1、決策分析模型,一、 概述,在決策問題中，每個可供選擇的方案稱之為行動，記為a，而所有4可能行動a的集合稱為行動空間，記為A。行動是決策系統(tǒng)的自變量，它可以是連續(xù)的，也可以是離散的。,例如，某地要創(chuàng)建出租車公司，制定了三種購車方案：100輛、150輛、200輛，這里的行動就是一個離散變量。,又如，某食 品銷售公司考慮購進一批食用油，要制定一個利潤大、庫存積壓少的購入量方案，這時的行動就是一個邊疆的理。,數(shù)學(xué)模型,方案確定以后，所產(chǎn)生的后果是否唯一確定，有時還領(lǐng)帶于一些決策者無法控制的因素。 在決策中，把行動確定以后，目標值所領(lǐng)帶的參數(shù)稱為狀態(tài)，讓為的集合稱 作狀態(tài)空間，記為。,狀態(tài)取值可以是連續(xù)

2、的，也可以是離散的。例如，某企業(yè)經(jīng)營是否盈利可以分為盈利、盈虧平衡、虧損三種離散狀態(tài)。企業(yè)經(jīng)營狀況也可以使用量化指標表示成連續(xù)值。,行動在狀態(tài)下產(chǎn)生的后果，可以用收益或損失表示，在決策中，收益函數(shù)、損失函數(shù)均稱為決策函數(shù)，記為F（，a）。 決策函數(shù)是決策的依據(jù)，它與行動空間、狀態(tài)空間一直構(gòu)成了決策系統(tǒng)，記為（，A，F(xiàn)）。,數(shù)學(xué)模型,在不確定而唯一確定。在風(fēng)險決策中，狀態(tài)是隨機變量，它的概率分布已經(jīng)為決策者所掌握。顯然，不確定性決策問題狀態(tài)的概率分布一旦確定，它便成為風(fēng)險決策問題。,當(dāng)狀態(tài)空間中只有一個元素時，這介決策系統(tǒng)是確定型的，即一旦行動確定，行動的結(jié)果使被唯一確定了，如果狀態(tài)空間中至少有

3、兩個元素，該決策系統(tǒng)對應(yīng)的決策便是不確定性決策或風(fēng)險決策。,決策問題的研究目標是在行動空間A中找到一個行動a，使決策函數(shù)F在一定狀態(tài)下達到最大或最小，這一行動a稱為最佳行動。,數(shù)學(xué)模型,二、 確定性決策方法,根據(jù)行動的性質(zhì)，確定性決策問題可以劃分為礅散型和連續(xù)型兩種，由于同一問題往往有多種處理方法，因此，這里只能簡單介紹幾種常用方法。,1、加權(quán)評分法 在行動方案有限且離散的情況下，加權(quán)評分法是確定性問題的一種簡便決策方法，該方法把方案涉及到的因素用指標表示，同時考慮不同指標在不同方案下的不同作用（指標值）及各指標重要性（指標權(quán)重）的差異，指標權(quán)重和指標值經(jīng)算術(shù)合，綜合成一個可比量值，來實現(xiàn)方案

4、選 優(yōu)。這種方法能從主觀和客觀兩方面反映問題，所產(chǎn)生的結(jié)果一般比較符合實際。,數(shù)學(xué)模型,加權(quán)評分法,表1,某商店要購進一批茶葉，有同一品種五品牌A、B、C、D、E可供選擇，它們的單價茶葉質(zhì)量，它們是：外形、香氣、滋味、湯色、葉底，各指標的權(quán)得系數(shù)及其在不同方案下的指標值見表1。,【問題】,數(shù) 學(xué) 模 型,如果設(shè)第I個指標的權(quán)重系數(shù)是i，該指標在某方案下的分值是x那么，該方案的最后得分F可表示為：,其中，k是指標總數(shù),于是，根據(jù)上述公式及表中數(shù)據(jù)，可計算出方案A的總得分： FA=0.283+0.492+0.387+0.0571+0.0586=87.35,同理可得：FB=85.35 FC=83.4

