1、分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用,小組成員：杜光龍、程海全、劉學(xué)鋒、郭軍偉,Fourier變換,處理平穩(wěn)信號(hào),全局譜,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換概述,為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們提出了一系列新的信號(hào)分析理論： 分?jǐn)?shù)階Fourier變換、短時(shí)Fourier變換、Wigner分布、Gabor變換、小波變換等,19291980 早期未被人們重視的研究。 1980年，V.Namias 從特征值和特征函數(shù)的角度提出了 分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分?jǐn)?shù)冪形式。 1994年， L.B.Ameida將分?jǐn)?shù)階傅立葉變換解釋為時(shí)頻面上的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。,一、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換“旋轉(zhuǎn)”思想,Fourier變換

2、的對(duì)稱(chēng)形式,Fourier變換的多次復(fù)合運(yùn)算,Fourier變換多次復(fù)合后有如下規(guī)律,規(guī)定： 恒等算子,當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有：,“ 旋轉(zhuǎn)”思想的引入 每次的Fourier變換都可看作是坐標(biāo)軸的/2旋轉(zhuǎn)， 在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)變化信號(hào)的表示形式。,當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí) 均有了定義。,同理可引入“順時(shí)針”旋轉(zhuǎn),當(dāng)n為負(fù)整數(shù)是 也有了定義。,旋轉(zhuǎn)具備如下性質(zhì)： (1)零度旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)于信號(hào)自身：F0=I (2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/2對(duì)應(yīng)于Fourier變換：F 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/2對(duì)應(yīng)逆Fourier變換：F-1 (3)旋轉(zhuǎn)具有連續(xù)可加性: FmFn = Fm+n,二、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換定義,設(shè)p為任意實(shí)數(shù)，定義廣義Fourier變

3、換:,其中,注意： 當(dāng)p=1時(shí)，即為傅立葉變換； P=0，即為函數(shù)本身,核函數(shù)具有以下性質(zhì): 1.互換性 2.p共軛對(duì)稱(chēng)性 3. 4.積分相加性（完備性） 5.正交性,分?jǐn)?shù)階傅立葉變換變換對(duì),下面給出幾個(gè)常見(jiàn)信號(hào)的不同p下的傅立葉變換仿真圖,方波脈沖各分?jǐn)?shù)階下的傅立葉變換演示圖,(1)線性性質(zhì),三、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換基本性質(zhì),這是一個(gè)非常有用的性質(zhì), 用它實(shí)現(xiàn)濾波具有更好的效果。,(2)算子可加性,特別,(3)恒等變換,(4)標(biāo)準(zhǔn)Fourier變換,三、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換基本性質(zhì),(5)時(shí)移性質(zhì),(6)頻移性質(zhì),(7)尺度性質(zhì),式中,注：變量u的尺度改變，函數(shù)幅值改變，旋轉(zhuǎn)角改變。,三、分?jǐn)?shù)階傅立

4、葉變換基本性質(zhì),在傳統(tǒng)的Fourier變換中，時(shí)間變量t的變化只是使其頻譜的頻率變量w的其的尺度和幅度發(fā)生相應(yīng)的變化，而在FRFT中，時(shí)間變量t的變化不僅使FRFT的變量u發(fā)生尺度和幅度的變化，更重要的是旋轉(zhuǎn)角度也發(fā)生變化。,(8)Parseval等式,能量守恒特性：,三、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換基本性質(zhì),分?jǐn)?shù)階fourier變換的數(shù)值計(jì)算,無(wú)量綱化,數(shù)值離散化是一個(gè)變換或算子能夠被實(shí)際應(yīng)用的前提 對(duì)于時(shí)頻表示f(t,w)引入尺度參數(shù)s，做線性變換 x=t/s, v=ws 其中s=(t/w)1/2, t和w為函數(shù)f(t,w)的“支撐寬度”絕大部分能量在區(qū)間-t/2, t/2與-w/2, w/2內(nèi) 變換

5、后的f(x,v)“支撐區(qū)間”長(zhǎng)度都變成x=v= (tw) 這里N=tw為時(shí)間-帶寬積(N1),計(jì)算步驟（算法）,算法步驟如下 確定足夠大的時(shí)間頻率帶寬x= (tw) ，對(duì)信號(hào)抽樣 線性調(diào)頻信號(hào)乘法，其中的線性調(diào)頻函數(shù)g1(x)的時(shí)間帶寬積為f(x)的兩倍，因而的采樣間隔為1/(2x)； 線性調(diào)頻信號(hào)卷積； 經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)處理后，此式離散形式為 其中 線性調(diào)頻信號(hào)乘法： 顯然，此時(shí)得到的fp(u)的采樣值,應(yīng)用濾波（1/4）,信號(hào)一：高斯信號(hào) 信號(hào)二：線性調(diào)頻信號(hào),時(shí)域信號(hào),功率譜,應(yīng)用濾波（2/4）,P=0.7時(shí)二者可完全分開(kāi),分?jǐn)?shù)階傅立葉域,p=0.7時(shí)分?jǐn)?shù)階傅立葉變換,應(yīng)用濾波（3/4）,濾波效果,時(shí)域混疊信號(hào),P=0.7分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波信號(hào),匹配濾波,應(yīng)用濾波（4/4）,變換域?yàn)V波： 線性變換變換域 與濾波器相乘，濾除不需要的信號(hào) 逆變換,應(yīng)用電路實(shí)現(xiàn),電路實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下圖所示 經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可得信號(hào)x(t)與y(t)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換為 G(w)為g(t)的傅里葉變換，可用于控制濾波器通帶,應(yīng)用多路傳輸(1/2),任意完備變換域均可進(jìn)行信號(hào)的多路傳輸（多路復(fù)用），如時(shí)域、頻域（FDMA） 并非所有完備變換域都有實(shí)用價(jià)值多項(xiàng)式分解域、高斯基函數(shù)分解 實(shí)用的變換一般為稀疏域變換域內(nèi)，信號(hào)為“緊支撐”，一般為無(wú)窮維空間 絕對(duì)稀疏域