1、2 . 2 橢 圓,選修 2-1,第二章 圓錐曲線,2.2.1 橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),注：求標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，我們學(xué)到了什么？,2、求曲線方程的基本方法：直接法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.,注：求曲線方程的過(guò)程中我們要注意什么？,復(fù)習(xí)回顧,1、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其一般方程,將方程移項(xiàng)后平方得：,兩邊再平方得：,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,一、橢圓的范圍,由,即,說(shuō)明： 橢圓位于矩形之中。,幾何性質(zhì),將方程移項(xiàng)后平方得：,兩邊再平方得：,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,二、橢圓的對(duì)稱性,在,橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸軸對(duì)稱; 關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.,中心：橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心,幾何性質(zhì),思考:你能從橢圓的方程看出它的對(duì)稱性嗎?

2、,三、橢圓的頂點(diǎn),在,*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。,幾何性質(zhì),四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為: A1(-a,0)、A2(a，0)、B1(0,-b)、B2(0,b),*長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。 a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。,根據(jù)的 性質(zhì)說(shuō)出 的性質(zhì),A1(-a,0)、A2(a，0)、B1(0,-b)、B2(0,b),關(guān)于X、Y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,|x|a;|y|b,|x|b;|y|a,A1(0,-a)、A2(0,a)、B1(-b,0)、B2(b,0),關(guān)于X、Y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,y,x,o,F,1,F,2,y,x,o,F,1,F,2,

3、A2,A1,B1,B2,A1,A2,B!,B2,A2,A1,A2,A1(m-a,n)、A2(+a，n)、B1(m,n-b)、B2(m,n+b),關(guān)于x=m、Y=n軸對(duì)稱，關(guān)于(m,n)對(duì)稱,|x-m|a;|y-n|b,|x-m|b;|y-n|a,A1(m,n-a)、A2(m,n+a)、B1(m-b,n)、B2(m+b,n),關(guān)于x=m、Y=n軸對(duì)稱，關(guān)于(m,n)對(duì)稱,y,x,o,F,1,F,2,y,x,o,F,1,F,2,B1,B2,A1,B!,B2,四、橢圓的離心率,離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：,叫做橢圓的離心率。,1離心率的取值范圍： 因?yàn)?a c 0，所以1 e 0,2離心率對(duì)橢圓

4、形狀的影響： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，從而 b就越?。ǎ浚?，橢圓就越扁（？） 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，從而 b就越大（？），橢圓就越圓（？） 3）特例：e =0，則 a = b，則 c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓方程變?yōu)椋?？）e=1呢?,幾何性質(zhì),1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,所表示的橢圓的存在范圍是什么？,2上述方程表示的橢圓有幾個(gè)對(duì)稱軸？幾個(gè)對(duì)稱中心？,3橢圓有幾個(gè)頂點(diǎn)？頂點(diǎn)是誰(shuí)與誰(shuí)的交點(diǎn)？,4對(duì)稱軸與長(zhǎng)軸、短軸是什么關(guān)系？,52a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？,6關(guān)于離心率講了幾點(diǎn)？,回 顧,例1,求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦

5、點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo),解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,這里，,則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是,離心率,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是,四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是,例 題,例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3，0），Q（0，-2）； （2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率等于 。,例 題,練習(xí):P48練習(xí)第1-5題,閱讀教材P46例5。,思考：離心率為什么定義為c/a，而不是b/a? 試試從P47的例6中尋找答案！,二、對(duì)稱性：,三、頂點(diǎn)：,一、范圍：,小 結(jié),四、離心率：,如何從方程中看出上述性質(zhì)？,思考：離心率為什么定義為c/a，而不是b/a? 試試從P47的例6中尋找答案！,二、對(duì)稱性：,三、頂點(diǎn)：,一、范圍：,復(fù)習(xí)