5、5 FD=90.10 FE=84.10,顯然，最佳行動是購買品牌為D的茶葉。,【問題分析與求解】,數(shù) 學(xué) 模 型,2、微分法 當(dāng)行動是連續(xù)變量，或者行動雖是離散變量，但其取值個數(shù)很多，甚至是無窮多，行動的取什多一個或少一個數(shù)量間接對行動結(jié)局基本沒有影響，可彩微分法求最 佳行動。 微分法的理論依據(jù)是極值理論，其決策準則是；使收益函數(shù)達到最大或使損失函數(shù)達到最小的行動就是最佳行動，因此，求最佳行動就是求函數(shù)的最大值（或最小值）。顯然，當(dāng)行動是連續(xù)變量時，如果在行動窨上取出有限個行動的結(jié)局逐個比較，以擇其優(yōu)。,數(shù)學(xué)模型,【模型構(gòu)成與求解】,根據(jù)問題，構(gòu)造損失函數(shù)：,由于日產(chǎn)量多一臺或少一臺對工廠幾乎

6、沒有什么影響，所以，a可以近似地看作是連續(xù)變量，于是，最佳行動可以通過求損失函數(shù)的最小值得到。 對損失函數(shù)求微分可得：,令 解得 a=500,該工廠的最佳行動是每天生產(chǎn)500臺電視機,數(shù) 學(xué) 模 型,3、數(shù)學(xué)規(guī)劃法,上面介紹的加權(quán)評分法和微分法是確定性決策方法中的兩種古典方法，其出發(fā)點在于求收益函數(shù)的最大值和損失函數(shù)的最小值。這兩種方法通常適用于變量不多的決策問題，隨著變量增加共適用性越來越差。,近幾十年來，隨著運籌學(xué)等數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ)的一整套最優(yōu)化方法在決策方面起著越來越重要的作用。例如，處理多變量決策問題的線性規(guī)劃法，處理離散變量決策問題的整數(shù)規(guī)劃法等。由于這些方法所覆

7、蓋的內(nèi)容過于龐大，這里不再作進一步介紹。,數(shù) 學(xué) 模 型,三、 不確定型決策方法,在不確定性決策中，每種運行因狀態(tài)不同而結(jié)果各異，而每種狀態(tài)的概率分布又事先未知。因此，決策者選擇的最佳行動與其行動原則密切相關(guān)。,1、常用決策方法,為討論方便，設(shè)決策行動是有限的離散變量，其收益矩陣為：,除了客觀因素的作用，主觀因素（例如決策者的偏好）也將對行動原則產(chǎn)生很大的影響，對同一問題不同的決策者往往會作出不同的決策，所以，不能離開行動原則去研究不確定性決策問題。,數(shù)學(xué)模型,表2,下面，以表2中的收益矩陣為例說明不同的行動原則及其具體計算方法。,1小中取大原則及算法,小中取大原則反映了決策者的悲觀情緒，是一

8、種保守的決策方法。例如，企業(yè)承受風(fēng)險的能力較差，或最壞的狀態(tài)很可能發(fā)生時，常采用這種決策原則。,數(shù)學(xué)模型,最佳行動是a2。,在該行動原則下，滿足,2大中取大原則及算法,與小中取大原則相反，大中取大原則是一種冒險的決策模式，它反映了決策者的樂觀情緒和風(fēng)險意識。這種模式適用于最好狀態(tài)發(fā)生的可能性很大，或研究對象承受風(fēng)險能力強的情況。在大中取大原則下，滿足,的行動a*是最佳行動。由表2及大中取大算法可得,最佳行動是a1。,數(shù) 學(xué) 模 型,3等概率原則及算法,在缺乏準確信息的情況下，各行動狀態(tài)是未知的。因此，有理由認為每一狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相同的，均為1/m，在等概率原則下,等價于,所以，滿足,的行動a

