1、第9章拉普拉斯變換，the la拉普拉斯變換，4 .雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)，本章的基本內(nèi)容：1 .雙邊拉普拉斯變換，2 .雙邊拉普拉斯變換的收斂域，5 .系統(tǒng)函數(shù)，6 .單邊拉普拉斯變換，3 .零極點(diǎn)圖，9.0引言in 更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)的和也應(yīng)該能夠以此為基礎(chǔ)分解信號。 傅立葉分析法對信號和LTI系統(tǒng)的分析之所以這么有幫助，是因?yàn)橄喈?dāng)寬的信號可以表示為復(fù)指數(shù)信號的線性組合，復(fù)指數(shù)函數(shù)是所有LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 根據(jù)本章及下一章，拉普拉斯變換和變換不僅具有很多與傅立葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅可以利用傅立葉分析法解決的信號和系統(tǒng)分析問題，還可以利用傅立葉分析法不適用的很多方面。 拉式變換和變換

2、的分析方法是傅立葉分析法的普及，傅立葉分析是它們的特例。 將傅里葉變換展開為更一般的狀況是本章和下一章討論的中心問題。 9.1拉普拉斯變換和復(fù)指數(shù)信號是所有LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)正確，那么針對系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為：其中，明確是連續(xù)時間傅立葉變換。 The Laplace Transform，1 .雙邊拉斯變換的定義：被稱為雙邊拉斯變換。 如果是那樣的話就有： 這就是傅立葉變換。 指出連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉挽變換或軸上的特例。 因此，拉斯變換是傅立葉變換的普及，拉斯變換是傅立葉變換。 如果存在恰當(dāng)?shù)拇嬖?，則在原本不滿足解交錯條件的信號中，在導(dǎo)入后也存在滿足該條件的信

3、號。 因此，一些信號的傅立葉變換未收斂，并且傅立葉變換不存在。 這表明拉斯變換比傅里葉變換具有更廣泛的適用性。 例1 .的情況下，積分收斂。 在前一種情況下，存在前一傅立葉變換，且明顯在前一情況下，拉斯變換收斂的區(qū)域包括(即軸)。 另外，通過比較，很明顯，例2 .與例1 .相比，僅是收斂頻帶不同。 從以上例子可知，1，1 .拉斯變換與傅立葉變換同樣具有收斂問題。 不是存在任何信號的拉斯變換，并且s平面上的任何復(fù)數(shù)都不使拉斯變換收斂。 2 .使拉斯變換積分收斂的復(fù)數(shù)s的集合被稱為拉斯變換的收斂區(qū)。 拉斯變換的收斂區(qū)ROC (Region of Convergence )對于拉斯變換來說是非常重要

4、的概念。 3 .根據(jù)信號的不同，可能有完全相同的拉斯變換式，但收斂區(qū)域不同。 5 .在ROC包括軸的情況下，只有與4.rals變換方程式對應(yīng)的收斂域可與信號建立對應(yīng)關(guān)系。 二.拉茲變換的ROC和零極圖：例3 .拉茲變換的收斂區(qū)是各收斂區(qū)的共同部分。 ROC總是以平行于軸的直線為邊界，ROC的邊界總是對應(yīng)于的分母的根。 若為有理函數(shù)，則將分子多項(xiàng)式的根稱為零點(diǎn)，將分母多項(xiàng)式的根稱為極。 的所有零點(diǎn)和極在s平面上表示，構(gòu)成零極圖。 零極圖及其收斂域可以表示一個常數(shù)系數(shù)，最大與實(shí)際不同。 因此，零極圖是拉斯變換的圖示方法。9.2拉爾斯變換的收斂區(qū)可總結(jié)ROC的以下性質(zhì)： theregionofcon

5、vergenceforlaplacetransforms，4 .右邊信號的ROC位于與s平面中的軸平行的直線的右邊。 3 .時限信號的ROC是整個s平面。 2.roc內(nèi)無極點(diǎn)。 1. ROC是在s平面上與軸平行的帶狀區(qū)域。 則它也位于收斂域中。 中的組合圖層性質(zhì)變更選項(xiàng)。 如果是右邊的信號，在ROC內(nèi)，有絕對的積。 即，5 .左信號的ROC位于與s平面內(nèi)的軸平行的直線的左側(cè)。中的組合圖層性質(zhì)變更選項(xiàng)。 左邊的信號，如果在ROC內(nèi)定義，則表示也在收斂區(qū)域內(nèi)。 如果存在雙邊信號的ROC，則必須是s平面內(nèi)平行于軸的帶狀區(qū)域。 調(diào)查零點(diǎn)，例2 .有極，明顯也有一次零點(diǎn)，因?yàn)榱銟O被抵消，所以s平面全體沒

