1、三角形,第2章,線段的垂直平分線,2.3,公路同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，共同出資在路邊修建一個(gè)車 站，使它到兩個(gè)村莊的路程相等。你能確定車站的位置嗎？,公 路,情境引入,B,C,D,A,CDAB，AD=BD,2.4 線段的垂直平分線,我們把垂直且平分一條線段的直線 叫作這條的線段的垂直平分線。,線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線 是它的對(duì)稱軸,動(dòng)手操作：1、在紙上畫線段AB，通過折使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，將紙展開鋪平，記折痕所在的直線L，這條折痕是線段AB的什么線？ 2、在線段AB的垂直平分線上任取一點(diǎn)P，連接PA、PB，,觀察線段PA、PB之間有什么關(guān)系?量一量PA、PB的長度，可以得出什么結(jié)論？ 再

2、在這條垂直平分線上任取一點(diǎn)Q，連接QA、QB，量一量QA、QB的長度，可以得出什么結(jié)論？ 疊一疊，將線段AB沿著直線L對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)了什么？可以得出什么結(jié)論？,自主探索,線段垂直平分線的性質(zhì)定理：,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。,A,B,P,O,Q,R,即:PQ垂直平分線段AB AP=BP,AR=BR,AQ=BQ,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.,幾何語言：,CDAB,AO=BO PA=PB,我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過來，如果已知一點(diǎn)P到線段AB 兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？,(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，因?yàn)镻

3、A = PB， 所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí),如圖, 因?yàn)镻A =PB，所以PAB是等腰三角形.過頂點(diǎn)P 作PCAB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線. 即PCAB，且AC = BC.,因此直線PC是線段AB的垂直平分線， 此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.,到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.,幾何語言：,PA=PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,舉 例,例1 已知：如圖，在ABC中，AB，BC 的垂直平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC. 求證： 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.,舉 例,證明 點(diǎn)

4、O在線段AB的垂直平分線上， OA = OB. 同理OB = OC. OA = OC. 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.,已知：如圖，點(diǎn)C，D 是線段AB 外的兩點(diǎn)， 且AC =BC，AD =BD， AB與CD相交于點(diǎn)O. 求證：AO=BO.,證明：AC=BC 點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上 AD=BD 點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上 CD是線段AB的垂直平分線 AO=BO,如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線.,根據(jù)“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”， 要作線段AB的垂直平分線， 關(guān)鍵是找出到線段AB兩端距離相等的兩點(diǎn).,作法,分別以點(diǎn)A，B 為圓心， 以大于 AB 的長 為半徑畫弧

5、， 兩弧相交于點(diǎn)C 和點(diǎn)D；,過點(diǎn)C,D作直線CD，則直線CD就是線段AB的垂直平分線.,因?yàn)榫€段AB的垂直平分線CD與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB 的中點(diǎn)， 所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn).,如何過一點(diǎn)P 作已知直線l 的垂線呢？,(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上.,(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線l外.,在直線l 上點(diǎn)P 的兩旁分別截取線段PA， PB，使PA= PB；,(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上.,分別以A，B 為圓心 以大于 AB 的長為半徑畫弧， 兩弧相交于點(diǎn)C；,過點(diǎn)C， P作直線CP， 則直線CP為所求作的直線.,(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線l外.,以點(diǎn)P 為圓心， 以大于點(diǎn)P 到直線l的距離的線段長為半徑畫弧， 交直線l于點(diǎn)A，B；,分別以A，B 為圓心 以大于 AB 的長為半徑畫弧， 兩弧相交于點(diǎn)C；,過點(diǎn)C,P作直線CP，則直線CP為所求作的直線.,1. 線段的垂直平分線的性質(zhì)是什么？,2. 線段的垂直平分線的判定是什么？,例1 如圖，已知AD是ABC的BC邊上的高，且C 2B，求證：BDACCD.,證明：在BD上取DE=CD，連接AE，則ACD