1、,2,一、重點(diǎn)與難點(diǎn),重點(diǎn)：,難點(diǎn)：,留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理,留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,3,二、內(nèi)容提要,留數(shù),計(jì)算方法,可去奇點(diǎn),孤立奇點(diǎn),極點(diǎn),本性奇點(diǎn),函數(shù)的零點(diǎn)與 極點(diǎn)的關(guān)系,對(duì)數(shù)留數(shù),留數(shù)定理,留數(shù)在定積 分上的應(yīng)用,輻角原理,路西原理,4,1. 孤立奇點(diǎn)的概念與分類(lèi),2）孤立奇點(diǎn)的分類(lèi),內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類(lèi):,i) 可去奇點(diǎn); ii) 極點(diǎn); iii) 本性奇點(diǎn).,5,i) 可去奇點(diǎn),6,ii) 極點(diǎn),7,極點(diǎn)的判定方法,在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且,(b) 由定義的等價(jià)形式判別,8,iii)本性奇點(diǎn),9,3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,10,2. 留數(shù),

2、11,12,如果 為 的一級(jí)極點(diǎn), 那末,a),2)留數(shù)的計(jì)算方法,13,14,3)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),15,定理,16,3. 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,1）三角函數(shù)有理式的積分,正方向繞行一周.,17,18,2）無(wú)窮積分,19,3）混合型無(wú)窮積分,20,特別地,21,4.對(duì)數(shù)留數(shù),22,輻角原理,路西定理,23,三、典型例題,解,24,解,25,26,例2 求函數(shù) 的奇點(diǎn)，并確 定類(lèi)型.,解,是奇點(diǎn).,是二級(jí)極點(diǎn);,是三級(jí)極點(diǎn).,27,例3 證明 是 的六級(jí)極點(diǎn).,證,28,例4 求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù).,解,(1)在 內(nèi),29,解,30,解,為奇點(diǎn),當(dāng) 時(shí) 為一級(jí)極點(diǎn)，,31,32,解,的一級(jí)極點(diǎn)為,33,例5 計(jì)算積分,為一級(jí)極點(diǎn)， 為七級(jí)極點(diǎn).,解,34,由留數(shù)定理得,35,例6,解,在 內(nèi),36,37,解,例7 計(jì)算,38,39,例8 計(jì)算,解,令,40,極點(diǎn)為：,41,例9 計(jì)算積分,解,極點(diǎn)為,其中,由留數(shù)定理，有,42,43,例