6、回顧,四、離心率：,如何從方程中得到上述性質(zhì)？,如圖，點(diǎn)M(x，y)與定點(diǎn)F(c，0)的距離和它到定直線 l: 的距離的比是常數(shù) .求點(diǎn)M的軌跡.,F,M,動(dòng)畫,例題推廣,解：設(shè) d是M到直線l 的距離，根據(jù)題意， 所求軌跡就是集合 P=M| ,y,F,F,l,I,x,o,由此得,將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得,設(shè) a2-c2=b2,就可化成,這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡 是長(zhǎng)軸、短軸分別為2 a,2b 的橢圓,M,對(duì)于橢圓 ，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c,0)的準(zhǔn)線方程是 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn) F(-c.0) 準(zhǔn)線方程是 所以橢圓有兩條準(zhǔn)線.兩準(zhǔn)線間距離是,y,當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離的和它到一

7、條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離 的比是常數(shù) 時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡就是橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。,焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離是,橢圓的第二定義,1. 橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)到兩準(zhǔn)線的距離分別 是 .,2. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離為 ，且焦點(diǎn)對(duì)短軸的張角為60，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .,練 習(xí),將右準(zhǔn)線改為右焦點(diǎn)呢？,3. 橢圓 上的點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離是2.5， 則P到右準(zhǔn)線的距離是 .,10,4. 橢圓3x2+4y2=12上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是2.5，則該點(diǎn) 的坐標(biāo)是 .,5. P為4x2+5y2=20上任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)， 求|PF1|P

8、F2|的最值.,5, 4,練 習(xí),例5、如圖，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，-3）,F 是橢圓 的右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓上運(yùn) 動(dòng)， 當(dāng) 取最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐 標(biāo)，并求其最小值。,Q(2,-3) 最小值9,練 習(xí),如圖，點(diǎn)M(x，y)與定點(diǎn)F(c，0)的距離和它到定直線 l: 的距離的比是常數(shù) .求點(diǎn)M的軌跡.,F,M,動(dòng)畫,例題推廣,橢圓的第二定義平面內(nèi)到 的距離與到 . 的距離的 為一個(gè) ( )的點(diǎn)的軌跡。,【小結(jié)與練習(xí)】,其中 是橢圓的焦點(diǎn)， 是橢圓的準(zhǔn)線；,定點(diǎn)F,定直線l,比,常數(shù)e,0e1,F,l,橢圓 的準(zhǔn)線方程是 、,橢圓 的準(zhǔn)線方程是 、,常用結(jié)論橢圓兩準(zhǔn)線間的距離是 、 焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線

9、的距離是 .,小 結(jié),焦點(diǎn)半徑公式設(shè)M(x0，y0)為橢圓 上任一點(diǎn)， 其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-c，0)、F2(c，0)，則 | MF1|= 、|MF2|= .,a+ex0,a-ex0,記憶方法：左加右減,焦點(diǎn)半徑公式設(shè)M(x0，y0)為橢圓 上任一點(diǎn)， 其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，-c)、F2(0，c)，則 | MF1|= 、|MF2|= .,a+ey0,a-ey0,記憶方法：下加上減,記憶方法：負(fù)加正減,一個(gè)中心：橢圓中心 兩個(gè)基本點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn) 三定：定點(diǎn)定直線定比值 四頂：橢圓的四個(gè)頂點(diǎn) 五不變：a,b,c,e,p五個(gè)不變量,小 結(jié),練習(xí):課本P50第3題,變式:比改為1:3.,一、直線與橢圓位置

10、關(guān)系種類,思考：不同位置關(guān)系時(shí)直線與橢圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同，用解析的方法如何研究呢？,二個(gè),0個(gè),一個(gè),分析：,二個(gè),0個(gè),一個(gè),相交,思考：直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與誰(shuí)相等？,與直線方程和橢圓方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)相等。,因此，我們就有了判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法：解方程組！,一定要解方程組嗎？,二、常用位置關(guān)系判斷方法,已知,1將直線方程代入橢圓方程，得到 x （或 y）的一 元二次方程,2計(jì)算一元二次方程的判別式,3若 0 ，說(shuō)明直線與橢圓相交 若 = 0 ，說(shuō)明直線與橢圓相切 若 0 ，說(shuō)明直線與橢圓相離,例1,=122 + 416 9 0,所以，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，既直線與橢圓相交。

