1、第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法,5-1 頻率特性及其與時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系,5-5 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,5-3 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖,5-4 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制,5-6 控制系統(tǒng)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖與穩(wěn)態(tài)誤差及瞬態(tài) 響應(yīng)的關(guān)系,*5-7 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,5-8 根據(jù)閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng),5-1 頻率特性及其與時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系,一、頻率特性的基本概念,頻率響應(yīng)：在正弦輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài) 分量。,頻率特性：系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系。,頻域分析法：應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法。其 特點(diǎn)是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性去判斷閉

2、環(huán)系統(tǒng)的性能。,如圖，設(shè)初始,當(dāng)輸出阻抗足夠大時(shí)有：,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：,拉氏反變換得：,響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量為：,式中：,可見(jiàn)， 分別為 的幅值 和相角 。,設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,為方便起見(jiàn)設(shè)系統(tǒng)無(wú)重極點(diǎn)，則：,設(shè)：,則：,式中：,通常，把 稱為系統(tǒng)的頻率特性。它 反映了在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信,號(hào)之間的關(guān)系。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的幅值比 稱為幅頻特性，它反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入信號(hào)的衰減(放大)特性。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)對(duì)正弦輸入信號(hào)的相移 稱為系統(tǒng)的相頻特性，它表示系統(tǒng)輸出對(duì)于不同頻率正弦輸入信號(hào)的相移特性。,二、頻率特性與時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系, 頻率特

3、性，傳遞函數(shù)，微分方程三種系統(tǒng)描述之間關(guān)系, 頻率特性為什么能反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性？,物理上：正弦輸入與階躍輸入不同，由于是強(qiáng)迫振蕩 所以能反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。,數(shù)學(xué)上： ， 中的時(shí)間常數(shù)等反映 了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。,三、頻率特性的幾何表示法, 幅相頻率特性曲線：又稱極坐標(biāo)圖或幅相曲線,幅頻特性為 的偶函數(shù)，相頻特性為 的奇函數(shù)，因 此， 從 和 的幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱， 一般只繪制 的幅相曲線。小箭頭指示 時(shí)幅相曲線的變化方向。,對(duì)于RC 網(wǎng)絡(luò)：,有：,表明RC 網(wǎng)絡(luò)的幅相 曲線是以 為圓心， 半徑為 的半圓，如右 圖所示。, 對(duì)數(shù)頻率特性曲線：又稱伯德(Bode)圖，由對(duì)數(shù)幅頻曲線 和對(duì)數(shù)相頻曲線組成。

4、對(duì)數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)按 (對(duì)數(shù))分度，單位是 ；對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo) 按 線性分度，單位是分貝 。對(duì)數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)按 線性分度，單 位為度 。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。,仍以RC電路為例：,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,在 處：,綜上，RC網(wǎng)絡(luò)的對(duì)數(shù)幅頻特性可近似地用漸近線來(lái) 表示。在 部分為一條 的水平線，在 部 分為斜率等于 的直線。在漸近線的交接處的 頻率為 ，此處漸近線的幅值誤差為 (最大)。,用描點(diǎn)法繪制出 曲線如圖，圖中令：,對(duì)數(shù)分度：當(dāng)變量增大或減小10倍，稱為10倍頻程 ， 坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度。,交接頻率：又稱為轉(zhuǎn)折頻率，是指兩條漸近線交接處對(duì)應(yīng) 的頻率。

5、, 對(duì)數(shù)幅相曲線：又稱尼柯?tīng)査箞D或尼柯?tīng)査骨€。其特點(diǎn) 是縱坐標(biāo)為 ，單位為分貝 ；橫坐標(biāo)為 ， 單位是度 ，均為線性分度，頻率 為參變量。,5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,一、比例環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,二、慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,三、積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,四、微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：, 理想微分環(huán)節(jié), 一階比例微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：, 二階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,五、振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,乃氏圖,與虛軸交點(diǎn)處的頻率為 (無(wú)阻尼自然振蕩角頻率),諧振頻率 與諧振峰值,上式說(shuō)明，當(dāng) 時(shí)，幅頻特性存在極大值，記 極大處的頻率為 ，稱