9、*是最佳行動。由表2及等概率原則可得,最佳行動是a4。,數(shù) 學(xué) 模 型,4最小后悔值原則及算法,該原則與小中取大原則相似，也帶有保守性質(zhì)，反映了決策者的悲觀情緒。但最小后悔值原則與小中取大原則又有所不同，其一是它從損失的角度考慮問題，其二它又不是過分保守。在該原則下，滿足,表3,數(shù) 學(xué) 模 型,由表3及最小后悔值原則可得,最佳運行是a3。,5樂觀系數(shù)法,小中取大原則顯得過于悲觀保守，而大中取大原則又顯得太冒險，這種情況下可采用樂觀系數(shù)法。這種方法要求決策者首先提出一個系數(shù) （用 表示，0 1）來表示其樂觀程度。決策者越樂觀， 值越接近于1；越悲觀， 值越接近于0。因此，這種方法叫樂觀系數(shù)法。這

10、種方法盡管避免了兩種極端情況，但也沒有利用全部可用信息，而且，樂觀系數(shù) 的恰當(dāng)確定也是一個難點。使用該方法決策，滿足,數(shù)學(xué)模型,其中，,由表2及樂觀系數(shù)法可得,數(shù)學(xué)模型,表4,2、結(jié)果分析,上面介紹了五種常用的決策原則及算法，并以表2的收益矩陣為例得出了最佳行動，所有結(jié)果如表4所示。,數(shù)學(xué)模型,很顯然，由于信息的不充分與不確定性，不確定性決策的結(jié)局很大程度上是由決策者所左右的。這樣，對同一問題，不同的決策者可能會作出完全不同甚至是相反的決策，這些不同的決策不可能都符合實際，這種現(xiàn)象只能歸究于不確定性決策問題本身。因為沒有充分、可靠、準確的信息，期望作出準確可靠的決策是不科學(xué)的。,數(shù) 學(xué) 模 型

11、,目前，已經(jīng)有一些通過對客觀信息的充分利用以改進不確定性決策的方法。例如，引進PERT技術(shù)中的狀態(tài)估計方法，對未來狀態(tài)作出三種估計，即最樂觀估計、最悲觀估計、最可能估計，綜合這三種估計得到期望值，并擾此進行比選。又如二維決策問題的轉(zhuǎn)折概率法，又知客觀狀態(tài)發(fā)生先后次序時的等級概率法以及重復(fù)型不確定性決策問題的對策解法等等。,近來，對不確定決策又有了新的認識，認為不確定性決策與風(fēng)險決策之間不應(yīng)存在絕對清晰的邊界。因為，實際上很少有百分之百準確的概率數(shù)字的風(fēng)險決策，也很少有對客觀狀態(tài)百分之百無知的所謂不確定性。 關(guān)鍵問題是通過什么方法來充分利用已知無知的所謂不確定性。關(guān)鍵問題是通過什么方法來充分利用

12、已知的客觀信息，并通過決策者的經(jīng)驗來提高不確定性決策的可靠性。,數(shù)學(xué)模型,四、 風(fēng)險決策方法,在風(fēng)險決策問題中，盡管已知各種行動發(fā)生的概率，其不確定性比完全不確定性決策問題要少些，但由于信息不充分等原因，仍存在一定的風(fēng)險，所以，風(fēng)險決策是介于確定性與不確定性之間的一種決策方式。,下面，就介紹幾種風(fēng)險條件下常用的決策方法。,風(fēng)險決策通常也受主客觀兩方面因素的影響，這就要求決策者把概率統(tǒng)計理論與其智慧和經(jīng)驗融合貫通，既尊重客觀規(guī)律，又發(fā)揮人的主觀能動性。,例如，對于重復(fù)性風(fēng)險型決策問題，各種行動的概率容易通過統(tǒng)計得到，因而，用概率統(tǒng)計方法處理比較合理；但對于一次性或者重復(fù)性較少的決策問題，則需要比

