1、,截面幾何性質(zhì),Geometrical Properties of An Area,截面幾何性質(zhì)： 與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。,截面幾何性質(zhì),拉伸：,扭轉(zhuǎn)：,本次課主要內(nèi)容,靜矩和形心 慣性矩和慣性半徑 慣性積 平行移軸公式 轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸,1. 靜矩(一次矩),2. 形心,I.1 靜矩和形心,結(jié)論： 1、 Sz = 0 z 軸是形心軸 2、對稱軸必定是形心軸,3. 組合截面的靜矩和形心,y,z,z,o,y,靜矩,(yi,zi),試求圖示曲線 下的面積OAB對于y軸的靜矩Sy和形心位置xc,x,y,A,o,b,h,B,解：,【例題 1】,面積,形心,負(fù)面積法,x,y,o,1. 慣性矩（二

2、次軸矩）,慣性矩恒為正值,2. 慣性半徑,I.2 慣性矩和慣性半徑,截面對任意一對互相垂直的軸的慣性矩之和，等于它對該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。,3. 極慣性矩（二次極矩）,試計算圖示矩形對其對稱軸的慣性矩。,解：,【例題 2】,【例題 3】試計算圖示圓形對其形心軸的慣性矩和極慣性矩。,解：,y,z,D,C,4. 組合截面的慣性矩和極慣性矩,【例題 4】試計算圖示圓環(huán)對其形心軸的慣性矩和極慣性矩。,能否用同樣的辦法計算抗扭截面系數(shù)？,慣性積可正、可負(fù)、可為零,I.3 慣性積,坐標(biāo)系的兩個坐標(biāo)軸中只要有一個是截面的對稱軸，則截面對該坐標(biāo)系的慣性積等于零。,已知：,求：,( a 和 b 是截面的形心在

3、oyz 坐標(biāo)系中的坐標(biāo) ),I. 平行移軸公式,C,y,z,o,a,b,yc,zc,其中：,IyIyc,在一組平行坐標(biāo)軸中，截面對形心軸的慣性矩為最小。,平行移軸公式：,已知：,解：,求：,【例題 5】,【例題6】 求圖示截面對與y和z平行形心軸的慣性矩和慣性積。,計算形心坐標(biāo)：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,zc,yc,c,c1,c2,zc,yc,a1,a2,b1,b2,a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47,計算形心坐標(biāo)系中各部分形心坐標(biāo)：,2、計算對形心軸慣性矩和慣性積,已知：,求：,I.5 轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸,1. 定點(diǎn)

4、轉(zhuǎn)軸公式,Iy1 Iy, Iz , Iyz,轉(zhuǎn)軸公式,定義：若截面對某對坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則這對坐標(biāo)軸稱為主慣性軸，簡稱為主軸。,令：,2. 主慣性軸（主軸）,可見，使慣性矩取極值的軸即為主軸。,討論：主軸方向的慣性矩,3. 主慣性矩,定義：截面對主軸的慣性矩稱為主慣性矩。,由：,得：,顯然：,主慣性矩的計算公式：,定義： (1)通過形心的主軸稱為主形心軸。 (2)對主形心軸的慣性矩稱為主形心慣性矩。 (3)由主形心軸和桿件軸線所確定的平面稱 為主形心慣性平面。,顯然：對稱軸必定是主形心軸。,4.主形心軸和主形心慣性矩,證明：設(shè)通過截面 O 點(diǎn)的y、z 軸為主軸，u、v 為另一對主軸，其中

5、o不是 /2 的整數(shù)倍，由轉(zhuǎn)軸公式：,而：,從而：,【例題 5】試證明下列定理：如果通過截面的任一指定點(diǎn)有多于一對的主軸，那么通過該點(diǎn)的所有軸都是主軸。,故過點(diǎn)的任何一對正交軸都是主軸，定理得證。,y,z,o,z1,y1,v,u,推論：,【例題 6】 求圖示截面的主形心慣性矩。,計算形心坐標(biāo)：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,zc,yc,c,c1,c2,zc,yc,a1,a2,b1,b2,a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47,建立形心坐標(biāo)系，計算形心坐標(biāo)系中各部分形心坐標(biāo)：,2、計算對形心軸慣性矩和慣性積,3、計算主形心軸和主形心慣性矩,Iyc = 279 cm4 Izc = 100 cm4 Iyczc = -97 cm4,1、建立參考坐標(biāo)系，確定整個截面的形心位置 yc 和 zc,2、計算形心軸慣性矩和慣性積 Iyc 、Izc 、Iyczc (用平行軸公式),3、計算主形心軸 的方位角0和主形心慣矩Iy0 、Iz0 （用轉(zhuǎn)軸公式）,小結(jié)求主形心慣矩步驟,z,o,Iyc = 279 cm4 Izc = 100 cm4 Iyczc = -97 cm4,c,y,