6、有點(diǎn)。 時，表示上述ROC有共通部分，時，表示上述ROC沒有共通部分，不存在。 在有理函數(shù)的情況下，ROC始終被除以下極點(diǎn)。 ROC必然滿足以下規(guī)則：3 .雙邊信號的ROC可以是任何兩個相鄰極之間的帶狀區(qū)。 2 .左信號的ROC必須位于最左邊極點(diǎn)的左邊。 1 .右信號的ROC必須位于最右極右側(cè)。 例如3 .可形成三種roc:roc:roc:roc:roc:roc，在本情況下其為右邊信號； 這種情況下是左邊的信號燈。 這種情況下是雙邊信號。 另外，The Inverse Laplace Transform，1 .定義： ROC內(nèi)有3360、9.3加反變換，其說明在常規(guī)情況下，拉斯反變換可將336

7、0分解成復(fù)振幅的復(fù)數(shù)1 .部分式展開。 部分分式展開法：3 .利用常用信號的變換對和拉氏變換的性質(zhì)，對各項(xiàng)進(jìn)行逆變換。 2、基于之前的ROC來確定每個項(xiàng)的ROC。 極：例2 .1 .求出的所有極。 留數(shù)法(有理函數(shù)的情況下):3 .求出roc右邊所有極的留數(shù)之和，賦予負(fù)的符號，將它們構(gòu)成的逆因果部分。 2 .求roc左邊所有極點(diǎn)處的剩馀數(shù)之和，它們構(gòu)成的因果部分。 例3 .和的極位于ROC的右側(cè)并位于ROC的左側(cè)。 中的組合圖層性質(zhì)變更選項(xiàng)。 如果ROC中包含軸，則可以通過代入獲得。 以此為基礎(chǔ)，用幾何學(xué)評價的方法可以從零極圖求出的特性。 這在定性地分析系統(tǒng)的頻率特性時有用。 根據(jù)geomet

8、ricevaluationofthefouriertransformfromthepole-zero plot，9.4零極點(diǎn)圖對傅立葉變換幾何進(jìn)行評價，在1 .單零點(diǎn)的情況下：向量稱為零點(diǎn)向量，其長度表示其寬度，為零極從極直接向點(diǎn)產(chǎn)生向量(稱為極向量)，其長度的反量為振幅的負(fù)值。 2 .對于單極：因此存在：有理函數(shù)形式的，3 .一般情況：即所有從零點(diǎn)到點(diǎn)的零點(diǎn)向量，以及所有從極點(diǎn)到點(diǎn)的極點(diǎn)向量。 假設(shè)所有零點(diǎn)向量的長度的乘積除以所有極向量的長度的乘積。 所有零點(diǎn)向量的振幅之和減去所有極向量的振幅之和。 中的組合圖層性質(zhì)變更選項(xiàng)。 如果取軸上的點(diǎn)，則計算傅里葉變換的幾何。 調(diào)查在軸上移動時的所有

9、零、極向量的長度和振幅的變化，得到振幅特性和相位特性。 例1 .一次系統(tǒng)：例2 .二次系統(tǒng)：1 .時，有兩個實(shí)數(shù)極，此時系統(tǒng)處于過衰減狀態(tài)。 發(fā)揮主要作用。 隨之，兩極相對移動，接近那里。 2 .有時兩極重合，成為二次極。 系統(tǒng)處于臨界衰減狀態(tài)。 3 .進(jìn)一步變小，二次極分裂成共軛復(fù)極，隨著變小逐漸接近軸。 極運(yùn)動的軌道根軌道是半徑的圓周。 此時，系統(tǒng)處于低阻尼狀態(tài)，由于伴隨于此，位于第2象限的極向量比第3象限的極向量短，所以對系統(tǒng)特性的影響大(稱作主極)。 的情況下，由于該極向量變短，因此會產(chǎn)生峰值。 該峰值點(diǎn)位于哪里，峰值在時刻認(rèn)為主極向量增加了2倍時，如果對應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，

10、則可近似地確定此時的系統(tǒng)帶寬約為1。 4 .的情況下，兩極分別在軸上，此時系統(tǒng)處于不衰減的狀態(tài)。 還可以從零極圖中得到系統(tǒng)的相位特性。此時，僅通過考慮移動點(diǎn)沿著軸移動時的所有極向量與所有零點(diǎn)向量的振幅變化，并從所有零點(diǎn)向量的振幅之和減去所有極向量的振幅之和，就能夠獲得系統(tǒng)的相位特性。 例3 .全通系統(tǒng)：查找零極對稱分布的系統(tǒng)、(一次全通系統(tǒng))，因?yàn)樵撓到y(tǒng)隨時等于1，所以稱為全通系統(tǒng)。 其相位特性為全系的零極分布呈四角對稱特征。 全通系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)的相位均衡。 例4 .最小相位系：顯然兩系的振幅特性相同。 然而，零點(diǎn)位于左半平面的系統(tǒng)相比于零點(diǎn)位于右半平面的系統(tǒng)相位非常小。 因此，將零極全部