6、為諧振頻率，相應(yīng)的幅值稱為諧振峰 值，記為 ，則諧振峰值為：,伯德圖, 當(dāng) 時(shí)， ；, 振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻率特性不僅與交接頻率有關(guān)還與阻 尼比 有關(guān)，漸近線的誤差隨 的不同而不同；, 當(dāng) 時(shí)，誤差不大；當(dāng) 時(shí)，誤差增大。, 振蕩環(huán)節(jié)的修正曲線與 有關(guān)。,六、純滯后環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,5-3 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖,上節(jié)介紹了典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖(乃氏圖、幅相曲線)， 要繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，只要計(jì)算出對(duì)應(yīng)各 的幅值 及相角即可逐點(diǎn)描繪出。,式中：,計(jì)算出 即可繪制極坐標(biāo)圖。,例5-1：,解：計(jì)算結(jié)果如下,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線的繪制,根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)率特性的表達(dá)式可以通過(guò)取點(diǎn)、計(jì)算和作 圖，

7、繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線。,概略開(kāi)環(huán)幅相曲線應(yīng)反映開(kāi)環(huán)頻率特性的三個(gè)重要特征：, 開(kāi)環(huán)幅相曲線的起點(diǎn) 和終點(diǎn), 開(kāi)環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn),或：,稱 為穿越頻率，而開(kāi)環(huán)頻率特性曲線與實(shí)軸交點(diǎn)的 坐標(biāo)值為：, 開(kāi)環(huán)幅相曲線的變化范圍(象限、單調(diào)性),開(kāi)環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解和典型環(huán)節(jié)幅相曲線的特點(diǎn) 是繪制開(kāi)環(huán)幅相曲線的基礎(chǔ)。,一、 型系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖, 開(kāi)環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)在正實(shí)軸上；, 終點(diǎn)在原點(diǎn)；,一般情況下，分子階次為m，分母階次為n的開(kāi)還傳遞 函數(shù)可表示為：,終點(diǎn)處的幅值,終點(diǎn)處的相角：,解：,起點(diǎn)：,終點(diǎn)：,二、型系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖, 起點(diǎn)：虛軸無(wú)窮遠(yuǎn)處, 終點(diǎn)：原點(diǎn),終點(diǎn)處相角：,解：,起點(diǎn)：,終點(diǎn)

8、：,下面，求與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn),即與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)為,求實(shí)軸交點(diǎn)的另一種方法,令 ，得：,代入實(shí)部得：,三、型系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖, 起點(diǎn)：實(shí)軸無(wú)窮遠(yuǎn)處, 終點(diǎn)：原點(diǎn),終點(diǎn)處相角：,四、含純滯后環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖,5-4 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制,設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)由 個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其傳遞函數(shù)為：,或：,綜上有：,因此，采用疊加法即可方便地繪制出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù) 頻率特性曲線。實(shí)際上，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸進(jìn) 特性有如下特點(diǎn)：, 低頻段( 小于最小交接頻率 )的斜率為： ， 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié) 的數(shù)目。低頻段(若存在小于1的交接頻率時(shí)，則為延長(zhǎng) 線)在 處的對(duì)數(shù)幅值為 。即低頻段或其延長(zhǎng) 線經(jīng)

9、過(guò)點(diǎn) 。, 在典型環(huán)節(jié)的交接頻率處，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率 要發(fā)生變化，若遇到 的環(huán)節(jié)，在交接頻率 處，斜率改變 ；若遇到 的環(huán)節(jié)時(shí)，在交接頻率處，斜率改變 。,一、繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟, 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解；, 計(jì)算各典型環(huán)節(jié)的交接頻率；, 修正。, 通過(guò)點(diǎn) ，繪制斜率為 的低頻段；, 從低頻段開(kāi)始，隨著 的增大，每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的 交接頻率，就按上述方法改變一次斜率；,解： 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解：一個(gè)比例、一個(gè)慣性、 一個(gè)一階比例微分和一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)組成。, 計(jì)算各典型環(huán)節(jié)的交接頻率；,慣性環(huán)節(jié)：,一階比例微分環(huán)節(jié)：,振蕩環(huán)節(jié)：, 繪制低頻段；,所以，低頻段的延長(zhǎng)線經(jīng)

10、過(guò) ，即 。, 利用誤差修正曲線進(jìn)行必要的修正；, 繪制各環(huán)節(jié)的相頻特性，疊加后得到系統(tǒng)的相頻特性。,二、最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的頻率特性,定義,最小相位系統(tǒng)相位滯后是最小的。,最小相位系統(tǒng)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的所有零、極點(diǎn)都位于 平面左半部的系統(tǒng)。各環(huán)節(jié)都是最小相位。,非最小相位系統(tǒng)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中具有位于 右半平面的零 點(diǎn)或極點(diǎn)的系統(tǒng)。含非最小相位環(huán)節(jié)的系統(tǒng),解：兩系統(tǒng)的幅頻特性是一樣的,最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一 的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性，可以唯一地確定相應(yīng)的 相頻特性和傳遞函數(shù)，反之亦然。,例5-7：已知最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如 圖

