1、,線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣,線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的，它是 某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實(shí)際問題 看作向量空間，進(jìn)而通過研究向量空間來解決實(shí)際 問題,一、線性空間的定義,若對于任一數(shù) 與任一元素 ，總有唯 一的一個元素 與之對應(yīng)，稱為 與 的積， 記作,定義 設(shè) 是一個非空集合， 為實(shí)數(shù)域如果 對于任意兩個元素 ，總有唯一的一個元 素 與之對應(yīng)，稱為 與 的和，記作,如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那 么 就稱為數(shù)域 上的向量空間（或線性空間）,2 向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組,3 判別線性空間的方法：一個集合

2、，對于定 義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條 性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間,說明,1 凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算,（）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn) 算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對運(yùn) 算的封閉性,例 實(shí)數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法 和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作 ,線性空間的判定方法,通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn) 算滿足線性運(yùn)算規(guī)律,是一個線性空間.,例 在區(qū)間 上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的 加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性 空間,一般地,（）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn) 算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算

3、，則必需檢驗(yàn)是 否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律,證明,所以對定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉,下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：,所以 對所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間,1零元素是唯一的,證明,假設(shè) 是線性空間V中的兩個零元 素，,由于,所以,二、線性空間的性質(zhì),2負(fù)元素是唯一的,證明,則有,向量 的負(fù)元素記為,證明,4如果 ，則 或 .,證明,假設(shè),那么,又,同理可證：若 則有,三、線性空間的子空間,定義2設(shè) 是一個線性空間， 是 的一個非空子 集，如果 對于 中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算 也構(gòu)成一個線性空間，則稱 為 的子空間,定理線性空間 的非空子集 構(gòu)成子空間的充分 必要條件是： 對于 中的線性運(yùn)算封閉,解,(1)不構(gòu)成子空間.,因?yàn)閷?例8,有,即 對矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.,對任意,有,于是,滿足,且,線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.,線性空間,是一個集合,對所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉,所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算,四、