1、,簡(jiǎn)單微分方程模型,例1 求平面上過(guò)點(diǎn)(1,3)且每點(diǎn)切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的曲線方程.,解: 設(shè)所求的曲線方程為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 應(yīng)有,即,又由條件: 曲線過(guò)(1,3), 即,于是得,故所求的曲線方程為:,例2 物理冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型,將某物體放置于空氣中, 在時(shí)刻,時(shí), 測(cè)得它的溫度為,10分鐘后測(cè)量得溫度為 試決定此物,體的溫度 和時(shí)間 的關(guān)系,并計(jì)算20分鐘后物體的溫度. 這 里假設(shè)空氣的溫度保持在,解: Newton 冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一定的溫度范圍內(nèi),一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比.,設(shè)物體

2、在時(shí)刻 的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, 則 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律, 得到,其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型.,注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得 與 之間的關(guān)系式, 以后再介紹.,例3 R-L-C電路,如圖所示的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.,解: 電路的Kirchhoff第二定律: 在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.,設(shè)

3、當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后, 電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t), 則電流 經(jīng)過(guò)電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,因?yàn)?于是得到,這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式.,例4 數(shù)學(xué)擺,數(shù)學(xué)擺是系于一根長(zhǎng)度為 的線上而質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動(dòng).如圖所示.試確定擺的運(yùn)動(dòng)方程.,解: Newton第二定律:,取反時(shí)針運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橛?jì)量擺與鉛垂線所成的角 的正方向. 則由Newton第二定律, 得到擺的運(yùn)動(dòng)方程為,附注1: 如果研究擺的微小振動(dòng),即當(dāng) 比較小時(shí), 可以取 的近似值 代入上式,這樣就得到微小振動(dòng)時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程:,附注2: 假設(shè)擺是在一個(gè)有粘性的介質(zhì)中作擺動(dòng), 如果阻力系數(shù)為 則擺