11、所示，試寫(xiě)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。,解：由 可得：,低頻段的斜率為：,三、含有純滯后環(huán)節(jié)系統(tǒng)的伯德圖,例5-8：,解：,5-5 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì) 穩(wěn)定性,系統(tǒng)穩(wěn)定條件？,所有閉環(huán)特征根都位于S 左半平面, 勞斯判據(jù), 根軌跡法(圖解法)：根據(jù)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)繪制閉環(huán) 特征根的軌跡。,頻域穩(wěn)定性判據(jù),時(shí)域分析判斷穩(wěn)定性的方法？,根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性圖和開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),1.映射(幅角)定理：設(shè) 為復(fù)變量， 為 的有理分式函 數(shù)。對(duì)于 平面上任意一點(diǎn) ，通過(guò)復(fù)變函數(shù) 的映 射關(guān)系，在 平面上可以確定關(guān)于 的象。在 平面 上選擇一條封閉曲線 ，且

12、不通過(guò) 的任一零、極點(diǎn)， 從閉環(huán)曲線 上任一點(diǎn) 起，順時(shí)針沿 運(yùn)動(dòng)一周， 再回到 點(diǎn)，則相應(yīng)地， 平面上亦從點(diǎn) 起，到 點(diǎn)止，也形成一條閉合曲線 。為方便起見(jiàn)，令：,不失一般性，設(shè) 如下圖分布：,設(shè) 沿 順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周，研究 相角的變化情況：,按復(fù)平面相角定義，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)：,對(duì)于 ，作切線 ，則在 的 段， 的角度減小，在 的 段，角度增加，且有：,同理：,映射(幅角)定理：設(shè) 平面閉合曲線 包圍 的 個(gè) 零點(diǎn)和 個(gè)極點(diǎn)，并且，此曲線不經(jīng)過(guò) 的任一零點(diǎn) 和極點(diǎn)，則當(dāng)復(fù)變量 沿封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周 時(shí)，在 平面上的映射曲線 按逆時(shí)針?lè)较虬鼑鴺?biāo) 原點(diǎn) 周。,2.復(fù)變函數(shù)

13、 的選擇, 的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 的極點(diǎn)為 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。,令： ，可見(jiàn)：, 當(dāng) 沿 運(yùn)動(dòng)一周所產(chǎn)生的 兩條曲線 和 只相差常數(shù)1，即 可由 沿 實(shí)軸正方向平移(右移)一個(gè)單位長(zhǎng)度獲得。 包圍 平面原點(diǎn)的周數(shù)等于 包圍點(diǎn) 的周數(shù)。,3. 平面閉合曲線 的選擇, 不經(jīng)過(guò) 的任一零、極點(diǎn)。, 包圍 位于 平面右半部的 所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 的零點(diǎn)都位于 平面的 左半部。即： 。,乃氏回線 可取右圖所 示的兩種形式：,二、奈奎斯特穩(wěn)定(奈氏)判據(jù),閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng) 從 時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 不穿 過(guò) 點(diǎn)，且按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?點(diǎn) 周， 為位于平面

14、右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)。,若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要 條件是：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性不包圍 點(diǎn)。,實(shí)際上，常只畫(huà) 從 的部分，故上述 乃氏判據(jù)中的 周應(yīng)改為 周。,閉環(huán)極點(diǎn)在 平面右半部的個(gè)數(shù)：, 半閉合曲線(奈氏圖) 穿越 點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)。,半次穿越：開(kāi)環(huán)幅相曲線起始于(或終止于)點(diǎn) 左側(cè) 的負(fù)實(shí)軸。若沿逆時(shí)針離開(kāi)(或終止于)負(fù)實(shí)軸， 記為半次正穿越；若沿順時(shí)針離開(kāi)(或終止于) 負(fù)實(shí)軸，記為半次負(fù)穿越。,正穿越 ：隨著 的增大，開(kāi)環(huán)幅相曲線逆時(shí)針(從上) 穿越點(diǎn) 左側(cè)負(fù)實(shí)軸；,負(fù)穿越 ：隨著 的增大，開(kāi)環(huán)幅相曲線順時(shí)針(從下) 穿越點(diǎn) 左側(cè)負(fù)實(shí)軸；, 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在 平面右半部的個(gè)數(shù)

