1、3.1 指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)是數(shù)學中重要的函數(shù)。應(yīng)用到值 e 上的這個函數(shù)寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 e，這里的 e 是數(shù)學常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.，還稱為歐拉數(shù)。 指數(shù)函數(shù)對于 x 的負數(shù)值非常平坦，對于 x 的正數(shù)值迅速攀升，在 x 等于 0 的時候等于 1。在x處的切線的斜率等于此處y的值乘上lna。即由導數(shù)知識：d（ax）/dx=ax*ln(a)。 作為實數(shù)變量 x 的函數(shù)，y=ex 的圖像總是正的(在 x 軸之上)并遞增(從左向右看)。它永不觸及 x 軸，盡管它可以任意程度的靠近它(所以，x 軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數(shù)是自然對數(shù) ln(x)，它定

2、義在所有正數(shù) x 上。 有時，尤其是在科學中，術(shù)語指數(shù)函數(shù)更一般性的用于形如 kax 的 指數(shù)函數(shù)函數(shù)，這里的 a 叫做“底數(shù)”，是不等于 1 的任何正實數(shù)。本文最初集中于帶有底數(shù)為歐拉數(shù) e 的指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=ax(a0且1) (xR)，從上面我們關(guān)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得 如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。 在函數(shù)y=ax中可以看到： （1） 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮， 同時a等于0函數(shù)無意義一

3、般也不考慮。 （2） 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。 （3） 函數(shù)圖形都是下凸的。 （4） a大于1時，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；若a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。 （5） 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過 指數(shù)函數(shù)程中（當然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。 （6） 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,并且永不相交。 （7） 函數(shù)總是通過（0，1）這點,(若y=ax+b,則函數(shù)定過點(0,1+b) （8） 顯然指數(shù)函數(shù)無界

4、。 （9） 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 （10）當兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關(guān)于y軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。 （11）當指數(shù)函數(shù)中的自變量與因變量一一映射時，指數(shù)函數(shù)具有反函數(shù)。 編輯本段指數(shù)函數(shù)求導公式的推導e的定義：e=lim(x)(1+1/x)x=2.設(shè)a0,a!=1-(log a(x)=lim(x)(log a(x+x)-log a(x)/x)=lim(x)(1/x*x/x*log a(x+x)/x)=lim(x)(1/x*log a(1+x/x)(x/x)=1/x*lim(x)(log a(1+x/x)(x/x)=1/x*log a(lim(x0)(1+

5、x/x)(x/x)=1/x*log a(e)特殊地，當a=e時，(log a(x)=(ln x)=1/x。-設(shè)y=ax兩邊取對數(shù)ln y=xln a兩邊對求x導y/y=ln ay=yln a=axln a特殊地，當a=e時，y=(ax)=(ex)=exln e=ex。 編輯本段底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像： 指數(shù)函數(shù)（1）由指數(shù)函數(shù)y=ax與直線x=1相交于點（1，a)可知：在y軸右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大。 （2）由指數(shù)函數(shù)y=ax與直線x=-1相交于點（-1，1/a）可知：在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小。 （3）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像間的關(guān)系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”

6、；在y軸左邊“底大圖低”。（如右圖）。 編輯本段冪的大小比較：比較大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函數(shù)單調(diào)性法；（3）中間值法：要比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。 比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應(yīng)注意： （1）對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷。 例如：y1=34,y2=35，因為3大于1所以函數(shù)單調(diào)遞增（即x的值越大，對應(yīng)的y值越大），因為5大于4，所以y2大于y1. （2）對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可 指數(shù)函數(shù)以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來判斷。

7、 例如：y1=1/24,y2=34,因為1/2小于1所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞減；3大于1，所以函數(shù)圖像在定義域上單調(diào)遞增，在x=0是兩個函數(shù)圖像都過（0，1）然后隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時，y2大于y1. （3）對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如： 對于三個（或三個以上）的數(shù)的大小比較，則應(yīng)該先根據(jù)值的大小（特別是與0、1的大小）進行分組，再比較各組數(shù)的大小即可。 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”（即比較它們與“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判斷一個冪與“1”大小呢？由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知“同大異小”。即當?shù)讛?shù)a和1與指數(shù)x與0之間的不等號同向（例如： a 1且x 0，或0 a 1且 x 0）時，ax大于1，異向時ax小于1. 3例：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？說明理由. y=4x 因為41，所以y=4x在R上是增函數(shù)； y=(1/4)x 因為01/40且a1，即說明y0。所以值域為（0