11、,解：由直線方程得,代入橢圓方程 ，整理得,變式:求直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng).,練習(xí)1：,自學(xué):課本P47例題例7,練習(xí):P48第6、7 P49第8題,練習(xí)2,(1)直線,有幾個(gè)交點(diǎn)？,答：一個(gè)。,(2)直線,有且只有一個(gè),交點(diǎn)，則 m2 為？,答：3/4,(3)直線,有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 k 的變化范圍是？,答：,當(dāng)直線與橢圓相交時(shí),求兩交點(diǎn)中點(diǎn)的軌跡方程,所得弦長(zhǎng)為 時(shí),求k的值.,小結(jié),（1）判斷直線與橢圓位置關(guān)系的根本方法是解直線方程和橢圓方程組成的方程組,（2）把直線方程代入橢圓方程后，若一元二次方程好解，則應(yīng)解方程；若一元二次方程不好解，則計(jì)算判別式。,把直線方程代入 橢圓方程,得到一

12、元二次方程,方程好解,方程不好解,計(jì)算判別式,解方程,交 點(diǎn) 個(gè) 數(shù),位 置 關(guān) 系,小結(jié),（3）求直線與橢圓相交所得弦長(zhǎng)常用公式,例2：,解：將直線方程代入橢圓方程，得 y2 =0 ，所以 y =0 ，所以直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),反思：這種情況下，還用不用判別式？,答：不用。因?yàn)?，決定直線與橢圓位置關(guān)系的直接因素是交點(diǎn)個(gè)數(shù)。如果交點(diǎn)個(gè)數(shù)容易確定，當(dāng)然用不著判別式。用判別式是一種間接方法。,小結(jié)一：基本元素,1基本量：a、b、c、e、p（共五個(gè)量）,2基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）,3基本線：對(duì)稱軸、準(zhǔn)線（共四條線）,請(qǐng)考慮：基本量之間、基本點(diǎn)之間、基本線之間以及它們相互之間的關(guān)系（位置

13、、數(shù)量之間的關(guān)系）,橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用,1. 橢圓9x2+5y2=45的長(zhǎng)軸長(zhǎng)= 、短軸長(zhǎng)= 、 離心率= 、焦點(diǎn)坐標(biāo)是 、 頂點(diǎn)的坐標(biāo) 、 范圍是 .,鞏固練習(xí),6,2. 橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)為(0，13)，另一個(gè) 頂點(diǎn)為(-10，0)，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 、 離心率為 .,例 3 如圖，我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以 地 球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A 距地面439千米，遠(yuǎn)地 點(diǎn)B 距地面2384千米，地球半徑 約為6371千米. 求衛(wèi)星的軌道方程.,例題分析,A,B,F1 ,F2 ,a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|,a+c=|OB|+|OF2|=|F2

14、B|,1. 已知橢圓 的離心率為 ，求m.,2. 根據(jù)下列條件求橢圓的方程：,(1)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線 互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)距離為 .,(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上， , 橢圓上一點(diǎn)M 橫坐標(biāo)與右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐 標(biāo)為4.,3. 在橢圓 上任取一點(diǎn)P，P與 短軸兩端點(diǎn)的連線交x軸于M、N兩點(diǎn)， 求證：|OM|ON|為定值.,N,M,P,鞏固練習(xí),橢圓2x2=1-y2的長(zhǎng)軸長(zhǎng)= 、短軸長(zhǎng)= 、 離心率= 、焦點(diǎn)坐標(biāo)是 、 頂點(diǎn)的坐標(biāo) 、 范圍是 . 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式： .,2,橢圓的另一個(gè)定義（第二定義）,例 4、點(diǎn)M（x,y)與定點(diǎn)F（c,0)的距離和它到定直線l : x=a2/c 的距離的比是常數(shù)c/