15、。,例5-9：繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng) 的乃奎斯特圖，并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：,起點(diǎn)：,終點(diǎn)：,系統(tǒng)穩(wěn)定。,例5-10：繪制 0型3階系統(tǒng)幅相頻率特性，并判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：,起點(diǎn)：,終點(diǎn)：,系統(tǒng)在 右半平面上有兩個(gè)極點(diǎn)，不穩(wěn)定。,思考：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，該怎么辦？,系統(tǒng)在 右半平面上沒(méi)有極點(diǎn)，穩(wěn)定。,-,例5-11：設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ， 試?yán)L制系統(tǒng)的乃奎斯特圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：選取乃氏回線如下面左圖所示。, 小半圓：,在 平面上相應(yīng)的映射曲線為：,這是一個(gè)半徑為無(wú)窮大的圓弧，其相角由 經(jīng)0變到 。, 虛軸上，令, 大半圓：,在 平面上相應(yīng)的映射曲線為：,相角：,系統(tǒng)在

16、右半平面上有兩個(gè)極點(diǎn)，不穩(wěn)定。,討論：當(dāng) 有虛軸極點(diǎn)時(shí),平面的半閉合曲線：可從 點(diǎn)起逆時(shí)針 (曲線方向?yàn)轫槙r(shí)針)作半徑為無(wú)窮大、圓心角為 的圓弧。,平面的半閉合曲線：應(yīng)從 點(diǎn)起以 無(wú)窮大為半徑順時(shí)針作 的圓弧至 點(diǎn)。, 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié), 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié),例5-12：已知單位反饋系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán)幅相曲線 如右圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán) 穩(wěn)定時(shí) 值的范圍。,解：設(shè)交點(diǎn)處穿越頻率分別為 。,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)形如：,當(dāng) 時(shí)，,若令 ，可求得對(duì)應(yīng)的 值：,綜上可知，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)， 的取值范圍是：,三、根據(jù)伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,1. 乃氏圖與伯德圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 乃氏圖中單位圓對(duì)應(yīng)于伯德圖中

17、線；, 乃氏圖中負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于伯德圖中 線；, 乃氏圖中單位圓以外對(duì)應(yīng)于伯德圖中 ；, 乃氏圖從上而下對(duì)穿過(guò)負(fù)實(shí)軸 線段，相角增加， 稱為正穿越，伯德圖中 從下而上穿過(guò) 線，意 味著相角的增加，稱為正穿越；, 乃氏圖從下而上對(duì)穿過(guò)負(fù)實(shí)軸 線段，相角減小， 稱為負(fù)穿越，伯德圖中 從上而下穿過(guò) 線，意 味著相角的減小，稱為負(fù)穿越；,2. 對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 時(shí)，在 開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性 的頻段內(nèi)，相頻特性 穿越 線的次數(shù) 滿足 。 為 平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)。,半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下 的對(duì)數(shù)相頻曲線 的確定, 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)無(wú)虛軸上的極點(diǎn)時(shí)， 等于 曲線。, 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié) 時(shí)，需從

18、曲線 較小 且 的點(diǎn)處向上補(bǔ)作 的虛直線， 曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成 。,例5-13：,解：, 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)存在振蕩環(huán)節(jié) 時(shí)，需從對(duì)數(shù)相頻特性 曲線 點(diǎn)起向上補(bǔ)作 的虛直線至 處， 曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成 。,所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。,四、系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性靠近 點(diǎn)的程度表征了系統(tǒng)的 相對(duì)穩(wěn)定性，距離 點(diǎn)愈遠(yuǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性愈 高。系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性常用相角裕度 和增益裕度 來(lái)度量。,1. 相角裕度 ：在頻率特性上對(duì)應(yīng)于 的角頻率 稱為剪切頻率，以 表示。,相角裕度 的含義是對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán) 相頻特性再滯后 度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,2.增益裕度 ：在相頻特性等

19、于 弧度的頻率 (穿 越頻率)處，開(kāi)環(huán)幅頻特性的倒數(shù) 稱為增益裕度，以 或 表示。 增益裕度的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果系統(tǒng) 的開(kāi)環(huán)增益再增大 倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,系統(tǒng)穩(wěn)定,為了得到較滿意的暫態(tài) 響應(yīng)，一般取：,解：首先作出 和 時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性和 對(duì)數(shù)相頻特性曲線，如下圖所示。, 當(dāng) 時(shí)，,令 得：,(單位轉(zhuǎn)換), 當(dāng) 時(shí)，,解：,臨界穩(wěn)定時(shí),令 ，有：,5-6 控制系統(tǒng)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖與穩(wěn)態(tài)誤差 及瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系,一、穩(wěn)態(tài)誤差,O型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性特點(diǎn)：,1. 0型系統(tǒng), 低頻段斜率為0，高度為 ；, 是靜態(tài)位置誤差系數(shù)。,2.型系統(tǒng),低頻段：,型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性特點(diǎn)：,

