1、現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具基本知識(shí),（自修內(nèi)容）,商品空間上的拓?fù)?映射與函數(shù) 連續(xù)性原理 隱函數(shù)存在定理 集值映射 二元關(guān)系,2,閉球B(x,r),點(diǎn)集：商品空間 中的向量也叫做點(diǎn)， 的子集叫做點(diǎn)集。 開球： 閉球： 開集：能夠表示成若干個(gè)開球的并的點(diǎn)集，叫做開集。易證：空集 和全空間 都是開集，任意個(gè)開集的并是開集，有限個(gè)開集的交是開集。 拓?fù)洌河?的一切開集組成的集族，叫做空間 上的拓?fù)洹?閉集：能夠表示成某個(gè)開集的余集的點(diǎn)集，叫做閉集。易證：空集 和全空間 都是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集，有限個(gè)閉集的并是閉集。,一、商品空間上的拓?fù)?開球B(x,r),開集 X,任何兩個(gè)開球的交都是開集,3,內(nèi)點(diǎn)：

2、點(diǎn) x 叫做集合 X 的內(nèi)點(diǎn)， 是指存在實(shí)數(shù) r 0 使得以 x 為中心、r 為半徑的開球 B(x,r) 包含在 X 中。 內(nèi)部：集合 X 的內(nèi)點(diǎn)的全體叫做 X 的內(nèi)部，記作 int X 或 X 。可以證明： X 是包含在 X 中的最大開集； X 是開集 當(dāng)且僅當(dāng) X = X 。 鄰域：我們把以 x 為內(nèi)點(diǎn)的集合叫做 x 的鄰域。 可以證明： x 的任何兩個(gè)鄰域的交仍然是 x 的鄰域。,(一) 內(nèi)點(diǎn)與鄰域,內(nèi)點(diǎn),一、商品空間上的拓?fù)?鄰域U,鄰域V,4,(二) 閉包與邊界,X,一、商品空間上的拓?fù)?附貼點(diǎn)：點(diǎn) x 叫做集合 X 的附貼點(diǎn)，是指以點(diǎn) x 為中心的任何開球 B(x,r)(r 0)

3、都與 X 相交。 閉包：X 的附貼點(diǎn)的全體，叫做 X 的閉包，記作 cl X 或 。 可以證明： 是包含X 的最小閉集；X 是閉集當(dāng)且僅當(dāng) 。 邊界：集合 叫做 X 的邊界。 可以證明：X 是閉集 當(dāng)且僅當(dāng) X 包含著它的邊界。,附貼點(diǎn),5,(三) 拓?fù)渥涌臻g,一、商品空間上的拓?fù)?子空間：賦予相對(duì)拓?fù)涞狞c(diǎn)集 X，叫做 的拓?fù)渥涌臻g。 所謂子空間 X 上的相對(duì)拓?fù)?，是指?X 與 的開集之交所構(gòu)成的集族 (X ) = X U : U 是 的開集。 (X )中的集合就叫做 X 的開集，也叫做相對(duì)開集。 相對(duì)開集在 X 中的余集，叫做 X 的閉集，或稱相對(duì)閉集。 顯然， X 的子集 M 是相對(duì)閉集

4、當(dāng)且僅當(dāng) M 是 X 與 的某個(gè)閉集的交集。,例：半開半閉區(qū)間(1,2既不是實(shí)數(shù)直線 R 中的閉集，也不是 R 中的開集。 但在子空間(0,2中，(1,2是相對(duì)開集，這是因?yàn)?1,2 = (0,2(1,3)。,M,6,(四) 連通集(連通空間),一、商品空間上的拓?fù)?連通集：賦予相對(duì)拓?fù)浜?，不能表示成為兩個(gè)非空且不相交的相對(duì)開集之并的子空間，叫做連通子空間或連通集。 可以證明：對(duì)于點(diǎn)集 X 來說， X 連通當(dāng)且僅當(dāng)X 不能表示成兩個(gè)非空且不相交的相對(duì)閉集之并。 X 連通當(dāng)且僅當(dāng)不存在滿足下述條件的集合 A 與B： X = AB，A ，B ，AB = ，AB = ,A,B,X 不連通,C,D,X