11、位于左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 在工程應(yīng)用程序中修訂的各種頻率選擇性濾波器，例如Butterworth、Chebyshev、Cauer濾波器都是最小相位系。 在工程應(yīng)用中要求實(shí)現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)時，通常將最小相位系統(tǒng)和全通道系統(tǒng)級聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。 本質(zhì)上，系統(tǒng)的特性由系統(tǒng)的零極分布決定。 優(yōu)化系統(tǒng)的設(shè)定修訂實(shí)質(zhì)上是優(yōu)化零、極的位置。 propertiesofthelaplacetransform，9.5拉斯變換的性質(zhì)，拉斯變換與傅立葉變換同樣具有很多重要的性質(zhì)。 這里只關(guān)注ROC的討論。 1 .“線性”:則ROC在整個s平面上擴(kuò)展。 的雙曲馀弦值。 不與相交表示不存在。 例如.(原因是出現(xiàn)了零極

12、相抵的現(xiàn)象)、2 .時移性質(zhì)：如果3. S域移位：在此指ROC的邊界平移。 此外，很明顯，如果時間收斂，并且信號在時域定標(biāo)，那么4 .時域定標(biāo)：在s平面上的反定標(biāo)。 特例，5 .共軛對稱性(Conjugation ) :實(shí)信號，且有極(或零點(diǎn))，必定也有極(或零點(diǎn))。 這說明實(shí)信號的拉斯變換出現(xiàn)為復(fù)零、極必共軛對。 在實(shí)信號的情況下，可得出如下重要結(jié)論：可替換地，當(dāng)：例如，包括卷積性質(zhì)：在內(nèi)的ROC擴(kuò)展的抵消極性正好位于ROC的邊界上時，收斂帶寬增加。 7 .時域?qū)?shù)3360 (差分時域)、8. S區(qū)域?qū)?shù)： (差分時域)、9 .時域積分，并且Proof:展開為Taylor級數(shù)： 有初始和結(jié)束

13、定理3360，對上述公式的兩側(cè)進(jìn)行拉斯變換：這是結(jié)束定理，除了可能具有一階極性，因?yàn)槠鋵?shí)數(shù)可能大于零表明：時，基于s平面上極點(diǎn)的分布與信號端值的關(guān)系，analysisandcharacterizedofltisystemsusingthelaplacetransform，1 .系統(tǒng)函數(shù)的概念：卷積特性。 9.7拉爾斯變換分析和表示LTI系統(tǒng)，這就是LTI系統(tǒng)的傅立葉分析。 是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 而且，所述方法所成立的本質(zhì)原因在于，復(fù)指數(shù)函數(shù)是所有LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 如果基于顏色將信號分解為顏色，則LTI系統(tǒng)的對輸入信號的響應(yīng)可以完全描述LTI系統(tǒng)，換言之，如果ROC包括顏色軸，則顏色ROC必

14、須包括顏色軸。系統(tǒng)的許多重要特性一定具體體現(xiàn)在其ROC上。 另一方面，以為基礎(chǔ)分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為。 2 .用系統(tǒng)函數(shù)表示LTI系統(tǒng)：1 .因果：否則系統(tǒng)是因果的。 中的組合圖層性質(zhì)變更選項(xiàng)。 如果是那樣的話，系統(tǒng)是違反因果關(guān)系的。 因此，因果系統(tǒng)是右邊信號并且ROC總是在最右邊的右邊。 因?yàn)榉匆蚬到y(tǒng)是左信號，所以下ROC始終是最左邊的左邊。 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，從ROC的特征出發(fā)，反而無法判定系統(tǒng)是否為因果。 ROC是最右邊極的右側(cè)，不一定是系統(tǒng)因果。 2、穩(wěn)定性：如系統(tǒng)穩(wěn)定。 所以一定存在。 意味著的ROC必然包含軸。 只有在有理函數(shù)的情況下，逆命題才成立。 綜合以上兩點(diǎn)，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的全

15、極應(yīng)位于s平面的左半部分。 當(dāng)然，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。 的所有極點(diǎn)都在s平面的左半部分。 的ROC在最右邊緣，但是是非有理函數(shù)，該系統(tǒng)是非因果的。 中的組合圖層性質(zhì)變更選項(xiàng)。 ROC包含軸，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 雖然ROC仍是用于該系統(tǒng)的非有理函數(shù)，但是因?yàn)樵撓到y(tǒng)是因果的。 結(jié)論LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為有理函數(shù)，所有極點(diǎn)在s平面的左半平面時，系統(tǒng)具有因果性和穩(wěn)定性。 如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，而系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊緣。 將系統(tǒng)的因果關(guān)系顛倒過來，系統(tǒng)函數(shù)的ROC位于最左邊的極點(diǎn)的左側(cè)。 在LCCDE中描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：或者是有理函數(shù)，并且必須由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定下一個ROC。 如果所有LCCDE都具有一組初始零條件，則的ROC必須位于右端極的右側(cè)。 另外