13、較多地依靠決策者的經(jīng)驗和智慧，這時，可以用效用理論進行處理。,數(shù) 學(xué) 模 型,1、期望值法,期望值決策方法既克服了各種不確定性決策方法的缺點，同時又保留了這些方法的優(yōu)點，它用準確的數(shù)學(xué)語言描述狀態(tài)的信息，利用參數(shù)的概率分布求出每個行動的收益（或損失）期望值。具有最大收益期望值或最小損失期望值的行動是最佳行動。,在現(xiàn)實生活中，也不難理解期望值決策方法的合理性。例如，根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)某個公司的經(jīng)營次數(shù)趨向充分大時，平均損益的極限就是損益期望值，這就是為什么一個公司的成功，不能急功近利，必須堅持從長期經(jīng)營中獲利的原因。,數(shù)學(xué)模型,有期望值進行決策分析的基本步驟是：,（1）明確決策問題；,（2）寫出損

14、益矩陣或繪出決策樹；,（3）計算各行動的損益期望值Ej；,（收益期望值）,數(shù)學(xué)模型,（4）選擇最佳行動a*。,現(xiàn)在，就通過一個實例說明期望值決策的具體操作過程。,某廠在生產(chǎn)過程中，一關(guān)鍵設(shè)備突破發(fā)生故障，為了保證履行加工合同，必須在7天內(nèi)恢復(fù)正常生產(chǎn)，否則，將被罰以100萬元的違約金。工廠面臨兩種選擇，一是修復(fù)設(shè)備，7天內(nèi)修復(fù)的概率是0.5，費用為20萬元；二是購置新設(shè)備，7天內(nèi)完成的概率是0.8，費用為60萬元。那么，工廠選擇哪一種行動最佳。,【問題】,表5,數(shù) 學(xué) 模 型,由期望值計算公式可得,（萬元）,（萬元）,根據(jù)決策準則，具有最小損失期望值的修復(fù)行動a1是最佳行動。,【問題求解】,在

15、本例中，問題被歸納成一張損益表，實際上，決策樹也可以完成同樣的的功能，而且可以表達得更加形象。,決策樹,數(shù) 學(xué) 模 型,決策樹由結(jié)點和樹枝組成。結(jié)點有行動結(jié)點（用“”表示）、狀態(tài)結(jié)點（用“”表示）。,從行動結(jié)點長出的樹枝是行動分枝，有多少個不同行動就有多少個運行分枝，每個行動分枝上都要標明所代表的行動。,從狀態(tài)結(jié)點長出的樹枝是狀態(tài)分枝，狀態(tài)結(jié)點下的分枝數(shù)量等于對應(yīng)行動的狀態(tài)個數(shù)，各狀態(tài)分枝上要注明對應(yīng)行動的相應(yīng)狀態(tài)概率。而每個行動在各種狀態(tài)下的損益值。則標注在各對應(yīng)樹梢旁邊。,上例中的決策問題可用決策樹表示成上圖1。從行動結(jié)點上又長出兩動分枝a1，a2，它們的終點是狀態(tài)結(jié)點，每個狀態(tài)結(jié)點上又長

16、出兩個狀態(tài)分枝，于是，樹梢總數(shù)就是行動個數(shù)與狀態(tài)的乘積。,按照損益期望值計算公式同樣可以計算出各行動的期望值，計算過程和結(jié)果與通過損益表得到的結(jié)論完全一致。,數(shù) 學(xué) 模 型,2、貝葉斯法,在風(fēng)險決策中，可以通過對狀態(tài)參數(shù)的基本認識，得到其概率分布，但這種認識有時過于粗糙，需挖掘新信息對其作出必要的修正，這樣，就可以獲得更準確的狀態(tài)參數(shù)的概率分析，提高決策的可靠性，這就是貝葉斯決策方法的基本思想。,貝葉斯法是利用補充信息進行決策的一種方法，補充信息的作用在于對狀態(tài)概率原來的估計值（亦即先驗概率）進行修正，獲得所謂后驗概率，并據(jù)此進行決策分析，以選取最佳行動。,在收集到新信息以前的原有信息稱為先驗