5、 連通,7,(五) 有界集與緊集,一、商品空間上的拓?fù)?X 下有界： (aR )(xX )( x a )。 X 上有界： (bR )(xX )( x b )。 X 有界： X 既下有界，又上有界。 X 的開覆蓋UttT：UttT 是 的開集族，并且 X tT Ut。 緊集 X：是指 X 的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。 定理 設(shè) 。X 是緊集當(dāng)且僅當(dāng) X 是有界閉集。,X 下有界,X 上有界,X 的開覆蓋,8,(六) 凸集,一、商品空間上的拓?fù)?凸集：點(diǎn)集 X 叫做是凸集，是指 X 中任何兩點(diǎn)之間的連線都在 X 中，即(x, yX )(t0, 1)(t x+(1-t ) y X )。 凸緊集：既是

6、凸集，又是緊集的集合叫做凸緊集。 凸緊集在經(jīng)濟(jì)分析中相當(dāng)有用！ 凸包：X 的凸包是空間 中包含 X 的最小凸集，記作 co X 。,X 是凸集,X 不是凸集,X 的凸包,co X,9,(七) 一些重要事實(shí),一、商品空間上的拓?fù)?定理 設(shè) 。 int X X cl X 。X 是開集 X = int X 。X 是閉集 X = cl X 。 int X 是包含在 X 中的最大開集，cl X 是包含X 的最小閉集。 X 是閉集 X 中任何收斂點(diǎn)列的極限都仍在 X 中。 X 連通 不存在滿足下述條件的集合 A 與B： X 是緊集 X 是有界閉集。 X 是緊集 X 是閉集且 X 中的任何序列都有收斂子序列

7、。 X 是緊集 X 的任何具有有限交性質(zhì)的相對(duì)閉集族都具有非空的交。 集族的有限交性質(zhì)：集族中任何有限個(gè)集合的交集都非空。,10,二、映射與函數(shù),假定 X 和 Y 為兩個(gè)任意給定的集合。 映射 f : X Y 是從 X 到Y(jié) 的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)于X 中的任一元素x，Y 中都有唯一的元素 y與之對(duì)應(yīng)(這個(gè)元素 y 通常記作 f (x)。X 叫做 f 的定義域，Y 叫做 f 的值域。,圖像：G( f ) = (x, y)X Y : y = f (x)叫做映射 f 的圖像。 像或值集：集合 f M = f (x): xM 叫做 M ( X )在 f 下的像或值集。 原像：集合 f K = x X :

8、 f (x)K 叫做 K ( Y )在 f 下的原像。,f : X Y,-1,若 f 是從 X 到 Y 的映射，則 f 也是從 X 到 f X 的映射。 函數(shù)：取值為實(shí)數(shù)的映射，叫做函數(shù)。即 f : X Y 為函數(shù)是指Y R(也即 f M R)。,X,Y,11,(一) 幾類典型的映射,二、映射與函數(shù),單射 f : X Y：把不同的點(diǎn)映射成不同的點(diǎn)，即 (x, yX ) ( ( x y ) ( f ( x) f ( y) ) 滿射 f : X Y：Y = f X ，即 (yY )(xX ) ( y = f ( x) )。 雙射 f : X Y：f 既是單射，又是滿射。也稱 f 為1-1對(duì)應(yīng)。 泛

9、函：定義域?yàn)?拓?fù)?向量空間，取值為實(shí)數(shù)的映射。 線性泛函：保持線性運(yùn)算的泛函 f : V R( V 為向量空間)，即(x, yV )( , R ) ( f ( x+ y) = f (x)+ f ( y) )。 例：任意給定向量 ，定義映射 如下： 。則 f 是線性泛函。 例： 是雙射(1-1映射)。 例：f : R 0, 1 ( f (x) = sin x)是滿射，但不是單射。,12,道路：對(duì)于 x, yX，連接 x 和 y 的道路是一個(gè)連續(xù)映射 : 0,1 X 滿足 (0) = x 且 (1) = y。 X 道路連通： X 中任何兩點(diǎn)都能由道路連接。 對(duì)于 ，X 道路連通 X 是連通的。,

10、(二) 連續(xù)映射,二、映射與函數(shù),假定：X 和Y 都是拓?fù)淇臻g(比如 )，f : X Y。 f 在點(diǎn) xX 處連續(xù)：是指對(duì) f (x)的任何鄰域VY，都存在 x 的鄰域U 使得 f (z)V 對(duì)一切 z U 成立。 f 連續(xù)：是指 f 在 X 中的任何點(diǎn)處都連續(xù)。 f 連續(xù) Y 中任何開集在 f 下的原像都是開集。 f 連續(xù) Y 中任何閉集在 f 下的原像都是閉集。 緊集上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值。 商品空間 上的任何線性泛函都是連續(xù)的。,x,y,X 道路連通,X,13,定理中的雅克比矩陣 J (x, y)定義如下：,定理 設(shè)函數(shù)Fi(x, y)在點(diǎn) 附近連續(xù)可微且 ，雅克比矩陣 可逆。則

