,由,得,4. 解:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,106/136,5. 已知, 求,解:,6. 設(shè),求,解:,2020/7/31,南京中

33、醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,107/136,二、 連續(xù)與間斷,1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式,有,2. 函數(shù)間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),無窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,108/136,有界定理 ;,最值定理 ;,零點(diǎn)定理 ;,介值定理 .,3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),例3. 設(shè)函數(shù),在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .,提示:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,109/136,有無窮間斷點(diǎn),及可去間斷點(diǎn),解:,為無窮間斷點(diǎn),所以,為可去間斷點(diǎn) ,極限存在,例4. 設(shè)函數(shù),試確定常數(shù) a 及 b .,20

34、20/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,110/136,例5. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間,上 , 若 f (x) 在,連續(xù),提示:,閱讀與練習(xí),且對任意實(shí)數(shù),證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .,P64 題2(2), 4; P73 題5,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,111/136,證:,P73 題5. 證明: 若,令,則給定,當(dāng),時(shí),有,又,根據(jù)有界性定理, 使,取,則,在,內(nèi)連續(xù),存在, 則,必在,內(nèi)有界.,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,112/136,三、 極限,1. 極限定義的等價(jià)形式,(以 為例 ),(即 為無窮小),有,2. 極限存在準(zhǔn)

35、則及極限運(yùn)算法則,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,113/136,3. 無窮小,無窮小的性質(zhì) ;,無窮小的比較 ;,常用等價(jià)無窮小:,4. 兩個(gè)重要極限,6. 判斷極限不存在的方法,5. 求極限的基本方法,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,114/136,例6. 求下列極限：,提示:,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,115/136,令,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,116/136,則有,復(fù)習(xí): 若,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,117/136,例7. 確定常數(shù) a , b , 使,解:,原式,故,于是,而,202

36、0/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,118/136,例8. 當(dāng),時(shí),是,的幾階無窮小?,解: 設(shè)其為,的,階無窮小,則,因,故,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,119/136,閱讀與練習(xí),1. 求,的間斷點(diǎn), 并判別其類型.,解:,x = 1 為第一類可去間斷點(diǎn),x = 1 為第二類無窮間斷點(diǎn),x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,120/136,2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,121/136,作業(yè) P74 3 (1) , (4) ; 4 ; 7 ; 8 (2) ,

37、(3) , (6) ; 9; 10 ; 11 ; 12,3. 求,解: 令,則,利用夾逼準(zhǔn)則可知,2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,122/136,內(nèi)容小結(jié),1. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開集,2. 多元函數(shù)概念,n 元函數(shù),常用,二元函數(shù),(圖形一般為空間曲面),三元函數(shù),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,123/136,有,3. 多元函數(shù)的極限,4. 多元函數(shù)的連續(xù)性,1) 函數(shù),2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù),P11 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8 P72 題 3; 4,思考與練習(xí),2020/7/31,南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,