17、信息，據(jù)此估計出的狀態(tài)概率稱作先驗概率。,數(shù)學(xué)模型,依據(jù)歷史資料，某天晴天的概率是0.6，陰天的概率是0.4，這里的概率值指的就是先驗概率，記為（在前面介紹期望值決策方法時，被簡記為pi）。,例如,根據(jù)天氣預(yù)報，這一天可能是睛天，也可能是陰天，不妨將這些狀態(tài)參數(shù)記為Xb，那么，又可以有這樣一些概率；實際上是晴天預(yù)報也是晴天的概率，實際上是晴天預(yù)報為陰天的概率，實際上是陰天預(yù)報也是陰天的概率，實際上是陰天預(yù)報為晴天的概率。這些概率分布稱作似然函數(shù)，記為：，即實際發(fā)生的狀態(tài)是預(yù)報成狀態(tài)Xb的概率。,由先驗概率和似然函數(shù)，通過貝葉斯全概率公式，可以計算出后驗概率。,m，s分別是實際的狀態(tài)個數(shù)和預(yù)報的

18、狀態(tài)個數(shù),用后驗概率代表先驗概率，可以計算出在預(yù)報狀態(tài)Xb下，各行動的損益期望值：,或,那么，在狀態(tài)Xb下，具有最大收益期望值或最小損失期望值的行動，就是最佳行動，可以看出，對應(yīng)每個預(yù)報狀態(tài)Xb，均有一個最佳行動，有s個預(yù)報狀態(tài)，便有s個最佳行動相對應(yīng)。,數(shù)學(xué)模型,某公司的銷售收入受市場銷售情況的影響，存在三種狀態(tài)：暢銷 、一般 、滯銷 ，發(fā)生的概率分別是0.5、0.3、0.2，公司制定三種銷售方案相應(yīng)的收益情況如表6所示。,【問題】,該公司經(jīng)過深入的市場調(diào)查，對市場銷售前景進行了預(yù)報，記預(yù)報為暢銷、一般、滯銷的狀態(tài)分別為X1、X2、X3，似然函數(shù)如表7所示。,表7,數(shù) 學(xué) 模 型,那么，針對

19、這三種預(yù)報狀態(tài)應(yīng)分別采用哪種銷售方案呢？,由先驗概率、似然函數(shù)，通過全概率公式可以得后驗概率如表8所示。,表8,【問題求解】,根據(jù)貝葉斯決策的期望值計算公式可得：當(dāng)預(yù)報暢銷時,=0.77200+0.0750+0.16(100)=141.5,數(shù) 學(xué) 模 型,=0.77150+0.07100+0.16(50)=114.5,=0.77180+0.0750+0.16(10)=140.5,最佳行動方案是a1。,當(dāng)預(yù)報暢銷時：,當(dāng)預(yù)報銷售情況一般時，同理可得：,最佳行動方案是a2。,當(dāng)預(yù)報滯銷時，同理可得：,最佳行動方案是a3。,數(shù)學(xué)模型,3、效用決策法,效用最決策者對各行動損益值態(tài)度的一種度量，它反映了決策者的個人偏好。決策者越喜愛的行動，其效用值越大；決策者越厭惡的行動，其效用值越小?？梢姡в檬窃诒容^的意義上存在，是一種相對的概念。 效用通常用u表示，簡單地，u可以取,0u1,效用取值于效用函數(shù)，效用函數(shù)是以損益值為自變量，以效用值為因變量的單調(diào)上升函數(shù)，它反映的決策者的風(fēng)險態(tài)度。,數(shù)學(xué)模型,