11、存在 的鄰域 和 的領(lǐng)域 ，存在唯一的映射 (即 )滿足： 對(duì)任何 xU，都有 ； ； 在U 內(nèi)連續(xù)可微(i = 1,2, n)。,三、隱函數(shù)存在定理,14,四、集值映射,集值映射是取值為集合的映射，反映的是元素與集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)為自己創(chuàng)造的一種分析工具。 多值函數(shù)就是集值映射的一種形式。 帶歧視的價(jià)值函數(shù)也是一種集值映射。 消費(fèi)預(yù)算、需求、供給也都是集值映射，甚至連經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)本身也可以看成是一種集值映射。 集值映射在現(xiàn)實(shí)生活中也是多見的。比如，消費(fèi)選擇。消費(fèi)者往往因?yàn)楹枚辔魈喽刍潄y，做不出唯一的選擇：這件東西好，那件東西也好，買哪一個(gè)都行。這樣，這件東西和那件東西都成為他需

12、要且在購買能力之內(nèi)的商品。這種選擇的不唯一性，是集值映射的一個(gè)典型事例。又如，拋物線 y = 4x 上 y與x的關(guān)系 是集值映射。 關(guān)于集值映射，討論起來比單值映射要復(fù)雜得多。這里只討論與本課程有關(guān)的內(nèi)容：集值映射的連續(xù)性。,15,(一) 集值映射的概念,四、集值映射,集映(集值映射)F : X Y：F 是從 X 到冪集P(Y )的映射，即對(duì)任何xX，都有F(x) Y。 對(duì)應(yīng)(correspondence) F : X Y ：是指(xX )(F(x) )。 集合 M ( X ) 在 F : X Y 下的像集 FM ：FM = xM F(x)。 看待集映 F : X Y 的幾種不同視角：,X,Y

13、,F : X Y,看成單值映射：F : X P(Y )。 看成集族：F(x)xX 。 看成多值映射：與 x 對(duì)應(yīng)的值不止一個(gè)，把這些值放在一起即形成了集合 F(x)。,看成乘積集合 X Y 的子集：集值映射 F 與它的圖像 G(F ) = (x, y)X Y : yF(x) 之間是1-1對(duì)應(yīng)的，因而可把 F 與其圖像 G(F ) 等同看待。,16,(二) 各種類型的集映,四、集值映射,開集映F : X Y：X 與Y 都是拓?fù)淇臻g，圖像G(F )是開集。 閉集映F : X Y：X 與Y 都是拓?fù)淇臻g，圖像G(F )是閉集。 開集值集映F : X Y：Y 為拓?fù)淇臻g且xX，F(xiàn)(x)是開集。 閉集值

14、集映F : X Y：Y 為拓?fù)淇臻g且xE，F(xiàn)(x)是閉集。 緊集值集映F : X Y：Y 為拓?fù)淇臻g且xE，F(xiàn)(x)是緊集。 凸集值集映F : X Y：Y 為向量空間且xE，F(xiàn)(x)是凸集。,開集映,閉集映,G(F ),G(F ),17,(三) 連續(xù)集映,四、集值映射,假定：X 與Y 都是拓?fù)淇臻g，F(xiàn) : X Y。 上半連續(xù)：F 在 x X 處上半連續(xù)，是指對(duì) Y 中任何包含 F(x) 的開集 V，都存在 x 的鄰域 U 使得 FU V。F 上半連續(xù)，是指F 在任何點(diǎn) x X 處都上半連續(xù)。 下半連續(xù)：F 在 x X 處下半連續(xù)，是指對(duì) Y 中任何與 F(x) 相交的開集 V，都存在 x 的鄰