20、低頻段斜率為 ；, 是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。, 斜率為 的低頻段 (或其延長(zhǎng)線)與 線的 交點(diǎn)為 ，則, 斜率為 的低頻段 (或其延長(zhǎng)線)在 處的 高度為 。,3.型系統(tǒng),低頻段對(duì)數(shù)幅頻特性,幅頻特性曲線特點(diǎn)：, 低頻段斜率為 ；, 是靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。, 斜率為 的低頻段 (或其延長(zhǎng)線)與 線的 交點(diǎn)為 ，則, 斜率為 的低頻段 (或其延長(zhǎng)線)在 處的 高度為 。,二、穩(wěn)定性與對(duì)數(shù)幅頻特性中頻段斜率的關(guān)系,例5-16：, 如圖所示， 落在 區(qū)段內(nèi)， ，系統(tǒng)穩(wěn)定。, 若減小開(kāi)環(huán)傳遞增 益，則相頻特性不 變 ，幅頻特性向下 平移。從而使得 。, 若增大開(kāi)環(huán)傳遞增益，則相頻特性不變 ，幅頻特性向上

21、平移。從而使得 。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)處于 臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。, 若 落在 區(qū)段內(nèi)，系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。,以上分析表明：,系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性中頻段斜率 時(shí)， 系統(tǒng)不穩(wěn)定。,中頻段斜率為 時(shí)，系統(tǒng)可能穩(wěn)定，也可能 不穩(wěn)定。即使穩(wěn)定，相角裕量也較小。,中頻段斜率為 時(shí)， 系統(tǒng)一般是穩(wěn)定的。,因此一般總是使系統(tǒng)中頻段斜率為 ，且為 保證有足夠大的相角裕量，應(yīng)使該區(qū)段占有一定的寬度。,三、中頻段寬度與穩(wěn)定性的關(guān)系,穩(wěn)定系統(tǒng)不僅對(duì)中頻段的斜率有要求，而且對(duì)其 寬度也有要求，一般要求：,低于 ， 斜率不低于 。,高于 ， 斜率不低于 。,四、開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性與閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系,1.相角裕量 與

22、動(dòng)態(tài)響應(yīng)關(guān)系,說(shuō)明：,其中， 為開(kāi)環(huán)頻率特性,若 很小 某 頻段 即該頻段上閉環(huán)頻率特性有諧振峰值。系統(tǒng)輸入信號(hào)頻譜中這一頻段內(nèi)諧波分量有很高增益 系統(tǒng)階躍響應(yīng)振蕩。,可以證明：,證明：,注意到一般有：,上式表明，當(dāng) 時(shí)， 取極值。,經(jīng)驗(yàn)公式,五、截止角頻率和通頻帶,和 的關(guān)系：,若 ，則工程上：,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,若 ，則工程上：,定義： 時(shí),對(duì)應(yīng)的頻率 稱為截止頻率，又稱帶寬頻率。 為閉環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性， 稱為閉環(huán)通頻帶(帶寬)。,型和型以上的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，,故：,即有：,六、閉環(huán)頻域指標(biāo)，開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系,系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo)物理意義明確、直觀，但僅用于單位階躍響應(yīng)且不能直接用于頻域的分

23、析和綜合。 閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo) 雖然能反映系統(tǒng)的跟蹤速度和抗干擾能力，但由于需要通過(guò)閉環(huán)頻域特性加以確定，在校正元件的形式和參數(shù)尚未確定時(shí)顯得不便。 鑒于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻域特性指標(biāo) ，可以由已知的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻域特性曲線確定，工程上常用 設(shè)計(jì)。,1. 閉環(huán)頻域指標(biāo), 開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo),設(shè)計(jì)指標(biāo)是頻域參量，如：, 閉環(huán)頻域指標(biāo)：諧振峰值 、閉環(huán)系統(tǒng)帶寬 、諧振 頻率 、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益 。,2. 頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系,設(shè)計(jì)指標(biāo)是時(shí)域參量，如：, 開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益 、相角裕度 、幅值裕度 、開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的剪切頻率 。,時(shí)域指標(biāo)：, 二階系統(tǒng)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系,諧振峰值：,諧振頻率：,帶寬頻率：,剪切頻率：,相角裕度：,超調(diào)量：, 高階系統(tǒng)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系,諧振