15、域U 使得F(z)V 對(duì)一切zU 成立。F 下半連續(xù)，是指F 在任何點(diǎn) x X 處都下半連續(xù)。 連續(xù)集映：既上半連續(xù)，又下半連續(xù)的集映。,x,U,V,F(x),F(x),V,U,x,上半連續(xù),下半連續(xù),18,1. 集映連續(xù)性的意義,四、集值映射,x,U,V,F(x),F(x),V,U,x,在 x 處雖然上半連續(xù)，但不下半連續(xù),(三) 連續(xù)集映,集映的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性都是函數(shù)連續(xù)性概念的推廣。F的上半連續(xù)性是說F(x)不會(huì)突然彭脹框得??；F的下半連續(xù)性是說F(x)不會(huì)陡然收縮粘得住。,在 x 處雖然下半連續(xù)，但不上半連續(xù),粘不住,框不住,19,2. 集映連續(xù)性的判別,四、集值映射,(三)

16、連續(xù)集映,定理 設(shè) ，F(xiàn) : X Y。 如果F 是閉集值集映且FX 有界，則F 上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)F 是閉集映。 若F(x) 是閉集且存在 x 的鄰域U 使得FU 有界，則F在 x 處上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何 yY 以及任何序列 xkX 和 ykF(xk) ( k = 1,2,)，當(dāng) xk x ( k ) 且 yk y ( k )時(shí)，y F(x)。 集映F在 x 處下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何 yF(x) 及 X 中任何收斂于 x 的序列 xk ( k = 1,2,)，存在Y 中收斂于 y 的序列 yk (k = 1,2,)，使得 ykF(xk) ( k = 1,2,)。 如果F是閉集值的閉集映且存在

17、x 的鄰域U 使得FU 有界，則F 在 x 處上半連續(xù)。 本定理為研究集值映射提供了極大便利，其中結(jié)論(4)直接從(1)得到，且比(1)可能更為有用；結(jié)論(2)和(3)也很有用。,20,五、二元關(guān)系,消費(fèi)者對(duì)各種消費(fèi)方案的比較實(shí)際上是一種二元關(guān)系消費(fèi)方案間的兩兩關(guān)系。嚴(yán)格論二元關(guān)系，可給出如下定義。 定義 集合 X 上的二元關(guān)系是 X = X X 的子集： = (x, y)X : xy 例1：關(guān)系、=、 都是二元關(guān)系。比如， = (x, y)X : xy， = (x, y)X : xy。 例2：價(jià)值關(guān)系 設(shè) v(x)是 上的價(jià)值函數(shù)。定義 = (x, y)X : v(x)v(y)，則 是消費(fèi)集

18、合X 上的二元關(guān)系，稱為價(jià)值關(guān)系。x y 是說方案 x的價(jià)值沒有方案 y 的價(jià)值大。 例3. 集映關(guān)系 從 X 到自身的集映F: X X 實(shí)際上表達(dá)了 X 上的一種二元關(guān)系：xy yF(x)；反過來，X 上的任何二元關(guān)系也都是一個(gè)集映F : X X ：(xX )(F(x) = yX : xy)。因此，消費(fèi)集合 X 上的二元關(guān)系恰恰就是從 X 到自身的一個(gè)集值映射。,21,(一) 二元關(guān)系的性質(zhì),五、二元關(guān)系,假定： 是集合 X 上的二元關(guān)系。 二元關(guān)系的常用性質(zhì) 自反性：(xX )(xx) 傳遞性：(x, y, zX )(xy)( yz)(xz) 完全性：(x, yX )(xy)( yx) 對(duì)稱性：(x, yX )(xy)( yx) 反對(duì)稱性：(x, yX )(xy)( yx)(x = y) 常用性質(zhì)的組合 等價(jià)關(guān)系：自反、傳遞、對(duì)稱的二元關(guān)系。 半序關(guān)系：自反、傳遞、反對(duì)稱的二元關(guān)系。 序關(guān)系：自反、傳遞、完全、反對(duì)稱的二元關(guān)系。 半預(yù)序：自反、傳遞的二元關(guān)系。 預(yù)序關(guān)系：自反、傳遞、完全的二元關(guān)系。 經(jīng)濟(jì)學(xué)中，預(yù)序關(guān)系最為重要。,22,(二) 預(yù)序關(guān)系,五、二元關(guān)系,預(yù)序關(guān)系 (pre-ordering) 是消費(fèi)選擇活動(dòng)中的一種十分重要的關(guān)系。實(shí)際上，任何評(píng)價(jià)行為都可用預(yù)序關(guān)系來反映。 序關(guān)系(ordering)與預(yù)序關(guān)系的區(qū)別在于排序